2022年广东省珠海市香洲区梅华中学中考数学一模试卷 解析版

这是一份2022年广东省珠海市香洲区梅华中学中考数学一模试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，﹣π中，最小的数是（ ）
A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．﹣π
2．点P（﹣3，2）关于原点O的对称点P′的坐标是（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）
3．下列计算正确的是（ ）
A．﹣2﹣4＝
B．﹣2m•（﹣2n）＝2m+n（m＞0，n＞0）
C．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6
D．＝﹣8
4．已知凸n边形有n条对角线，则此多边形的内角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
5．甲、乙、丙、丁四名同学进行立定跳远测试，每人10次立定跳远成绩的平均数都是2.25米，方差分别是S甲2＝0.72，S乙2＝0.75，S丙2＝0.68，S丁2＝0.61，则这四名同学立定跳远成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3．则AB的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．珠海长隆海洋馆的某纪念品原价18元，连续两次降价a%后售价为11元，下列所列方程中正确的是（ ）
A．18 （1+a%）2＝11B．18 （1﹣a2%）＝11
C．18 （1﹣2a%）＝11D．18 （1﹣a%）2＝11
8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，1），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ）
A．（7，4）B．（7，3）C．（6，4）D．（6，3）
9．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于P，若∠A＝30°，∠APD＝60°，则∠B等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
10．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②③C．①③④D．②④
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）将正确答案写在答题卡相应的位置上
11．（4分）的算术平方根是 ．
12．（4分）若一组数据：7，3，5，x，2的众数为7，则这组数据的中位数是 ．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为 ．
14．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
15．（4分）如果抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣2，﹣3）、（4，﹣3），那么抛物线的对称轴是 ．
16．（4分）如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，∠ACB＝50°．将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，连接CC'．若AB∥CC'，则旋转角的度数为 °．
17．（4分）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始以AB＝1为直径画半圆，记为第一个半圆，以BC＝2为直径画半圆，记为第二个半圆，以CD＝4为直径画半圆，记为第三个半圆，以DE＝8为直径画半圆，记为第四个半圆，…，按此规律继续画半圆，则第2022个半圆的面积为 （结果保留π）．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：2﹣1+4cs45°﹣+（π﹣2022）0．
19．（6分）一个不透明的口袋装有分别标有汉字“美”“丽”“南”“山”的4个小球，除汉字不同外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个小球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
（2）小华从中任取一个小球，记下小球上的汉字后放回，再从中任取一小球，请用画树状图或列表法，求小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率．
20．（6分）如图，点E、F在线段BC上，AB＝CD，BE＝CF且∠B＝∠C．
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）请猜想四边形AEDF的形状，并加以证明．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随着销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝﹣2x+280，设这种绿茶在这段时间的销售利润为y（元）．
（1）求y和x的关系式；
（2）当销售单价为多少元时，该公司获取的销售利润最大？最大利润是多少？
22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长．
23．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）请直接写出不等式≤﹣x+b的解集是 ；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图①，四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，点E是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），点F是线段BA延长线的一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G，设BE＝x，AF＝y，已知y与x之间的函数关系式如图②所示，
（1）图②中y与x的函数关系式为 ；
（2）求证：△CDE∽△ADF；
（3）当△DEG是等腰三角形时，求x的值．
25．（10分）已知，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P位于第四象限时，连接AC，BC，PC，若∠PCB＝∠ACO，求直线PC的解析式；
（3）如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
2022年广东省珠海市香洲区梅华中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑
1．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，﹣π中，最小的数是（ ）
A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．﹣π
【分析】先求绝对值，比较大小．
【解答】解：|﹣3.14|＝3.14．|﹣3|＝3，||＝，|﹣π|＝π．
∴﹣π＜﹣3＜﹣＜|﹣3.14|，
故选：D．
2．点P（﹣3，2）关于原点O的对称点P′的坐标是（ ）
