专题10 圆中的线段长度问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

这是一份专题10 圆中的线段长度问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版），文件包含专题10圆中的线段长度问题解析版docx、专题10圆中的线段长度问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
专题10 几何证明之圆中的线段长度问题
1、如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，OP交AB于点 D．
（1）当OP⊥AB时，求OP；
（2）当∠AOP＝30°时，求AP．

解：（1）∵A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），
∴AO＝2，OB＝10，
∵AO⊥BO，
∴AB＝＝4，
∵OP⊥AB，
∴＝，CD＝DP，
∴CD＝，
∴OP＝2CD＝；
（2）连接CP，
∵∠AOP＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∵CP＝CA，
∴△ACP为等边三角形，
∴AP＝AC＝AB＝2．

2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．

（1）证明：如图，连接EF，
∵∠BAC＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴OA＝OE，
∴∠BAD＝∠AEO，
∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠AEO＝∠B，
∴OE∥BC，
∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG，
∵点E在⊙O上，
∴EG是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的半径为5，
∴EF＝2OE＝10，
在Rt△AEF中，AF＝6，
根据勾股定理得，AE＝＝8，
由（1）知OE∥BC，
∵OA＝OD，
∴BE＝AE＝8．


3、如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝4，点C是AB延长线上一点，且BC＝2，点D是半圆的中点，点P是⊙O上任意一点．
（1）当PD与AB交于点E且PC＝CE时，求证：PC与⊙O相切；
（2）在（1）的条件下，求PC的长；
（3）点P是⊙O上动点，当PD+PC的值最小时，求PC的长．

解：（1）证明：如图1，
∵点D是半圆的中点，
∴∠APD＝45°，
连接OP，
∴OA＝OP，
∴∠OAP＝∠OPA，
∴∠PEC＝∠OAP+∠APE＝∠OPA+∠APE＝∠APE﹣∠OPE+∠APE＝2∠APE﹣∠OPE＝90°﹣∠OPE，
∵PC＝EC，
∴∠CPE＝∠PEC＝90°﹣∠APE，
∴∠OPC＝∠OPE+∠CPE＝∠OPE+90°﹣∠OPE＝90°，
∵点P在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，∠OPC＝90°，
∵AB＝4，
∴OP＝OB＝AB＝2，
∵BC＝2，
∴OC＝OB+BC＝4，
根据勾股定理得，CP＝＝2；

（3）解：连接OD，如图2，
∵D是半圆O的中点，
∴∠BOD＝90°，要使PD+PC的值最小，则连接CD交⊙O于P'，
即点P在P'的位置时，PD+PC最小，
由（2）知，OC＝4，
在Rt△COD中，OD＝OB＝2，
根据勾股定理得，CD＝＝2，
连接BP，AD，则四边形ADP'B是⊙O的内接四边形，
∴∠CBP'＝∠CDA，
∵∠BCP＝∠DCA，
∴△CBP'∽△CDA，
∴＝，
∴，
∴CP'＝．


4、如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为　9　；
（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．

（1）证明：如图1中，连接AC，OC，OA．

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝60°，
∵＝，
∴AB⊥OC，
∴∠OAD＝∠OAC＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∴OA∥BF，
∵AF⊥BF，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．

（2）解：∵＝，
∴∠CBD＝∠BEC，
∵∠BCD＝∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝12，
∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9．
故答案为9．

（3）解：结论：＝，的值不变．
理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．

∵＝，
∴OC⊥AB，CB＝CA，
∴BH＝AH＝AB，
∵∠ABC＝30°，
∴BH＝BC，
∴AC＝AB，
∵CE∥AN，
∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，
∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，
∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，
∵∠ACE＝∠ABN，
∴△ACE∽△ABN，
∴＝＝，
∴＝，
∴的值不变．
5、如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．
（1）求⊙M的半径r；
（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；
（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．

解：（1）如图1，连接MH，

∵E（﹣5，0），F（0，﹣），M（﹣1，0），
∴OE＝5，OF＝，EM＝4，
∴在Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝，
∴∠OEF＝30°，
∵EF是⊙M的切线，
∴∠EHM＝90°，
∴sin∠MEH＝sin30°＝，
∴MH＝ME＝2，
即r＝2；
（2）如图2，连接DQ、CQ，MH．

