专题2.2 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题-2022年中考数学备考优生百日闯关系列（解析版）

这是一份专题2.2 以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题-2022年中考数学备考优生百日闯关系列（解析版），共50页。
【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题主要考查了学生的数形结合能力及综合分析问题的能力，这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性。
【解题思路】等腰三角形的存在性的解题方法：（1）几何法三步法：①假设结论成立；②找点，当所给的定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：a.当定长为腰时，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求点；若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；b.当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，交点即为所求的点；若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点不存在；（以上方法即可找出所有符合条件的点，该方法简称为“两圆一线”）；散计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，也可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可以利用勾股定理进行求解；（2）代数法三步：①罗列三边；②分类列方程；③解方程求解后检验．在以二次函数与等腰三角形问题为背景的解答题中，这两种方法往往结合使用.
【典型例题】
【例1】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）当m=时，线段MN取最大值，最大值为．（3）点P的坐标为（2，）、（2，﹣）、（2，）、（2，）或（2，）．[来源:学。科。网]
（3）由题意结合（2）可得点N的坐标，由点P在抛物线对称轴上，可设其坐标为(2.5，n)，结合点B和点N的坐标即可表达出PB、PN、BN的长度，再分PB=PN、PB=BN、PN=BN三种情况讨论计算即可求得符合题意的点P的坐标.
试题解析：
（1）将点B（4，0）、C（0，4）代入抛物线y=x2+bx+c中，
得，得，
∴抛物线的解析式为y=x2-5x+4.学科&网
（2）由题意可设点M的坐标为（m，m2-5m+4），设直线BC的解析式为y=kx+4，
把点（4，0）代入y=kx+4，中，
得：0=4k+4，解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+4.
∵MN∥y轴，
∴点N的坐标为（m，-m+4），
∴MN==-m+4-(m2-5m+4)=-（m-2）2+4.
∵抛物线的解析式为：y=x2-5x+4=（x-2.5）2，
∴抛物线的对称轴为x=2.5，
∴由点B的坐标为（4，0）可得点A的坐标为（1，0），
又∵点M在x轴下方，
∴1