A．（3，﹣2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
∴P（﹣3，2）关于原点过对称的点的坐标是（3，﹣2）．
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．﹣2﹣4＝
B．﹣2m•（﹣2n）＝2m+n（m＞0，n＞0）
C．（﹣2xy2）3＝﹣6x3y6
D．＝﹣8
【分析】根据负整数指数幂判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据立方根的定义判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝﹣，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝2m+n，故该选项符合题意；
C选项，原式＝﹣8x3y6，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝﹣4，故该选项不符合题意；
故选：B．
4．已知凸n边形有n条对角线，则此多边形的内角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【分析】根据多边形的对角线公式得出方程，求出n，再根据多边形的内角和公式求出内角和即可．
【解答】解：∵凸n边形有n条对角线，
∴＝n，
解得：n＝0（舍去），n＝5，
即多边形的边数是5，
所以这个多边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
故选：B．
5．甲、乙、丙、丁四名同学进行立定跳远测试，每人10次立定跳远成绩的平均数都是2.25米，方差分别是S甲2＝0.72，S乙2＝0.75，S丙2＝0.68，S丁2＝0.61，则这四名同学立定跳远成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝0.72，S乙2＝0.75，S丙2＝0.68，S丁2＝0.61，
∴S丁2＜S丙2＜S丙2＜S乙2，
∴这四名同学立定跳远成绩最稳定的是丁，
故选：D．
6．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3．则AB的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，
∴BC＝8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形，
∴CE＝8﹣3＝5，
在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，
设AB＝x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，解得x＝6，
故选：D．
7．珠海长隆海洋馆的某纪念品原价18元，连续两次降价a%后售价为11元，下列所列方程中正确的是（ ）
A．18 （1+a%）2＝11B．18 （1﹣a2%）＝11
C．18 （1﹣2a%）＝11D．18 （1﹣a%）2＝11
【分析】本题可先用a表示第一次降价后纪念品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已知条件得到关于a的方程．
【解答】解：当纪念品第一次降价a%时，其售价为18﹣18a%＝18（1﹣a%）；
当纪念品第二次降价a%后，其售价为18（1﹣a%）﹣18（1﹣a%）a%＝18（1﹣a%）2．
所以18（1﹣a%）2＝11．
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，1），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（ ）
A．（7，4）B．（7，3）C．（6，4）D．（6，3）
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，求出，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵A（1，0），D（3，0），
∴OA＝1，OD＝3，
∵△ABC与△DEF位似，
∴AB∥DE，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的位似比为1：3，
∵点B的坐标为（2，1），
∴E点的坐标为（2×3，1×3），即E点的坐标为（6，3），
故选：D．
9．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于P，若∠A＝30°，∠APD＝60°，则∠B等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】先根据平角的定义求出∠BPD的度数，再由圆周角定理求出∠D的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠APD＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣60°＝120°．
∵∠A＝30°，
∴∠D＝∠A＝30°，
∴∠B＝180°﹣120°﹣30°＝30°．
故选：A．
10．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．②③C．①③④D．②④
【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴cs∠ABE＝＝，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，
∴PF＝PBsin∠PBF＝t，
∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；
当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，
PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，
∵＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）将正确答案写在答题卡相应的位置上
11．（4分）的算术平方根是 2 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
12．（4分）若一组数据：7，3，5，x，2的众数为7，则这组数据的中位数是 5 ．
【分析】先根据众数的定义确定x的值，再由中位数的概念可得答案．
【解答】解：∵数据：7，3，5，x，2的众数为7，
∴x＝7，
∴数据为2、3、5、7、7，
∴这组数据的中位数为5，
故答案为：5．
13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k值为 1 ．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，
解得k＝1．
故答案为1．
14．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 20 秒才能停下来．
【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
【解答】解：由题意，
s＝﹣1.5t2+60t，
＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案是：20．
