北师大版七年级下册2 图形的全等学案

全等三角形的概念和性质（基础）

【学习目标】

1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.

2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.

【要点梳理】

要点一、全等形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.

要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.

要点二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

要点三、对应顶点，对应边，对应角

1. 对应顶点，对应边，对应角定义

两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

要点诠释：

在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.

2. 找对应边、对应角的方法

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（3）有公共边的，公共边是对应边；

（4）有公共角的，公共角是对应角；

（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.

要点四、全等三角形的性质
　　全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【典型例题】

类型一、全等形和全等三角形的概念

1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（     ）

         A．                                   B．

C．                                                                                                                                  D．

【答案】A

【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.

【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.

举一反三：

【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（　　）

　A.各有一个角是45°的两个等腰三角形

　B.两个等边三角形

　C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形

　D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形

【答案】D；

解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；

B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；

C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；

D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．

类型二、全等三角形的对应边，对应角　

2、（2020•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（　　）

A．∠B       B．∠A       C．∠EMF       D．∠AFB

【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项　　　　　　　　　　　　　　　

【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，

∴∠DCE=∠B，故选A．

【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.

举一反三：

【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.
 

【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.

类型三、全等三角形性质　

3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.

解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，

∴∠ECB＝________°.

∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，

∴△________≌△_________.

∴∠ADB＝∠________＝________°.

【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.

【答案】55；ABD，EBC；ECB，55

【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.

【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.

4、（2020秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．

【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE，都减去∠ACE即可．

【答案与解析】

解：AB的对应边为DE，

∵△ABC≌△DEC，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠ACB—∠ACE=∠DCE—∠ACE，

即∠BCE=∠DCA=40°．

【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．

举一反三：

【变式】如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是____________.

【答案】70°；

提示：＝∠＝90°－20°＝70°.