2019-2020学年陕西省西安八十五中八年级（下）期中数学试卷

这是一份2019-2020学年陕西省西安八十五中八年级（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年陕西省西安八十五中八年级（下）期中数学试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列不等式中不一定成立的是（　　）
A．若x＞y，则x﹣a＞y﹣a B．若x＞y，则x2＞y2
C．若xc2＜yc2，则x＜y D．若x＞y，则m+x＞m+y
3．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．x2+4x+4＝（x+2）2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．ax2﹣a＝a（x2﹣1）
4．（3分）在下列各式：，，，，2x﹣中，是分式的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点
6．（3分）如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　）

A．20 B．25 C．30 D．35
7．（3分）不等式组有4个不同的整数解，则m的取值范围（　　）
A．2≤m＜3 B．2＜m≤3 C．m＜3 D．2＜m
8．（3分）关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
9．（3分）若直线y＝3x﹣1与y＝x﹣t的交点在第四象限，则常数t的取值范围是（　　）
A．t＜ B．＜t＜1 C．t＞1 D．t＞1或t＜
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每空2分，共12分）
11．（2分）分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝　 　．
12．（2分）若分式的值为0，则x的值为　 　．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P（1，﹣3），则关于x的不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集是　 　．

14．（2分）已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为　 　．
15．（2分）某圾处理厂日处理垃圾3600吨，实施垃圾分类后，每小时垃圾的处理量比原来提高20%，这样日处理同样多的垃圾就少用3h．若设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为x吨，则可列方程　 　．
16．（2分）给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2，则∠C＝90°；③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④△ABC中，若a：b：c＝1：2：，则这个三角形是直角三角形，其中，正确命题为　 　（选填序号）．
三、解答题（共8小题，共58分，解答题写过程）
17．（7分）（1）解不等式，并把它的解集写在数轴上．
（2）解不等式组并写出它的所有整数解．
18．（6分）把下列各式分解因式：
（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）；
（2）（a2+4）2﹣16a2．
19．（8分）（1）解方程：＝1；
（2）先化简再求值：，其中，x＝﹣．
20．（5分）如图：在△ABC，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．

21．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

22．（8分）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

23．（10分）在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解析式．
（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
24．（8分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小．


2019-2020学年陕西省西安八十五中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）下列不等式中不一定成立的是（　　）
A．若x＞y，则x﹣a＞y﹣a B．若x＞y，则x2＞y2
C．若xc2＜yc2，则x＜y D．若x＞y，则m+x＞m+y
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时减去a，不等式仍成立，即x﹣a＞y﹣a，故本选项不符合题意．
B、当0＞x＞y时，则x2＞y2不成立，故本选项符合题意．
C、在不等式xc2＜yc2的两边同时除以x2，不等式仍成立，即x＜y，故本选项不符合题意．
D、在不等式x＞y的两边同时加上m，不等式仍成立，即m+x＞m+y，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质：
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 B．x2+4x+4＝（x+2）2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．ax2﹣a＝a（x2﹣1）
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4．（3分）在下列各式：，，，，2x﹣中，是分式的共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式可得答案．
【解答】解：，，2x﹣是分式，共3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母．
5．（3分）在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【分析】利用线段的垂直平分线的性质进行思考，首先思考满足PA＝PB的点的位置，然后思考满足PB＝PC的点的位置，答案可得．
【解答】解：∵PA＝PB∴P在AB的垂直平分线上，
同理P在AC，BC的垂直平分线上．
∴点P是△ABC三边垂直平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．注意做题时要分别进行思考．
6．（3分）如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　）

A．20 B．25 C．30 D．35
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．
【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝3，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×3
＝×20×3＝30，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
7．（3分）不等式组有4个不同的整数解，则m的取值范围（　　）
A．2≤m＜3 B．2＜m≤3 C．m＜3 D．2＜m
【分析】由不等式组的整数解个数及第一个不等式的解集得出其整数解，进一步即可得出答案．
【解答】解：∵不等式组有4个不同的整数解，
∴这4个整数解为﹣1、0、1、2，
则2≤m＜3，
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组是解题的关键．
8．（3分）关于x的方程无解，则m的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1＝0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：3x﹣2＝2x+2+m，
由分式方程无解，得到x+1＝0，即x＝﹣1，
代入整式方程得：﹣5＝﹣2+2+m，
解得：m＝﹣5，
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
9．（3分）若直线y＝3x﹣1与y＝x﹣t的交点在第四象限，则常数t的取值范围是（　　）
A．t＜ B．＜t＜1 C．t＞1 D．t＞1或t＜
【分析】先求出解方程组的解，然后根据第四象限内点的坐标特征，列出关于t的不等式组，从而得出t的取值范围．
【解答】解：解方程组
得
∵交点在第四象限，