∵∠QHC＝∠QDC，∠CPH＝∠QPD，
∴△PCH∽△PQD，
∴，
由（1）可知，∠HEM＝30°，
∴∠EMH＝60°，
∵MC＝MH＝2，
∴△CMH为等边三角形，
∴CH＝2，
∵CD是⊙M的直径，
∴∠CQD＝90°，CD＝4，[来源:Z+xx+k.Com]
∴在Rt△CDQ中，cos∠QHC＝cos∠QDC＝，
∴QD＝CD＝3，
∴；
（3）连MP，取CM的点G，连接PG，则MP＝2，G（﹣2，0），

∴MG＝CM＝1，
∴，
又∵∠PMG＝∠EMP，
∴△MPG∽△MEP，
∴，
∴PG＝PE，
∴PF+PE＝PF+PG，
当F，P，G三点共线时，PF+PG最小，连接FG，即PF+PE有最小值＝FG，
在Rt△OGF中，OG＝2，OF＝，
∴FG＝＝＝．
∴PF+PE的最小值为．
6、如图，⊙O的直径AB＝10，弦BC＝，点P是⊙O上的一动点（不与点A、B重合，且与点C分别位于直径AB的异侧），连接PA，PC，过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D．
（1）求tan∠BPC的值；
（2）随着点P的运动，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；
（3）运动过程中，AP+2BP的最大值是多少？请你直接写出它来．

解：（1）连接AC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝2，
∴AC＝＝4，
∴tan∠BPC＝tan∠BAC＝＝；
（2）的值不会发生变化，理由如下：
∵∠PCD＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠PCB＝∠2+∠PCB，
∴∠1＝∠2，
∵∠3是圆内接四边形APBC的一个外角，
∴∠3＝∠PAC，
∴△CBD∽△CAP，
∴＝，
在Rt△PCD中，＝tan∠BPC＝，
∴＝＝；
（3）由（2）知BD＝AP，
∴AP+2BP
＝2（AP+BP）
＝2（BD+BP）
＝2PD
＝，
由tan∠BPC＝，得：cos∠BPC＝，
∴AP+2BP＝PC≤AB＝10，
∴AP+2BP的最大值为10．
7、在图1至图3中，⊙O的直径BC＝30，AC切⊙O于点C，AC＝40，连接AB交⊙O于点D，连接CD，P是线段CD上一点，连接PB．

（1）如图1，当点P，O的距离最小时，求PD的长；
（2）如图2，若射线AP过圆心O，交⊙O于点E，F，求tanF的值；
（3）如图3，作DH⊥PB于点H，连接CH，直接写出CH的最小值．
解：（1）如图1，连接OP，

∵AC切⊙O于点C，
∴AC⊥BC．
∵BC＝30，AC＝40，
∴AB＝50．
由，
即，
解得CD＝24，
当OP⊥CD时，点P，O的距离最小，此时．
（2）如图2，连接CE，

∵EF为⊙O的直径，
∴∠ECF＝90°．
由（1）知，∠ACB＝90°，
由AO2＝AC2+OC2，得（AE+15）2＝402+152，
解得．
∵∠ACB＝∠ECF＝90°，
∴∠ACE＝∠BCF＝∠AFC．
又∠CAE＝∠FAC，
∴△ACE∽△AFC，
∴．
∴．
（3）CH的最小值为．
解：如图3，以BD为直径作⊙G，则G为BD的中点，DG＝9，
∵DH⊥PB，
∴点H总在⊙G上，GH＝9，
∴当点C，H，G在一条直线上时，CH最小，
此时，，，
即CH的最小值为．

8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长，

解：（1）如图1，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；

（2）如图2，
连接OD，DF，EF，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴，
∴AD2＝AB•AF；

