专训三十二、二次函数与几何综合：线段最值-2021-2022学年九年级数学上册计算力提升训练（人教版）

计算力专训三十二、二次函数与几何综合：线段最值

牛刀小试

1．（2021·河南一模）已知抛物线与轴交于点和点，与直线交于点和点，为抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标．

（2）点为直线上方抛物线上一点，设为点到直线的距离，当有最大值时，求点的坐标．

【答案】（1），点的坐标为；（2）点的坐标为；【解析】

【分析】

（1）先由直线解析式求出B点坐标，再把A，B坐标代入抛物线解析式中，求出a,c的值，从而求出抛物线解析式，再把抛物线解析式化成顶点式，求出顶点坐标即可；

（2）过点作轴，交于点，连接，，设点的坐标为，则，写出△PCB面积的表达式，求出△PCB面积最大值所对应的m，从而求出P点坐标；

【详解】

解：（1）∵直线，

令y=0，解得x=3，

∴，

将点，代入抛物线中，

得，解得

∴抛物线的解析式为，

∵，

∴点的坐标为；

（2）过点作轴，交于点，连接，，如解图所示，

由题意，可知有最大值时，有最大值，

设点的坐标为，则，

∴，

∴，

∵，，

∴当时，有最大值，且最大值为，此时有最大值，

∴点的坐标为；

【点睛】

本题是对二次函数的综合考查，熟练掌握二次函数解析式和图像性质是解决本题的关键，属于中考压轴题，难度较大.

2．（2019·福建石狮·初三一模）已知抛物线y=mx2+2mx+m-1和直线y=mx+m-1，且m≠0．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）试说明抛物线与直线有两个交点；

（3）已知点T（t，0），且-1≤t≤1，过点T作x轴的垂线，与抛物线交于点P，与直线交于点Q，当0＜m≤3时，求线段PQ长的最大值．

【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ的最大值为6.

【解析】

【分析】

（1）化为顶点式即可求顶点坐标;

（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛物线与直线有两个交点;

（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）． 故分两种情况进行讨论：①如图1，当-1≤t≤0时；②如图2，当0＜t≤1时，求出对应的最大值即可．

【详解】

解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，

∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．

（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，

mx2+mx=0，mx（x+1）=0，

∵m≠0，

∴x1=0，x2=-1．

∴抛物线与直线有两个交点．

（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，

点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．

①如图1，当-1≤t≤0时，PQ==．

∵m＞0，

当时，PQ有最大值，且最大值为．

∵0＜m≤3，∴≤，即PQ的最大值为．

②如图2，当0＜t≤1时，PQ==．

∵m＞0，

∴当t=1时，PQ有最大值，且最大值为2m．

∵0＜m≤3，

∴0＜2m≤6，即PQ的最大值为6．

综上所述，PQ的最大值为6．

【点睛】

此题主要考查二次函数的应用，（1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论方右解答，因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答．

3．（2021·江苏灌南·初三一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．

（1）直接写出抛物线的解析式__________和直线的解析式_________；

（2）当点在线段上运动时，直接写出线段长度的最大值_________；

【答案】（1）y=−x2+2x+3，y=−x+3；（2）；

【解析】

【分析】

(1)由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；
(2)用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出MN的长，再利用二次函数的最值可求得MN的最大值；
【详解】

解：(1)∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3，
令y=0可得，−x2+2x+3=0，解x1=−1，x2=3，
∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为(3,0)，
设直线BC解析式为y=kx+b，
把B、C坐标代入可得，解得，
∴直线BC解析式为y=−x+3,

故答案为y=−x2+2x+3，y=−x+3；
(2)∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，
∴M(m,−m2+2m+3)，N(m,−m+3)，
∵P在线段OB上运动，
∴M点在N点上方，
∴MN=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m=−(m− )2+ ，
∴∴当m=时，MN有最大值，MN的最大值为，

故答案为；

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在(2)中用m表示出MN的长是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

