专题01 一元二次方程的解法总结-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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专题01  一元二次方程的解法总结【专题说明】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．一、 限定方法解一元二次方程方法一、 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x2－25＝0的解为(　C　)A．x＝  B．x＝C．x＝±  D．x＝±2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(　C　)A．x2－5＝5  B．－3x2＝0C．x2＋4＝0  D．(x＋1)2＝0 方法二、当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为(　C　)A．(x－2)2＝7  B．(x＋2)2＝1C．(x－2)2＝1  D．(x＋2)2＝2 4．解方程：x2＋4x－2＝0.解：　x2＋4x－2＝0，  x2＋4x  ＝2，  (x＋2)2  ＝6，  x＋2  ＝±，∴x1＝－2＋，x2＝－2－.      5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值．解：　　　x2－10x＋y2－16y＋89＝0，  (x2－10x＋25)＋(y2－16y＋64)  ＝0，  (x－5)2＋(y－8)2  ＝0，∴x＝5，y＝8.∴＝.   方法三、能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是(　D　)　A．－1                    B．0C．1和2                  D．－1和2 7．解下列一元二次方程：(1)x2－2x＝0；(2)16x2－9＝0；(3)4x2＝4x－1.解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2.(2)16x2－9＝0，(4x＋3)(4x－3)＝0，∴x1＝－，x2＝.(3)4x2＝4x－1，4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝0，∴x1＝x2＝.       方法四、如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是(　B　)　A．x＝                B．x＝C．x＝                  D．x＝ 9．用公式法解下列方程．(1)3(x2＋1)－7x＝0；(2)4x2－3x－5＝x－2.解：(1)3(x2＋1)－7x＝0，3x2－7x＋3＝0，∵b2－4ac＝(－7)2－4×3×3＝13.∴x＝＝.∴x1＝，x2＝.(2)4x2－3x－5＝x－2，4x2－4x－3＝0，∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x＝＝.∴x1＝，x2＝－.科网ZXXK] 二、 选择合适的方法解一元二次方程10．方程4x2－49＝0的解为(　C　)A．x＝                         B．x＝C．x1＝，x2＝－               D．x1＝，x2＝－ 11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是(　C　)A．x1＝x2＝3                      B．x1＝x2＝－4C．x1＝3和x2＝－4                D．x1＝3和x2＝4  12．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是(　B　)A．x1＝1，x2＝－3                 B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3                 D．x1＝－4，x2＝213．解下列方程．(1)3y2－3y－6＝0；(2)2x2－3x＋1＝0.解：(1)3y2－3y－6＝0，y2－y－2＝0，＝，y－＝±，∴y1＝2，y2＝－1.(2)2x2－3x＋1＝0，∵b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1，∴x＝＝，即x1＝1，x2＝. [来源:学科网ZXXK]  三、用特殊方法解一元二次方程方法一、 构造法14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x＝－15或6x＝－4.∴x1＝－，x2＝－.     15．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．解：因为m－n＝8，所以m＝n＋8.将m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0中，得n(n＋8)＋p2＋16＝0，所以n2＋8n＋16＋p2＝0，即(n＋4)2＋p2＝0.又因为(n＋4)2≥0，p2≥0，所以解得所以m＝n＋8＝4.所以m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.方法二、换元法1、整体换元16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.解：原方程可变为[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.解得y1＝7，y2＝－7.当x2－5x＋5＝7时，解得x1＝，x2＝；当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．∴原方程的根为x1＝，x2＝.17．x2＋－2－1＝0.解：x2＋－2－1＝0，设x＋＝y，则原方程为y2－2y－3＝0.∴y1＝3，y2＝－1.当y＝3时，x＋＝3，∴x1＝，x2＝.当y＝－1时，x＋＝－1，无实数解．经检验，x1＝，x2＝都是原方程的根，∴原方程的根为x1＝，x2＝. 2、降次换元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.解：经验证x＝0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x2－35x＋62－＋＝0，即6－35＋62＝0.设y＝x＋，则x2＋＝y2－2，原方程可变为6(y2－2)－35y＋62＝0.解得y1＝，y2＝.当x＋＝时，解得x1＝2，x2＝；当x＋＝时，解得x3＝3，x4＝.经检验，均符合题意．∴原方程的解为x1＝2，x2＝，x3＝3，x4＝.       3、倒数换元19．解方程：－＝2.解：设＝y，则原方程化为y－＝2，整理得y2－2y－3＝0，∴y1＝3，y2＝－1.当y＝3时，＝3，∴x＝－1；当y＝－1时，＝－1，∴x＝1.经检验，x＝±1都是原方程的根，∴原方程的根为x1＝1，x2＝－1. 方法三、特殊值法20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016.解：方程组的解一定是原方程的解，解得x＝4 029.方程组的解也一定是原方程的解，解得x＝－2.∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2.点拨：解本题也可采用换元法．设x－2 014＝t，则x－2 013＝t＋1，原方程可化为t(t＋1)＝2 015×2 016，先求出t的值，进而求出x的值．