专题17相交线与平行线（基础巩固练习）解析版

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2021年中考数学 专题17 相交线与平行线（基础巩固练习，共50个小题）一、选择题（共30小题）：1.（2020秋•吉林期末）下列说法正确的是（　　）A．直线AB与直线BA不是同一条直线B．射线AB与射线BA是同一条射线C．延长线段AB和延长线段BA的含义一样D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线【答案】D【解析】解：A.直线AB与直线BA是同一条直线，因此A不正确，故A不符合题意；B.射线AB与射线BA不是同一条射线，因此B不正确，故B不符合题意；C.延长线段AB和延长线段BA的含义不一样，因此C不正确，故C不符合题意；D.经过两点有一条直线，并且只有一条直线是正确的，故D符合题意；故选：D．2.（2020秋•虎林市期末）如图所示，点A，B，C，D在同一条直线上，则图中线段的条数有（　　）A．3条 B．4条 C．5条 D．6条【答案】D【解析】解：由图可得，线段有：线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD，共6条．故选：D．3.（2020秋•怀安县期末）已知线段AB＝12cm，AB所在的直线上有一点C，且BC＝6cm，D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　）A．3cm B．9cm C．3cm或6cm D．3cm或9cm【答案】D【解析】解：当C点在线段AB上，如图1，∵AB＝12cm，BC＝6cm，∴AC＝AB﹣BC＝6（cm），∵D是线段AC的中点，∴ADAC＝3（cm）；当C点在线段AB的延长线上，如图2，∵AB＝12cm，BC＝6cm，∴AC＝AB+BC＝18（cm），∵D是线段AC的中点，∴ADAC＝9（cm）．故线段AD的长为3cm或9cm．故选：D．4.（2020•凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（　　）A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm【答案】C【解析】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BCAB12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，①当ADAC时，如图，BD＝BC+CD＝BCAC＝6+4＝10（cm）；②当ADAC时，如图，BD＝BC+CD′＝BCAC＝6+2＝8（cm）．所以线段BD的长为10cm或8cm，故选：C．5.（2020秋•龙湖区期末）修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是（　　）A．线段可以比较大小            B．线段有两个端点C．两点之间，线段最短            D．过两点有且只有一条直线【答案】C【解析】解：修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是：两点之间，线段最短．故选：C．6.（2020秋•青山区期末）如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　）A．点A B．点B C．AB之间 D．BC之间【答案】A【解析】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×300+10×900＝13500（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+10×600＝15000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×900+15×600＝36000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜300），则所有人的路程的和是：30m+15（300﹣m）+10（900﹣m）＝13500+5m＞13500，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600﹣n）＝15000+35n＞13500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选：A．7.（2020秋•盐田区期末）如图，佳佳从A处沿正南方向骑行到B处，再右转60°骑行到C处，然后左转80°继续骑行，此时佳佳骑行的方向为（　　）A．南偏西20° B．南偏西80° C．南偏东20° D．南偏东80°【答案】C【解析】解：过点C作DC∥AB，如图：∵DC∥AB，∠GBH＝60°，∴∠HCF＝∠GBH＝60°．∵∠HCE＝80°，∴∠ECF＝∠HCE﹣∠HCF＝80°﹣60°＝20°，此时佳佳骑行的方向为南偏东20°，故选：C．8.（2020•柳州）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　　）【答案】B【解析】解：A、过A点作AD⊥BC于D；B、作了BC的垂直平分线得到BC的中点D；C、过BC上的点D作BC的垂线；D、作AC的垂直平分线交BC于D．故选：B．9.（2017•百色）如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是（　　）A．∠BAC＝∠BAM B．∠BAM＝∠CAM C．∠BAM＝2∠CAM D．2∠CAM＝∠BAC【答案】C【解析】解：∵AM为∠BAC的平分线，∴∠BAC＝∠BAM，∠BAM＝∠CAM，∠BAM＝∠CAM，2∠CAM＝∠BAC．故选：C．10.（2016•恩施州）已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为（　　）A．28° B．112° C．28°或112° D．68°【答案】C【解析】解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣42°＝28°；当点C与点C2重合时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝70°+42°＝112°．故选：C．11.（2020•襄阳）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C【答案】D【解析】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（AAS），∴DB＝DE，AB＝AE，∵∠AED+∠B＝180°∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正确，故选：D．12.（2020秋•鞍山期末）如图，下列说法中不正确的是（　　）A．∠1与∠AOB是同一个角 B．∠α与∠COB是同一个角 C．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC D．∠AOC可以用∠O来表示【答案】D【解析】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，故原题说法正确；B、∠α与∠COB是同一个角，故原题说法正确；C、图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC，故原题说法正确；D、∠AOC不可以用∠O来表示，故原题说法错误；故选：D．13.