（3）如图3，
连接OD，由（1）知，OD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
设⊙O的半径为R，则OA＝OD＝OE＝R，
∵BE＝8，
∴OB＝BE+OE＝8+R，
在Rt△BDO中，sinB＝，
∴sinB＝＝，
∴R＝5，
∴AE＝2OE＝10，AB＝BE+2OE＝18，
连接EF，由（2）知，∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C＝90°，
∴sin∠AEF＝sinB＝，
在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝＝，
∴AF＝
由（2）知，AD2＝AB•AF＝18×＝，
∴AD＝＝．



9、如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E．
（1）求证：直线EC为圆O的切线；
（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，
①求证：PC2＝PF•PA
②若PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．

证明：（1）∵CE⊥AD于点E，
∴∠DEC＝90°，
∵BC＝CD，
∴C是BD的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OC是△BDA的中位线，
∴OC∥AD，
∴∠OCE＝∠CED＝90°，
∴OC⊥CE，
又∵点C在圆上，
∴CE是圆O的切线；
（2）①连接AC，

∵OC⊥CE，
∴∠ECO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ECO，
∴∠ECA＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠ACE，[来源:学科网ZXXK]
∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠OBC﹣∠ABF＝∠ACE﹣∠ACF，
∴∠EBC＝∠ECF，且∠EBC＝∠CAP，
∴∠ECF＝∠CAP，且∠CPF＝∠CPA，
∴△PCF∽△PAC，
∴
∴PC2＝PF•PA
②∵AB是直径，点F在圆上，
∴∠AFB＝∠PFE＝90°＝∠CEA，
∵∠EPF＝∠EPA，
∴△PEF∽△PAE，
∴
∴PE2＝PF•PA
∴PE＝PC
在直角△PEF中，sin∠PEF＝．
10、如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以AB为直径的⊙M交y轴于C，D两点，C为的中点，弦AE交y轴于点F，且点A的坐标为（﹣2，0），CD＝8．

（1）求⊙M的半径；
（2）动点P在⊙M的圆周上运动．
①如图1，当EP平分∠AEB时，求PN•EP的值；
②如图2，过点D作⊙M的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．
解：（1）如图1中，连接CM．

∵AM⊥CD，
∴OC＝OD＝4，
设CM＝AM＝r，
在Rt△CMO中，∵CM2＝OC2+OM2，
∴r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙M的半径为5．

（2）①如图2中，连接AP，BP．

∵AB是直径，
∴∠APB＝∠AEB＝90°，
∵PE平分∠AEP，
∴∠AEP＝∠PEB＝45°，
∴＝，
∴PA＝PB，
∵AB＝10，∠APB＝90°，
∴PA＝PB＝×AB＝5，
∵∠PAN＝∠AEP＝45°，∠APN＝∠APE，
∴△APN∽△EPA，
∴＝，
∴PN•PE＝PA2＝50．

②如图3中，连接PM，DM．

∵DQ是⊙M的切线，
∴DQ⊥DM，
∴∠MDQ＝∠MOD＝90°，
∵∠DMO＝∠QMD，
∴△DMO∽△QMD，
∴＝，
∴DM2＝MO•MQ，
∵MP＝MD，
∴MP2＝MO•MQ，
∴＝，∵∠PMO＝∠PMQ，
∴△PMO∽△QMP，
∴＝，
∵DM2＝MO•MQ，
∴25＝3MQ，
∴MQ＝，
∴＝＝．
11、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．
（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若tanF＝，AG﹣BG＝，求ED的值．

解：（1）证明：因为BE＝DE，
所以∠FBD＝∠CDB，
在△BCD和△DFB中：
∠BCD＝∠DFB
∠CDB＝∠FBD
BD＝DB
所以△BCD≌△DFB（AAS）．
（2）证明：连接OC．

因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，
∠COB＝2∠EDB，
所以∠COB＝∠PEC，
因为PE＝PC，
所以∠PEC＝∠PCE，
所以∠PCE＝∠COB，
因为AB⊥CD于G，
所以∠COB+∠OCG＝90°，
所以∠OCG+∠PEC＝90°，
即∠OCP＝90°，
所以OC⊥PC，
所以PC是圆O的切线．
（3）因为直径AB⊥弦CD于G，
所以BC＝BD，CG＝DG，
所以∠BCD＝∠BDC，
因为∠F＝∠BCD，tanF＝，
所以∠tan∠BCD＝＝，
设BG＝2x，则CG＝3x．[来源:学,科,网]
连接AC，则∠ACB＝90°，
由射影定理可知：CG2＝AG•BG，
所以AG＝，
因为AG﹣BG＝，
所以，
解得x＝，
所以BG＝2x＝，CG＝3x＝2，
所以BC＝，
所以BD＝BC＝，
因为∠EBD＝∠EDB＝∠BCD，
所以△DEB∼△DBC，
所以，
因为CD＝2CG＝4，
所以DE＝．
12、如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．
（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？