15．（4分）如果抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣2，﹣3）、（4，﹣3），那么抛物线的对称轴是 x＝1 ．
【分析】根据图象上函数值相等的点关于对称轴对称，可得抛物线的对称轴．
【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣2，﹣3）、（4，﹣3），得
（﹣2，﹣3）、（4，﹣3）关于对称轴对称，
即对称轴过（﹣2，﹣3）、（4，﹣3）的中点，
x＝＝1，
故答案为：x＝1．
16．（4分）如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，∠ACB＝50°．将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，连接CC'．若AB∥CC'，则旋转角的度数为 100 °．
【分析】先利用平行线的性质得到∠C′CB＝90°，则可计算出∠ACC′＝40°，再根据旋转的性质得AC＝AC′，∠C′AC等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠C′AC即可．
【解答】解：∵AB∥CC'，
∴∠ABC+∠C′CB＝180°，
而∠B＝90°，
∴∠C′CB＝90°，
∴∠ACC′＝90°﹣∠ACB＝90°﹣50°＝40°，
∵Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC′，∠C′AC等于旋转角，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝40°，
∴∠C′AC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
即旋转角为100°．
故答案为100．
17．（4分）如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始以AB＝1为直径画半圆，记为第一个半圆，以BC＝2为直径画半圆，记为第二个半圆，以CD＝4为直径画半圆，记为第三个半圆，以DE＝8为直径画半圆，记为第四个半圆，…，按此规律继续画半圆，则第2022个半圆的面积为 24039π （结果保留π）．
【分析】先根据规律得出第n个半圆的半径为22n﹣5π，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，第1个半圆的直径为1，
第2个半圆的直径为2，
第3个半圆的直径为4，
第4个半圆的直径为8，
…，
根据已知可得出第n个半圆的直径为：2n﹣1，
则第n个半圆的半径为：2n﹣2，
第n个半圆的面积为：•（2n﹣2）2＝22n﹣5π．
当n＝2022时，22n﹣5π＝24039π，
故答案为：24039π．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）计算：2﹣1+4cs45°﹣+（π﹣2022）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案．
【解答】解：原式＝+4×﹣2+1
＝+2﹣2+1
＝．
19．（6分）一个不透明的口袋装有分别标有汉字“美”“丽”“南”“山”的4个小球，除汉字不同外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个小球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；
（2）小华从中任取一个小球，记下小球上的汉字后放回，再从中任取一小球，请用画树状图或列表法，求小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）摸出球上的汉字刚好是“美”的概率＝；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的结果数为4，
所以小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率＝＝．
20．（6分）如图，点E、F在线段BC上，AB＝CD，BE＝CF且∠B＝∠C．
（1）求证：△ABF≌△DCE；
（2）请猜想四边形AEDF的形状，并加以证明．
【分析】（1）根据线段的和差得到BF＝CE，结合题意利用SAS即可证明△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得到AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，进而得到∠AFE＝∠DEF，即可判定AF∥DE，即可判定四边形AEDF是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF与△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）四边形AEDF是平行四边形，理由如下：
由（1）得△ABF≌△DCE，
∴AF＝DE，∠AFB＝∠DEC，
∵∠AFB+∠AFE＝180°，∠DEC+∠DEF＝180°，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE，
∴四边形AEDF是平行四边形．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随着销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝﹣2x+280，设这种绿茶在这段时间的销售利润为y（元）．
（1）求y和x的关系式；
（2）当销售单价为多少元时，该公司获取的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据销售利润＝每千克利润×总销量，因为y＝（x﹣60）w，w＝﹣2x+280，进而求出即可．
（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可．
【解答】解：（1）∵y＝（x﹣60）•w＝（x﹣60）•（﹣2x+280）＝﹣2x2+400x﹣16800，
∴y与x的关系式为：y＝﹣2x2+400x﹣16800．
（2）y＝﹣2x2+400x﹣16800＝﹣2（x﹣100）2+3200，
故当x＝100时，y的值最大值是3200．
22．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长．
【分析】（1）如图，连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC＝∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；
（2）由AB＝2BO，AB＝2BE得到BO＝BE＝CO，设BO＝BE＝CO＝x，所以OE＝2x，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求出x，最后利用三角函数的定义即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥CO，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O直径且C在半径外端，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝2BO，AB＝2BE，
∴BO＝BE＝CO，
设BO＝BE＝CO＝x，
∴OE＝2x，