（2020春•红河州期末）如图，点O在直线AB上，若∠AOC＝30°，则∠BOC的度数是（　　）A．60° B．70° C．140° D．150°【答案】D【解析】解：∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，∴∠AOC+∠BOC＝180°，又∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°＝150°．故选：D．14.（2020•石景山区二模）如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（　　）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【解析】解：看内圈的数字可得：∠AOB＝120°，故选：C．15.（2020秋•凤县期末）如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（　　）A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°【答案】D【解析】解：∵∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOCAOB＝30°，又∠COP＝15°①当OP在∠BOC内，∠BOP＝∠BOC﹣∠COP＝30°﹣15°＝15°，②当OP在∠AOC内，∠BOP＝∠BOC+∠COP＝30°+15°＝45°，综上所述：∠BOP＝15°或45°．故选：D．16.（2020秋•双阳区期末）用一副三角板按如图方式放置，恰好与∠AOB重合，则∠AOB的大小为（　　）A．60° B．105° C．85° D．75°【答案】D【解析】解：∠AOB＝45°+30°＝75°．故选：D．17.（2020秋•惠来县期末）如图，∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（　　）A．∠AOD+∠BOE＝60° B．∠AOD∠EOC C．∠BOE＝2∠COD D．∠DOE的度数不能确定【答案】A【解析】解：如图所示：∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，∴∠AOD＝∠DOC，∠COE＝∠BOE，又∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∴∠AOD+∠BOE＝60°，故选：A．18.（2020秋•金牛区期末）如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOD＝130°，则∠BOC的度数为（　　）A．130° B．140° C．135° D．120°【答案】B【解析】解：∵∠BOD＝130°，∠COD＝90°，∴∠BOC＝360°﹣∠BOD﹣∠COD＝360°﹣130°﹣90°＝140°，故选：B．19.（2020秋•鼓楼区校级月考）观察图形，下列说法正确的个数是（　　）①直线BA和直线AB是同一条直线； ②射线AC和射线AD是同一条射线；③线段AC和线段CA是同一条线段； ④三条直线两两相交时，一定有三个交点．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：①直线没有方向，直线BA和直线AB是同一条直线，故①说法正确；②射线AC和射线AD是同一条射线，故②说法正确；③线段AC和线段CA是同一条线段，故③说法正确；④三条直线两两相交时，一定有三个交点，还可能有一个，故④说法不正确．共3个说法正确．故选：C．20.（2020•广西）如图，已知直线AB，CD被直线ED所截，AB∥CD，∠1＝140°，则∠D为（　　）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】A【解析】解：如图，∵AB∥CD，∴∠2＝∠D，∵∠1＝140°，∴∠D＝∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°，故选：A．21.（2020•兰州）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠A＝50°，则∠C＝（　　）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【解析】解：如图，∵AE∥CF，∠A＝50°，∴∠1＝∠A＝50°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠1＝50°，故选：B．22.（2020•济南）如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　　）A．35° B．45° C．55° D．70°【答案】C【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝35°，∵AD⊥AC，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝90°﹣35°＝55°，故选：C．23.（2020•呼伦贝尔）如图，直线AB∥CD，AE⊥CE于点E，若∠EAB＝120°，则∠ECD的度数是（　　）A．120° B．100° C．150° D．160°【答案】C【解析】解：延长AE，与DC的延长线交于点F，∵AB∥CD，∴∠A+∠AFC＝180°，∵∠EAB＝120°，∴∠AFC＝60°，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，而∠AEC＝∠AFC+∠ECF，∴∠ECF＝∠AEC﹣∠F＝30°，∴∠ECD＝180°﹣30°＝150°，故选：C．24.（2020•河池）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（　　）A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角【答案】A【解析】解：如图所示，∠1和∠2两个角都在被截直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．故选：A．25.（2020•鞍山）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC，若∠ABC＝54°，则∠1的度数为（　　）A．36° B．54° C．72° D．73°【答案】C【解析】解：∵l1∥l2，∠ABC＝54°，∴∠2＝∠ABC＝54°，∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，∴AC＝AB，∴∠ACB＝∠ABC＝54°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠1＝72°．故选：C．26.（2019•锦州）如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB＝105°，∠B＝30°，则∠C的度数为（　　）A．45° B．55° C．60° D．75°【答案】A【解析】解：∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣105°﹣30°＝45°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠A＝45°，故选：A．27.（2019•莱芜区）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝65°，则∠2的度数是（　　）A．122.5° B．