解得：＜t＜1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数与方程组的关系及第四象限内点的坐标特征．解题的关键是明确第四象限内点的坐标特征：横坐标＞0，纵坐标＜0．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】如图连接PC．思想求出PC＝2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC＝A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选：B．

【点评】本题考查旋转变换、解直角三角形、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每空2分，共12分）
11．（2分）分解因式：x3y﹣2x2y+xy＝　xy（x﹣1）2　．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣2x+1）＝xy（x﹣1）2．
故答案为：xy（x﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（2分）若分式的值为0，则x的值为　﹣3　．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：因为分式的值为0，所以＝0，
化简得x2﹣9＝0，即x2＝9．
解得x＝±3
因为x﹣3≠0，即x≠3
所以x＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，注意分母不为0．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若直线y1＝﹣x+a与直线y2＝bx﹣4相交于点P（1，﹣3），则关于x的不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集是　x＞1　．

【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝﹣x+a的图象都在y＝bx﹣4的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集为x＞1；
【解答】解：当x＞1时，函数y＝﹣x+a的图象都在y＝bx﹣4的图象下方，所以不等式﹣x+a＜bx﹣4的解集为x＞1；
故答案为x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
14．（2分）已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度后的坐标为　（3，0）　．
【分析】根据横轴上的点，纵坐标为零，纵轴上的点，横坐标为零可得a、b的值，然后再根据点的平移方法可得C平移后的坐标．
【解答】解：∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，
∴a﹣5＝0，
解得：a＝5，
∵B（3a+2，b+3）在x轴上，
∴b+3＝0，
解得：b＝﹣3，
∴C点坐标为（5，﹣3），
∵C向左平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，
∴所的对应点坐标为（5﹣2，﹣3+3），
即（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，以及坐标轴上点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
15．（2分）某圾处理厂日处理垃圾3600吨，实施垃圾分类后，每小时垃圾的处理量比原来提高20%，这样日处理同样多的垃圾就少用3h．若设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为x吨，则可列方程　﹣3＝　．
【分析】设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为x吨，根据“日处理同样多的垃圾就少用3h”找到等量关系并列出方程．
【解答】解：设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为x吨，
根据题意，得﹣3＝．
故答案是：﹣3＝．
【点评】本题考查从实际问题中抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
16．（2分）给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2，则∠C＝90°；③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④△ABC中，若a：b：c＝1：2：，则这个三角形是直角三角形，其中，正确命题为　③④　（选填序号）．
【分析】根据勾股定理、三角形内角和定理、勾股定理的逆定理判断．
【解答】解：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，
当4是直角边时，第三边＝＝5，
当4是斜边长时，第三边＝＝
则第三边长为5或，本说法是假命题；
②三角形的三边a、b、c满足a2+c2＝b2，则∠B＝90°，本说法是假命题；
③△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，
设∠A、∠B、∠C分别为x、5x、6x，
则x+5x+6x＝180°，
解得，x＝15°，
则∠A、∠B、∠C分别为15°、75°、90°，
则△ABC是直角三角形，本说法是真命题；
④△ABC中，若a：b：c＝1：2：，
设a、b、c分别为x、2x、x，
∵x2+（x）2＝4x2，（2x）2＝4x2，
∴x2+（x）2＝（2x）2，
∴这个三角形是直角三角形，本说法是真命题，
故答案为：③④．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
三、解答题（共8小题，共58分，解答题写过程）
17．（7分）（1）解不等式，并把它的解集写在数轴上．
（2）解不等式组并写出它的所有整数解．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，
去括号，得：4x﹣2﹣15x﹣3≥6，
移项，得：4x﹣15x≥6+2+3，
合并同类项，得：﹣11x≥11，
系数化为1，得：x≤﹣1，
将解集表示在数轴上如下：
；