在Rt△OCE中，
根据勾股定理得：OC2+CE2＝OE2，即x2+（）2＝（2x）2
∴x＝1，
∴AE＝3，∠E＝30°，
∴AD＝．
23．（8分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 y＝﹣x+4 ，反比例函数的解析式为 y＝ ；
（2）请直接写出不等式≤﹣x+b的解集是 1≤x≤3 ；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．
【分析】（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得b＝4，即得一次函数的解析式为y＝﹣x+4，将B（3，1）代入y＝得k＝3，即得反比例函数的解析式为y＝；
（2）求出A（1，3），由图可得，≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；
（3）由点P是线段AB上一点，可设设P（n，﹣n+4），且1≤n≤3，可得S＝OD•PD＝﹣（n﹣2）2+2，即得当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．
【解答】解：（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得：
1＝﹣3+b，解得b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4，
将B（3，1）代入y＝得：
1＝，解得k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）将A（m，3）代入y＝﹣x+4得：
3＝﹣m+4，解得m＝1，
∴A（1，3），
由图可得，≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；
（3）∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+4），
∴1≤n≤3，
∴S＝OD•PD＝•n（﹣n+4）＝﹣（n2﹣4n）＝﹣（n﹣2）2+2，
∵﹣＜0，且1≤n≤3，
∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，
∴当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图①，四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，点E是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），点F是线段BA延长线的一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G，设BE＝x，AF＝y，已知y与x之间的函数关系式如图②所示，
（1）图②中y与x的函数关系式为 y＝﹣2x+4（0＜x＜2） ；
（2）求证：△CDE∽△ADF；
（3）当△DEG是等腰三角形时，求x的值．
【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式．
（2）利用两边成比例夹角相等证明△CDE∽△ADF即可．
（3）分三种情况：①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H，③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED，分别列方程计算可得结论．
【解答】（1）解：设y＝kx+b，
由图象得：当x＝1时，y＝2，当x＝0时，y＝4，
代入得：，
，
∴y＝﹣2x+4（0＜x＜2）．
故答案为：y＝﹣2x+4（0＜x＜2）．
（2）证明：∵BE＝x，BC＝2
∴CE＝2﹣x，
∴＝＝，＝，
∴＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠DAF＝90°，
∴△CDE∽△ADF，
∴∠ADF＝∠CDE．
（3）解：假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，
①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DGE＝∠GEB，
∴∠DEG＝∠BEG，
在△DEF和△BEF中，
，
∴△DEF≌△BEF（AAS），
∴DE＝BE＝x，CE＝2﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2﹣x）2＝x2，
x＝．
②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H，
∵AD∥BC，EH∥CD，
∴四边形CDHE是平行四边形，
∴∠C＝90°，
∴四边形CDHE是矩形，
∴EH＝CD＝1，DH＝CE＝2﹣x，EH⊥DG，
∴HG＝DH＝2﹣x，
∴AG＝2x﹣2，
∵EH∥CD，DC∥AB，
∴EH∥AF，
∴△EHG∽△FAG，
∴＝，
∴＝，
∴x1＝，x2＝（舍），
经检验x＝是分式方程的解，
∴x＝．
③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED，
∵AD∥BC，
∴∠GDE＝∠DEC，
∴∠GED＝∠DEC，
∵∠C＝∠EDF＝90°，
∴△CDE∽△DFE，
∴＝，
∵△CDE∽△ADF，
∴＝＝，
∴＝，
∴2﹣x＝，
∴x＝．
综上，x＝或或．
25．（10分）已知，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P是抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P位于第四象限时，连接AC，BC，PC，若∠PCB＝∠ACO，求直线PC的解析式；
（3）如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，由题意可得tan∠BCM＝＝，求出BM＝，再由∠NBM＝45°，求出点M（2，﹣1），求直线CM的解析式即为所求；
（3）设P（t，﹣t2+2t+3），分别由待定系数法求出直线AP的解析式，直线BP的解析式，就能求出CE和CF的长，即可求解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点B作MB⊥CB交于点M，过点M作MN⊥x轴交于点N，
∵A（﹣1，0）、C（0，3），B（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，BC＝3，
∴tan∠ACO＝，
∵∠PCB＝∠ACO，
∴tan∠BCM＝＝，
∴BM＝，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∴∠NBM＝45°，
∴MN＝NB＝1，
∴M（2，﹣1），
设直线CM的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线PC的解析式为y＝﹣2x+3；
（3）的值是为定值．，理由如下：
设P（t，﹣t2+2t+3），
设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
∴，
∴y＝（3﹣t）x+（3﹣t），
∴E（0，3﹣t），
∴CE＝﹣t，
设直线BP的解析式为y＝k2x+b2，
∴，
∴，
∴y＝（﹣t﹣1）x+3t+3，
∴F（0，3t+3），
∴CF＝﹣3t，
∴＝，
∴的值是为定值．