123° C．123.5° D．124°【答案】A【解析】解：∵∠1＝65°，∴∠BEF＝180°﹣65°＝115°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG∠BEF＝57.5°，∵AB∥CD，∴∠2+∠BEG＝180°，∴∠2＝180°﹣57.5°＝122.5°，故选：A．28.（2019•湖北）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（　　）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】D【解析】解：∵CD∥AB，∴∠AOD+∠D＝180°，∴∠AOD＝70°，∴∠DOB＝110°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝55°，∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．29.（2019•资阳）如图，l1∥l2，点O在直线l1上，若∠AOB＝90°，∠1＝35°，则∠2的度数为（　　）A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】B【解析】解：∵l1∥l2，∠1＝35°，∴∠OAB＝∠1＝35°．∵OA⊥OB，∴∠2＝∠OBA＝90°﹣∠OAB＝55°．故选：B．30.（2018•莱芜）如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB＝（　　）A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°【答案】B【解析】解：如图，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GE，∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠EDC＝180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°；又∵∠BED＝61°，∴∠ABE+∠CDE＝299°．∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴∠FBE+∠EDF（∠ABE+∠CDE）＝149.5°，∵四边形的BFDE的内角和为360°，∴∠BFD＝360°﹣149.5°﹣61°＝149.5°．故选：B．二、填空题（共12小题）：31.（2019•日照）如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为　 　cm．【答案】1【解析】解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，∴BCAB8＝4（cm），∵BD＝3cm，∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），则CD的长为1cm；故答案为：1．32.（2020秋•东西湖区期末）如图，建筑工人在砌墙时，为了使砌的墙是直的，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的细线绳作参照线．这样做的依据是：　                       　．【答案】两点确定一条直线【解析】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．33.（2020•通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是　       　．【答案】126°42′32″【解析】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝53°17′28″，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣53°17′28″＝126°42′32″，故答案为：126°42′32″．34.（2020秋•双阳区期末）如图，OC平分∠AOB，若∠BOC＝29°，则∠AOB＝　 　°．【答案】58【解析】解：因为OC平分∠AOB，∠BOC＝29°，所以∠AOB＝2∠BOC＝2×29°＝58°．故答案为：58．35.（2020秋•兰山区期末）如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，则∠COB的度数为　 　．【答案】82°28′【解析】解：∵∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，∴∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′，∵∠AOB＝40°，∴∠COB＝180°﹣∠AOB﹣∠COE＝180°﹣40°﹣57°32′＝82°28′．故答案为：82°28′．36.（2020秋•滦州市期末）如图，已知OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°．则∠MON的度数为　   　．【答案】45°【解析】解：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC∠AOC＝60°，∠CON∠BOC＝15°．∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°．故答案为：45°．37.（2020秋•北碚区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为　   　度．【答案】60【解析】解：∵BD、BE为折痕，∴BD、BE分别平分∠CBC′、∠ABA′∴∠A′BE＝∠ABE＝30°，∠DBC＝∠DBC′∵∠A′BE+∠ABE+∠DBC+∠DBC′＝180°∴∠ABE+∠DBC＝90°∴∠DBC＝60°．故答案为60°38.（2020秋•丹阳市期末）如图，∠AOB＝90°，∠AOC＝2∠BOC，则∠BOC＝　   　°．【答案】30【解析】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝2∠BOC，∴∠AOC+∠BOC＝90°，即2∠BOC+∠BOC＝90°，∴∠BOC＝30°故答案为：30°．39.（2020春•长春期末）一副三角尺按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，则∠2的大小为　  　度．【答案】20【解析】解：由图可知：∠1+∠2+90°＝180°，即∠1+∠2＝90°，∵∠1﹣∠2＝50°，∴∠1＝70°，∠2＝20°．故答案为20°．40.（2019•益阳）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　  　度．【答案】52【解析】解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠2，∵OA⊥OB，∴∠O＝90°，∵∠1＝∠3+∠O＝142°，∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°，故答案为：52．41.（2019•景洪市一模）如图，已知AB∥CD，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠CDO＝50°，则∠DOF＝　  　度．