2022银川二中高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

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银川二中2021-2022学年第一学期高二年级期末考试

理科数学试题

注意事项：

1. 本试卷共22小题，满分150分。考试时间为120分钟。
2. 答案写在答题卡上的指定位置。考试结束后，交回答题卡。

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1. 一辆汽车的位移与时间是按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝(        )

A. B. C. 2 D. 3

2. 复数的共轭复数是（）

A.   B. C. D.

3. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为（）

A. 11B. 12          C. 13 D. 14

4．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）

A．由，求出，，，…，推断：数列

的前项和

B．由满足对都成立，推断：为奇函数

C．由半径为的圆的面积，推断单位圆的面积

D．由，，，…，推断：对一切，

5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3,1，则输出的n等于(　　)

A．5 B．4C．3 D．2

6．设两个变量与之间具有线性相关关系，相关系数为，回归方程为，那么必有　(      ）　

A．与符号相同B．与符号相同C.与符号相反D．与符号相反

7. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）

            A.  B. C. D.

8. 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是(　　)

A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁

9．“五一”期间，甲、乙、丙三个大学生外出旅游，已知一人去北京，一人去西安，一人去云南．回来后，三人对去向作了如下陈述：甲：“我去了北京，乙去了西安．”乙：“甲去了西安，丙去了北京．”丙：“甲去了云南，乙去了北京．”事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半(关于去向的地点仅对一个)．根据以上信息，判断下面说法中正确的是(　　)

A．甲去了西安B．乙去了北京

C．丙去了西安D．甲去了云南

10．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为，

则判断框中应填入(　)

A．i≤5?B．i≤6?

C．i≤7?D．i≤8?

11. 定义域为的函数满足，且的导函数，则满足的的集合为 (         )

A. B. C. D.

12．设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由

，可得.类比上述方法：实系数一元三次方程在复数集C内的根为，则的值(   )  

A． B．0 C．2 D．4

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为_________.

14. 函数的图象在点P（）处的切线方程是，则_____.
15. 对于下面这个等式我们除了可以用等比数列的求和公式获得，还可以用数学归纳法对其进行

证明“”，那么在应用数学归纳法证明时，当验证

是否成立时，左边的式子应该是_______.(提示：该等式对解答完成第17题有帮助）.

16. 桌面排列着100个乒乓球，两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是：每次拿走球的个数至少要拿1个，但最多又不能超过5个，这个游戏中，先手是有必胜策略的，请问：如果你是最先拿球的人，为了保证最后赢得这个游戏，你第一次该拿走___个球.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明）

17. （本小题满分12分）

在复数集C内方程有六个根分别为

（Ⅰ）解出这六个根;

（Ⅱ）在复平面内，这六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F；求多边形ABCDEF的面积 .

18. （本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）填写函数的相关性质；

（Ⅱ）通过（Ⅰ）绘制出函数的图像，并讨论方程解的个数.

19 . （本小题满分12分）从某居民区随机抽取2021年的10个家庭,获得第个家庭的月收入(单位:千元)与月储蓄(单位:千元)的数据资料,计算得

, , , .

（Ⅰ）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程;

（Ⅱ）判断变量与之间是正相关还是负相关;

（Ⅲ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并预测当该居民区某家庭月收入为7千元,该家庭的月储蓄额.附:线性回归方程系数公式.

中,,,其中,为样本平均值.

20.（本小题满分12分）

某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.

（Ⅰ）A类工人中和B类工人各抽查多少工人？

（Ⅱ）A类工人中抽查结果和B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2

表1：

表2：

(ⅰ)先确定，再在答题纸上完成下面的频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

(ii)分别估计出A类工人和类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）.

21. （本小题满分10分）证明：是无理数.

（我们知道任意一个有理数都可以写成形如（m,n互质，）的形式）

22.（本小题满分12分）

已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；

（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

【1题答案】

【答案】D

【2题答案】

【答案】B

【3题答案】

【答案】B

【4题答案】

【答案】A

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】D

【8题答案】

【答案】C

【9题答案】

【答案】D

【10题答案】

【答案】C

【11题答案】

【答案】B

【12题答案】

【答案】A

【13题答案】

【答案】160

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】4

17【答案】（1）

（2）

【小问1】

由题意，

当时，设

故，

所以

解得：，即

当时，设

故

所以

解得：，即

故：

小问2】

六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F，

其中

在复平面中描出这六个点如图所示：

六个点构成的图形为正六边形，边长为1

故

18【小问1】

函数的定义域是，

，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取得极大值，同时也是函数的最大值，，

当时，，当时，，

函数的值域是，

，得，所以函数的零点是，

【小问2】，即，方程解的个数，即与的交点个数，

当时，无交点，即方程无实数根，

当或时，有一个交点，即方程有一个实数根，

当时，有两个交点，即方程有两个实数根.

19【答案】（1）＝0.3x－0.4

（2）正相关（3）1.7千元

【小问1】

由题意知

n＝10，，

则，

所以所求回归方程为＝0.3x－0.4.

【小问2】

因为，

所以变量y的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.

【小问3】

将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).

【20题答案】

【答案】（1）25,75（2）①5,15，直方图见解析，B类②123，133.8，131.1

【详解】（1）由已知可得：抽样比，

故类工人中应抽取：人，

类工人中应抽取：人，

（2）①由题意知，得，

，得．

满足条件的频率分布直方图如下所示：

从直方图可以判断：类工人中个体间的差异程度更小．

②，

类工人生产能力的平均数，类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1

21【详解】假设有理数，则，则，

为整数，的尾数只能是0,1,4,5,6,9，的尾数只能是0,1,4,5,6,9，

则的尾数是0,2,8，由得，尾数为0，则的尾数是0，而的尾数为0或5，

这与为最简分数，的最大公约数是1，相矛盾，

所以假设不正确，是无理数.

22【小问1】

的定义域为，．

当，即时，单调递增；

当，即时，单调递减．

故的单调递增区间为，单调递减区间为．

当时，，即．

令，得，即．

【小问2】

；；

．

由此推测： ①

下面用数学归纳法证明①．

（1）当时，左边右边，①成立．

（2）假设当时，①成立，即．

当时，，

由归纳假设可得．

所以当时，①也成立．

根据（1）（2），可知①对一切正整数都成立．