专题09 相似与反比例函数-2021-2022学年九年级数学下册解法技巧思维培优（人教版）

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典例题型：
1．（2021•西安模拟）如图，点A（﹣2，0），B（0，1），以线段AB为边在第二象限作矩形ABCD，双曲线y=kx（k＜0）经过点D，连接BD，若四边形OADB的面积为6，则k的值是 ﹣16 ．
【点睛】过D作DM⊥x轴于M，根据相似三角形的性质和判定求出DM＝2AM．设AM＝x，则DM＝2x．根据三角形的面积求出x，即可求出DM和OM，得出答案即可．
【详解】解：∵点A（﹣2，0），B（0，1），
∴OA＝2，OB＝1，
过D作DM⊥x轴于M，则∠DMA＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DMA＝∠DAB＝∠AOB＝90°，
∴∠DAM+∠BAO＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，
∴∠ADM＝∠BAO，
∴△DMA∽△AOB，
∴DMAM=AOBO=21=2，
即DM＝2MA，
设AM＝x，则DM＝2x，
∵四边形OADB的面积为6，
∴S梯形DMOB﹣S△DMA＝6，
∴12（1+2x）（x+2）-12•2x•x＝6，
解得：x＝2，
则AM＝2，OM＝4，DM＝4，
即D点的坐标为（﹣4，4），
∴k＝﹣4×4＝﹣16，
故答案为﹣16．
2．（2021•建昌县一模）如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=kx（x＜0）交于点C，点D（1，a）在直线y＝x+2上，连接OD，OC，若∠COD＝135°，则k的值为 8 ．
【点睛】作CH⊥x轴于H，如图，先利用一次函数解析式确定B（0，2）、A（﹣2，0），D（1，3），则BD=2，再证明△OAB为等腰直角三角形得到∠OAB＝∠ABO＝45°，接着证明∴△BOD∽△ACO，则利用相似比得到AC＝22，于是利用△ACH为等腰直角三角形求出CH＝AH=22AC＝2，从而得到C（﹣4，﹣2），然后根据反比例函数图象上点的坐标确定k的值．
【详解】解：作CH⊥x轴于H，如图，
当x＝0时，y＝x+2＝2，则B（0，2）；
当y＝0时，x+2＝0，解得x＝2，则A（﹣2，0），
当x＝1时，y＝x+2＝3，则D（1，3），
∴BD=12+(3-2)2=2，
∵OA＝OB＝2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠ABO＝45°，
∴∠OBD＝∠OAC＝135°，∠CBH＝45°，
∵∠COD＝135°，
∴∠BOD＝∠ACO，
∴△BOD∽△ACO，
∴ACOB=OABD，即AC2=22，解得AC＝22，
∵△ACH为等腰直角三角形，
∴CH＝AH=22AC＝2，
∴C（﹣4，﹣2），
把C（﹣4，﹣2）代入y=kx得k＝﹣4×（﹣2）＝8．
故答案为8．
3．（2021•绥阳县一模）如图，双曲线y=kx经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足AOBO=12，与BC交于点D，S△BOD＝24，则k＝ 16 ．
【点睛】作AE⊥x轴，易得S△AOE＝S△DOC，从而求出S四边形BAEC＝S△BOD＝24，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出S△AOE＝8，即可求出k的值．
【详解】解：作AE⊥x轴，
则S△AOE＝S△DOC=12k，
∴S四边形BAEC＝S△BOD＝24，
∵AE⊥x轴，∠OCB＝90°，
∴△AOE∽△BOC，
∴S△AOES△BOC=（OAOB）2=14，
∴S△AOE＝8，
∴k＝16．
故答案为：16．
4．（2021•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于 3 ．
【点睛】过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD∥CE，得出CEBD=AEAD=ACAB=12，设CE＝x，则BD＝2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=1x，OE=2x，OA=3x，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD∥CE，
∴CEBD=AEAD=ACAB，
∵OC是△OAB的中线，
∴CEBD=AEAD=ACAB=12，
设CE＝x，则BD＝2x，
∴C的横坐标为2x，B的横坐标为1x，
∴OD=1x，OE=2x，
∴DE＝OE﹣OD=1x，
∴AE＝DE=1x，
∴OA＝OE+AE=3x，
∴S△OAB=12OA•BD=12×3x×2x＝3．
故答案为3．
5．（2021•兴安盟模拟）如图，双曲线y=kx经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为6，则k的值是 725 ．
【点睛】过A点作AC⊥x轴于点C，易得△OAC∽△ONM，则OC：OM＝AC：NM＝OA：ON，而OA＝2AN，即OA：ON＝2：3，设A点坐标为（a，b），得到N点坐标为（32a，32b），由点A与点B都在y=kx图象上，根据反比例函数的坐标特点得B点坐标为（32a，32b），由OA＝2AN，△OAB的面积为6，△NAB的面积为3，则△ONB的面积＝6+3＝9，根据三角形面积公式得12NB•OM＝9，即12×（32b-23b）×32a＝9，化简得ab=725，即可得到k的值．
【详解】解：过A点作AC⊥x轴于点C，如图，
则AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM＝AC：NM＝OA：ON，
而OA＝2AN，即OA：ON＝2：3，
设A点坐标为（a，b），则OC＝a，AC＝b，
∴OM=32a，NM=32b，
∴N点坐标为（32a，32b），
∴点B的横坐标为32a，设B点的纵坐标为y，
∵点A与点B都在y=kx图象上，
∴k＝ab=32a•y，
∴y=23b，即B点坐标为（32a，23b），
∵OA＝2AN，△OAB的面积为6，
∴△NAB的面积为3，
∴△ONB的面积＝6+3＝9，
∴12NB•OM＝9，即12×（32b-23b）×32a＝9，
∴ab=725，
∴k=725．
故答案为：725．
6．（2021•浙江自主招生）如图，点A在双曲线y=kx（k＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于12OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC＝1，则k的值为 3225 ．
【点睛】如图，设OA交CF于K．利用面积法求出OA的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题．
【详解】解：如图，设OA交CF于K．
由作图可知，CF垂直平分线段OA，
∴OC＝CA＝1，OK＝AK，
在Rt△OFC中，CF=OF2+OC2=5，
在Rt△OFC中，OK=1×25=255，
∴OA=455，
由△FOC∽△OBA，可得OFOB=OCAB=CFOA，
∴2OB=1AB=5455，
∴OB=85，AB=45，
∴A(85，45)，
∴k=3225．
故答案为：3225
7．（2021•枣庄）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=nx（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≤nx的解集．
【点睛】（1）根据三角形相似，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式；
（2）联立解析式，可求交点坐标；
（3）根据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系．
【详解】解：（1）由已知，OA＝6，OB＝12，OD＝4
∵CD⊥x轴
∴OB∥CD
∴△ABO∽△ACD
∴OAAD=OBCD
∴610=12CD
∴CD＝20
∴点C坐标为（﹣4，20）
∴n＝xy＝﹣80
∴反比例函数解析式为：y=-80x
把点A（6，0），B（0，12）代入y＝kx+b得：
0=6k+bb=12
解得：k=-2b=12
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+12
（2）当-80x=-2x+12时，解得
x1＝10，x2＝﹣4
当x＝10时，y＝﹣8
∴点E坐标为（10，﹣8）
∴S△CDE＝S△CDA+S△EDA=12×20×10+12×8×10=140
（3）不等式kx+b≤nx，从函数图象上看，表示各个象限一次函数图象不高于反比例函数图象，
∴由图象得，不等式kx+b≤nx的解集﹣4≤x＜0或x≥10．