【答案】25【解析】解：∵AB∥CD，OE平分∠AOD，∠CDO＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠CDO＝180°﹣50°＝130°，∠AOE＝∠DOE∠AOD130°＝65°．∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°．∴∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE＝90°﹣65°＝25°．42.（2018•铜仁市）如图，m∥n，∠1＝110°，∠2＝100°，则∠3＝　  　°．【答案】150【解析】解：如图，∵m∥n，∠1＝110°，∴∠4＝70°，∵∠2＝100°，∴∠5＝80°，∴∠6＝180°﹣∠4﹣∠5＝30°，∴∠3＝180°﹣∠6＝150°，故答案为：150．三、解答题（共8小题）：43.（2020秋•金昌期末）填空，完成下列说理过程如图，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．（1）求∠DOE的度数；（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数．【答案】(1)90°；(2)155°.【解析】解：（1）如图，∵OD是∠AOC的平分线，∴∠COD∠AOC．∵OE是∠BOC的平分线，∴∠COE∠BOC．所以∠DOE＝∠COD+∠COE（∠AOC+∠BOC）∠AOB＝90°．（2）由（1）可知：∠BOE＝∠COE＝90°﹣∠COD＝25°．所以∠AOE＝180°﹣∠BOE＝155°．44.（2016•广州）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析。【解析】解：图象如图所示，∵∠EAC＝∠ACB，∴AD∥CB，∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，∴△ACD≌△CAB（SAS），∴∠ACD＝∠CAB，∴AB∥CD．45.（2019•武汉）如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．【答案】见解析。【解析】证明一：∵∠A＝∠1，∴AE∥BF，∴∠2＝∠E．∵CE∥DF，∴∠2＝∠F，∴∠E＝∠F．证明二：∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D，∵∠A＝∠1，∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠D﹣∠1，∴∠E＝∠F．46.（2017•重庆）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．【答案】50°【解析】解：∵EF∥GH，∴∠ABD+∠FAC＝180°，∴∠ABD＝180°﹣72°＝108°，∵∠ABD＝∠ACD+∠BDC，∴∠BDC＝∠ABD﹣∠ACD＝108°﹣58°＝50°．47.（2016•淄博）如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．【答案】OB∥AC；OA∥BC.【解析】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2，∴OB∥AC，∵∠2＝50°，∠3＝130°，∴∠2+∠3＝180°，∴OA∥BC．48.（2020春•无棣县期末）已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．（1）若∠O＝50°，求∠BCD的度数；（2）求证：CE平分∠OCA；（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．【答案】(1)115°；(2)见解析；(3)当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分.【解析】解：（1）∵AB∥ON∴∠O＝∠MCB（两直线平行，同位角相等）∵∠O＝50°∴∠MCB＝50°∵∠ACM+∠MCB＝180°（平角定义）∴∠ACM＝180°﹣50°＝130°又∵CD平分∠ACM∴∠DCM＝65°（角平分线定义）∴∠BCD＝∠DCM+∠MCB＝65°+50°＝115°（2）证明：∵CE⊥CD∴∠DCE＝90°∴∠ACE+∠DCA＝90°又∵∠MCO＝180°（平角定义）∴∠ECO+∠DCM＝90°∵∠DCA＝∠DCM∴∠ACE＝∠ECO（等角的余角相等）即CE平分∠OCA（3）结论：当∠O＝36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分①当∠O＝36°时∵AB∥ON∴∠ACO＝∠O＝36°∴∠ACM＝144°又∵CD平分∠ACM∴∠ACD＝72°∴∠ACO∠ACD即CA分∠OCD成1：2两部分②当∠O＝90°时∵AB∥ON∴∠ACO＝∠O＝90°∴∠ACM＝90°又∵CD平分∠ACM∴∠ACD＝45°∴∠ACD∠ACO即CA分∠OCD成1：2两部分49.（2019秋•江城区期末）如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板如图摆放（∠MON＝90°）．（1）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图②，使边OM恰好平分∠BOC，问：ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）将图①中的三角板绕点O旋转一定的角度得图③，使边ON在∠BOC的内部，如果∠BOC＝60°，则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．【答案】(1)ON平分∠AOC；(2)∠BOM＝∠NOC+30°.【解析】解：（1）ON平分∠AOC．理由如下：∵∠MON＝90°，∴∠BOM+∠AON＝90°，∠MOC+∠NOC＝90°．又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM＝∠MOC，∴∠AON＝∠NOC．∴ON平分∠AOC．（2）∠BOM＝∠NOC+30°．理由如下：∵∠CON+∠NOB＝60°，∠BOM+∠NOB＝90°，∴∠BOM＝90°﹣∠NOB＝90°﹣（60°﹣∠NOC）＝∠NOC+30°．∴∠BOM与∠NOC之间存在的数量关系是：∠BOM＝∠NOC+30°．50.（2020春•封开县期末）将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．【答案】(1)30°；(2)∠BCD+∠ACE＝180°；(3)当∠BCD＝120°或60°时，CD∥AB.【解析】解：（1）∵∠BCA＝∠ECD＝90°，∠BCD＝150°，∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝150°﹣90°＝60°，∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣60°＝30°；（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，∴∠BCD+∠ACE＝180°；（3）当∠BCD＝120°或60°时，CD∥AB．如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，当∠B+∠BCD＝180°时，CD∥AB，此时∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°；如图③，根据内错角相等，两直线平行，当∠B＝∠BCD＝60°时，CD∥AB．