初中数学北师大版八年级上册1 探索勾股定理学案及答案

这是一份初中数学北师大版八年级上册1 探索勾股定理学案及答案，文件包含勾股定理的逆定理提高巩固练习doc、勾股定理的逆定理提高知识讲解doc等2份学案配套教学资源，其中学案共11页， 欢迎下载使用。

【学习目标】
1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；
2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；
3. 理解勾股数的含义；
4. 通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.
【要点梳理】
要点一、勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形
首先确定最大边（如）.
验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.
要点三、勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：
3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……
如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（2）（是自然数）是直角三角形的三条边长；
（3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；
【典型例题】
类型一、勾股定理的逆定理
1、（2020春•咸丰县月考）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为多少 cm2.
【思路点拨】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【答案与解析】
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），
∴S△PBQ=BP•BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
【总结升华】本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
2、如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．
（1）判断△DEC的形状，并说明理由；
（2）求∠ADB的度数．
【思路点拨】把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60°，因此出现等边△BDE，从而才能更有利的判断三角形的形状和求∠ADB的度数．
【答案与解析】
解：（1）根据图形的旋转不变性，
AD=EC，BD=BE，
又∵∠DBE=∠ABC=60°，
∴△ABC和△DBE均为等边三角形，
于是DE=BD=3，EC=AD=4，
又∵CD=5，
∴DE2+EC2=32+42=52=CD2；
故△DEC为直角三角形．
（2）∵△DEC为直角三角形，
∴∠DEC=90°，
又∵△BDE为等边三角形，
∴∠BED=60°，
∴∠BEC=90°+60°=150°，
即∠ADB=150°．
【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论．
举一反三：
【变式】如图所示，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝CD＝2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
【答案】
解：连接BD．∵ CD⊥CP，且CD＝CP＝2，
∴ △CPD为等腰直角三角形，即∠CPD＝45°．
∵ ∠ACP+∠BCP＝∠BCP+∠BCD＝90°，
∴ ∠ACP＝∠BCD．
∵ CA＝CB，
∴ △CAP≌△CBD(SAS)，
∴ DB＝PA＝3．
在Rt△CPD中，．
又∵ PB＝1，则．
∵ ，
∴ ，
∴ △DPB为直角三角形，且∠DPB＝90°，
∴ ∠CPB＝∠CPD+∠DPB＝45°+90°＝135°．
类型二、勾股定理逆定理的应用
3、已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．
【答案与解析】
解：令=k．
∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，
∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．
又∵a+b+c=12，
∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，
∴k=3．
∴a=5，b=3，c=4．
∴△ABC是直角三角形．
【总结升华】此题借用设比例系数k的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．
举一反三：
【变式】（2015春•渝中区校级月考）△ABC的三边a、b、c满足|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0．试判断△ABC的形状是 ．
【答案】直角三角形．
解：∵|a+b﹣50|++（c﹣40）2=0，
∴，
解得，
∵92+402=412，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为直角三角形．
4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？
【答案与解析】
解：∵ ，
∴ △ABC为直角三角形．∴ ∠ABC＝90°．
又BD⊥AC，可设CD＝，
∴
①－②得，
解得．∴ ≈0.85(h)＝51(分)．
所以走私艇最早在10时41分进入我国领海．
【总结升华】（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件．