4．（2019·湖南涟源·初三学业考试）如图，抛物线与轴交于两点和，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，过点作轴的垂线，与直线相交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在直线下方的抛物线上运动时，线段的长度是否存在最大值？存在的话，求出其最大值和此时点的坐标；

【答案】（1）；（2）存在，DE取最大值2， D（2，﹣1）；

【解析】

【分析】

(1)利用待定系数法求解可得；
(2)设点D坐标为(m，)，则E点的坐标为(m，)，求得DE关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解；

【详解】

(1)把点A(1，0)、B(4，0)代入，得：

，

解得，

∴抛物线的解析式是；

(2)存在．

对于二次函数，

令，则，

∴点C的坐标为(0，2)，

设直线BC的解析式为y＝kx+t，

把点B(4，0)，C(0，2)代入y＝kx+t，得：

，

解得，

∴；

设点D的坐标为，则点E的坐标为，

∴，

∴当m＝2时，DE取最大值2，

此时，

∴点D的坐标为(2，﹣1)；

【点睛】

本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识点，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

5．（2019·四川南充·初三一模）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图2，点为第二象限抛物线上一动点，轴与交于，求的最大值.

【答案】（1）；

（2）的最大值是

【解析】

【分析】

（1）由已知先求出点C坐标，进而求得点B坐标，将点A、B坐标分别代入抛物线的解析式中，得到关于a、b的二元一次方程组，解之即可解答；

（2）先利用待定系数法求得直线BC的表达式，设出点F、点E的坐标，建立EF的函数表达式，利用二次函数的性质求出EF的最大值，即可得出结论．

【详解】

解：（1）抛物线与轴交于，

，

，

，

点，

将代入抛物线，得：

，

解得，

抛物线解析式为；

（2）直线的解析式为（k≠0），

将B(﹣3,0)、C(0,3)代入，得：，

解得：，

∴直线BC的解析式为，

设，则，

，

当时，的最大值是，

【点睛】

本题属于二次函数的综合题型，涉及有利用待定系数法求函数解析式、直角坐标系中点的坐标与线段长度的关系、利用二次函数的性质求最值等知识，解答的关键是认真审题，结合图象获取相关联的信息，借助数形结合法、待定系数法、分类讨论法等解题方法进行推理、探究、发现和计算．

熟能生巧

6．（2021·厦门市第十中学月考）如图，一次函数的图象交y轴于点A，交x轴于点B点，抛物线过A、B两点．

（1）求A，B两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

【答案】(1) A（0，2），B(4，0)，；(2)当t=2时，MN有最大值4；

【解析】

【分析】

(1)首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；

(2)本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；

【详解】

解：(1)∵的图象交y轴于点A，交x轴于点B点，

∴A、B点的坐标为：A（0，2），B(4，0)，

将x=0，y=2代入得c=2，

将x=4，y=0,代入得b=，

∴抛物线解析式为：；

(2)如答图1所示，设MN交x轴于点E，则E(t，0)，则M(t，)，

又N点在抛物线上，且xN=t，

∴，

∴，

∴当t=2时，MN有最大值4．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数综合，经常作为压轴题出现，正确的掌握二次函数的性质是解题的关键．

7．（2021·昆山市城北中学初三月考）抛物线与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于C（0，2）

（1）分别求直线AC及抛物线的解析式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

【答案】（1），；（2）；

【解析】

【分析】

（1）已知抛物线上三个点的坐标，用待定系数法即可求得抛物线解析式；首先设直线AC的解析式为：（k≠0，k、b是常数），同样利用待定系数法将A、C两点坐标代入即可求解；

（2）已知P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，可设P点的横坐标为x()，分别表示出P、E两点坐标，纵坐标作差，用含x的式子表示PE的长度，即可求出PE的最大值；