解：（1）连接GD，EC．
∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，
∴∠GAD＝∠DAO，
∵GD＝GA，
∴∠GDA＝∠GAD，
∴∠GDA＝∠DAO，
∴GD∥OA，
∴∠BDG＝∠BOA＝90°，
∵GD为半径，
∴y轴是⊙G的切线；
∵A（2，0），B（0，），
∴OA＝2，OB＝，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝＝
设半径GD＝r，则BG＝﹣r，
∵GD∥OA，
∴△BDG∽△BOA，
∴＝，
∴r＝2（﹣r），
∴r＝，
∵AC是直径，
∴∠AEC＝∠AOB＝90°，
∴EC∥OB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EC＝2，AE＝，
∴OE＝2﹣＝，
∴C的坐标为（，2）；

（2）过点A作AH⊥EF于H，连接CE、CF，
∵AC是直径，
∴AC＝2×＝
∴∠AEC＝∠AFC＝90°
∵∠FEA＝45°
∴∠FCA＝45°
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：AF＝CF＝，
设OE＝a
∴AE＝2﹣a
∵CE∥OB
∴△ACE∽△ABO
∴＝，
∴CE＝2，
∵CE2+AE2＝AC2，
∴22+（2﹣a）2＝
∴a＝或a＝（不合题意，舍去）
∴AE＝
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可得，AH＝EH＝，
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：FH2＝AF2﹣AH2＝（）2﹣（）2＝2，
∴FH＝，
∴EF＝EH+FH＝．


13、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若，求EM的值．

（1）证明：如图1中，

∵AC∥EG，
∴∠G＝∠ACG，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠CEF＝∠ACD，
∴∠G＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ECG，[来源:学科网]
∴△ECF∽△GCE；

（2）证明：如图2中，连接OE，

∵GF＝GE，
∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH＝90°，
∴∠GEF+∠AEO＝90°，
∴∠GEO＝90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线．

（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G＝，
∵AH＝3，
∴HC＝4，
在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4，
∴（r﹣3）2+（4）2＝r2，
∴r＝，
∵GM∥AC，
∴∠CAH＝∠M，
∵∠OEM＝∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴＝，
∴＝，
∴EM＝．
14、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，F是CD上一点，且BF＝DF，延长FB至点P，连接CP，使PC＝PF，延长BF与⊙O交于点G，连结BD，GD．
（1）连结BC，求证：CD＝GB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若tanG＝，且AE﹣BE＝，求FD的值．

解：（1）∵BF＝DF，
∴∠BDF＝∠DBF，
在△BCD与△DGB中，
，
∴△BCD≌△DGB（AAS），
∴CD＝GB；
（2）如图1，连接OC，

∵∠COB＝2∠CDB，∠CFB＝∠CDB+∠DBF＝2∠CDB，
∴∠COB＝∠CFB，
∵PC＝PF，
∴∠COB＝∠CFB＝∠PCF，
∵AB⊥CD，
∴∠COB+∠OCE＝90°，
∴∠PCF+∠OCE＝∠PCO＝90°，
∴OC⊥CP，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接AD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BDE＝∠A＝∠G，
∵tanG＝，
∴tanA＝，即AE＝3DE，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
同理可得：DE＝3BE，
∴AE﹣BE＝3DE﹣DE＝，
解得：DE＝，
∴CD＝2DE＝2，
∴BE＝＝，
∴BD＝＝，
∵∠BCD＝∠FDB，∠BDC＝∠FBD，
∴△BCD∽△FDB，
∴，
∵BC＝BD，
∴FD＝＝＝．