（2），
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
∴不等式组的整数解为﹣1，0，1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（6分）把下列各式分解因式：
（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）；
（2）（a2+4）2﹣16a2．
【分析】（1）两次运用提公因式法，即可得到结果；
（2）先运用平方差公式，再运用完全平方公式，即可得到结果．
【解答】解：（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）
＝2a（x﹣y）+6b（x﹣y）
＝2（x﹣y）（a+3b）；
（2）（a2+4）2﹣16a2
＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）
＝（a+2）2（a﹣2）2．
【点评】本题主要考查了提公因式法以及公式法的综合运用，解题时注意：有公因式时，先提出公因式，再运用公式法进行因式分解．
19．（8分）（1）解方程：＝1；
（2）先化简再求值：，其中，x＝﹣．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）去分母得：x2+2x+1+4＝x2﹣1，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解；
（2）原式＝•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，原式＝﹣1+4＝3．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（5分）如图：在△ABC，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．

【分析】先求证△AEC和△ADB全等，推出AE＝AD，再求证△AEF和△ADF全等，可得EF＝DF，进而可得推出AF平分∠BAC．
【解答】证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AE＝AD，
在Rt△AEF和Rt△ADF中，
∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），
∴EF＝DF，
∴AF平分∠BAC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定，关键是掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上．
21．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）找出点A、B、C绕原点O顺时针旋转90°的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．
【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标（﹣3，1）；

（2）如图所示：点A2的坐标（1，﹣1）；

（3）找出A的对称点A′（1，﹣1），
连接BA′，与x轴交点即为P；
如图所示：点P坐标为（2，0）．

【点评】本题考查了利用平移变换作图、轴对称﹣最短路线问题；熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22．（8分）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD＝OC，DE＝CE，OE＝OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；
（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°可得出∠AOE＝∠BOE＝30°，由直角三角形的性质可得出OE＝2DE，同理可得出DE＝2EF即可得出结论．
【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；

（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
23．（10分）在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．
（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解析式．
（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用．
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是am2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解；
（2）根据题意得到100x+50y＝1800，整理得：y＝36﹣2x，即可解答．
（3）根据甲乙两队施工的总天数不超过26天，得到x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w＝0.6x+0.25y＝0.6x+0.25×（36﹣2x）＝0.1x+9，根据一次函数的性质，即可解答．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是am2，
根据题意得：﹣＝4，
解得：a＝50，
经检验，a＝50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2）．
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）根据题意，得：100x+50y＝1800，
整理得：y＝36﹣2x，
∴y与x的函数解析式为：y＝36﹣2x．
（3）∵甲乙两队施工的总天数不超过26天，
∴x+y≤26，
∴x+36﹣2x≤26，
解得：x≥10，
设施工总费用为w元，根据题意得：
w＝0.6x+0.25y＝0.6x+0.25×（36﹣2x）＝0.1x+9，
∵k＝0.1＞0，
∴w随x减小而减小，
∴当x＝10时，w有最小值，最小值为0.1×10+9＝10，
此时y＝26﹣10＝16．
答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低，最低费用为10万元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
24．（8分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ的大小．

【分析】（1）根据正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，再利用旋转的性质得AP＝AP′，∠PAP′＝∠DAB＝90°，于是可判断△APP′是等腰直角三角形；
（2）根据等腰直角三角形的性质得PP′＝PA＝，∠APP′＝45°，再利用旋转的性质得PD＝P′B＝，接着根据勾股定理的逆定理可证明△PP′B为直角三角形，∠P′PB＝90°，然后利用平角定义计算∠BPQ的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴AP＝AP′，∠PAP′＝∠DAB＝90°，
∴△APP′是等腰直角三角形；
（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′＝PA＝，∠APP′＝45°，
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴PD＝P′B＝，
在△PP′B中，PP′＝，PB＝2，P′B＝，
∵（）2+（2）2＝（）2，
∴PP′2+PB2＝P′B2，
∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB＝90°，
∴∠BPQ＝180°﹣∠APP′﹣∠P′PB＝180°﹣45°﹣90°＝45°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．
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日期：2020/11/10 15:37:02；用户：初数2；邮箱：jytcs02@xyh.com；学号：28950177