【详解】

解：（1）将点A（-3，0），B（1，0），C（0，2）代入，

化解得：，

抛物线的解析式为：，

设直线AC的解析式为：（k≠0，k、b是常数），

将点A（-3，0），C（0，2）代入，

化解得：，

直线AC的解析式为：；

（2）如图1所示，P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，

设P点的横坐标为x()，

则P(x，)，E(x，) ，

E点在P点的上方，

PE=，

=，

=，

=，

当时，；

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法解一次函数、二次函数、平行四边形的应用以及分类讨论等知识，分类讨论时所有的位置都应考虑是本题的易错点．

8．（2021·浙江长兴·初三开学考试）已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A （3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．

【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）．

【解析】

【分析】

（1）把A与O坐标代入抛物线解析式求出a与c的值，即可求出解析式；

（2）根据题意表示出P与C的纵坐标，进而表示出线段PC的长，确定出最大值即可．

【详解】

解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，

解得：，

则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；

（2）设直线OA解析式为y＝kx，

把A（3，3）代入得：k＝1，即直线OA解析式为y＝x，

∵PB⊥x轴，

∴P，C，B三点横坐标相等，

∵B（m，0），

∴把x＝m代入y＝x中得：y＝m，即C（m，m），

把x＝m代入y＝﹣x2+4x中得：y＝﹣m2+4m，即P（m，﹣m2+4m），

∵P在直线OA上方，

∴PC＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m（0＜m＜3），

当m＝时，PC取得最大值，最大值为．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的综合应用，准确求出解析式是本题的关键．

9．（2021·浙江宁波·初三月考）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；

【答案】（1）；（2）①，

【解析】

【分析】

（1）把代入中求出b，c的值即可；

（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；

【详解】

解：（1）把代入中，得

解得

∴．

（2）设直线的表达式为，把代入．

得，解这个方程组，得

∴．                    

∵点是x轴上的一动点，且轴．

∴．                     

∴

．                     

∵，

∴此函数有最大值．

又∵点P在线段上运动，且

∴当时，有最大值．                       

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．

10．（2021·广东初三其他）如图，抛物线与轴交于两点，于轴交于点，连接，已知．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点D，求的长的最大值；

【答案】（1）；（2）；

【解析】

【分析】

（1）把A，B两点坐标代入求出a，c的值即可得出结论；

（2）求出直线BC的解析式为，设设，则，从而得到，进而得到结论；

【详解】

解：（1）把，分别代入，得

解得

∴抛物线的解析式为．               

（2）由（1）知，抛物线的解析式为，

当时，，

∴．                                   

设直线BC的解析式为，

把，分别代入，

得

解得

∴直线BC的解析式为．

∵点在线段BC上，点D在抛物线上，轴，

∴设，则，

∴．           

∴当，即时，PD的长的值最大，

PD的长的最大值为．                               

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想以及分类讨论思想等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．

庖丁解牛

11．（2021·浙江温州·初三月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（ - 2，0）、（0， - 4），点B在x轴上，已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x= 2，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长．

（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．

【答案】（1）（2）PF=（3）9；．

【解析】

【分析】

（1）根据题意及待定系数法可直接列出方程求解即可；

（2）先求直线BC的解析式，则点F的坐标即可求得，然后根据两点距离可求解；

（3）由（2）及铅垂法来表示出三角形的面积，然后根据二次函数的性质求解最大面积．

【详解】

解：（1）设二次函数的解析式为，由题意得：

点A、C的坐标分别为，对称轴为直线，

解得：，

二次函数解析式为；

（2）由（1）及题意可得：，

令y=0时，，解得，

设直线BC的解析式为，

，解得，

，，

；

（3）由（2）得：，由铅垂法得水平宽表示为B点的横坐标与C点的横坐标之差，即，

，

，

当时，取最大值，即，

．

【点睛】

本题主要考查二次函数的综合运用，关键是根据待定系数法求出解析式，然后利用两点距离求出线段的长，主要还是要根据铅垂法求出三角形的面积．