考点05 旋转章末-2022届九年级《新题速递·数学》（人教版）

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A．45°B．60°C．70°D．90°
【答案】D
【解析】
已知△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，根据旋转的性质可得∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠AB′B=（180°-120°）=30°，再由AC′∥BB′，可得∠C′AB′=∠AB′B=30°，所以∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．故选D．
2.（浙江省台州市2021-2021学年第一学期九年级数学第一次月考试题）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：
问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
【答案】
【解析】
如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，
显然△MOP为等边三角形，
∴，OM＋OG＝OP＋PQ，
∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，
此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，
∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵MQ＝MG＝4，
∴AQ＝AM＝MQ•cs45°=4，
∴NQ＝，
故答案为.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.
3.（2021·江苏省南通田家炳中学九年级上学期10月月考数学试题）如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点O旋转到乙位置，再将它向下平移2个单位长到丙位置，则小花顶点A在丙位置中的对应点的坐标为______．
【答案】
【解析】
根据图示可知A点坐标为（-3，-1），
根据绕原点O旋转180°横纵坐标互为相反数
∴旋转后得到的坐标为（3，1），
根据平移“上加下减”原则，
∴向下平移2个单位得到的坐标为（3，-1），
4．贵州省铜仁市印江自治县2019-2021学年八年级下学期期末数学试题）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1， A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 ________
【答案】．
【解析】
试题分析：根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．
试题解析：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）=cm2．
【考点】正方形的性质．
5．（浙江省台州市2021-2021学年第一学期九年级数学第一次月考试题）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B1A1C＝30°）按图①的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．
（1）求证：△BCE≌△B1CF.
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）垂直．理由见试题解析．
【解析】
解：（1）证明：两块大小相同的含30°角的直角三角板，所以∠BCA=∠B′CA′
∵∠BCA-∠A′CA=∠B′CA′-∠A′CA
即∠BCE=∠B′CF
∵，
∴△BCE≌△B′CF（ASA）；
（2）解：AB与A′B′垂直，理由如下：
旋转角等于30°，即∠ECF=30°，
所以∠FCB′=60°，
又∠B=∠B′=60°，
根据四边形的内角和可知∠BOB′的度数为360°-60°-60°-150°=90°，
所以AB与A′B′垂直．
【考点】1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质．
6．（2021年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟训练试题）如图1是一款“雷达式”懒人椅．当懒人椅完全展开时，其侧面示意图如图2所示，金属杆AB、CD在点O处连接，且分别与金属杆EF在点B，D处连接．金属杆CD的OD部分可以伸缩（即OD的长度可变）．已知OA＝50cm，OB＝20cm，OC＝30cm．DE＝BF＝5cm．当把懒人椅完全叠合时，金属杆AB，CD，EF重合在一条直线上（如图3所示），此时点E和点A重合．
（1）如图2，已知∠BOD＝6∠ODB，∠OBF＝140°．
①求∠AOC的度数．
②求点A，C之间的距离．
（2）如图3，当懒人椅完全叠合时，求CF与CD的长．
【答案】（1）①120°，②70cm；（2）70cm
【解析】
解：（1）①∵∠OBF＝∠BOD+∠ODB，∠BOD＝6∠ODB，
∴6∠ODB+∠ODB＝∠OBF，
∴7∠ODB＝140°，
∴∠ODB＝20°，
∴∠BOD＝6×20°＝120°，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC＝120°；
②连接AC，过点A作AG⊥CE于G，如图2所示：
∵∠AOC＝120°，
∴∠AOG＝180°﹣120°＝60°，
∵AG⊥CE，
∴∠OGA＝90°，
∴∠OAG＝90°﹣60°＝30°，
∴OG＝OA＝×50＝25（cm），
由勾股定理得：AG＝＝＝25（cm），
∵CG＝OC+OG＝30+25＝55（cm），
∴AC＝＝ ＝70（cm），
∴点A，C之间的距离为70cm；
（2）CF＝OC﹣OB﹣BF＝30﹣20﹣5＝5（cm），CD＝OC+OA﹣DE＝30+50﹣5＝75（cm）．
【点睛】本题主要是考查了对图形求解题的综合应用，结合勾股定理、补角余角的定理进行考查。
7．（江西省赣州市寻乌县2019-2021学年九年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D是斜边AB上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接AE，DE．
（1）求△ADE的周长的最小值；
（2）若CD=4，求AE的长度．
【答案】（1）6+；（2）3﹣或3+
【解析】
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3
∴AB=AC=6，
∵∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AB+DE，
∴当DE最小时，△ADE的周长最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
当CD⊥AB时，CD最短，等于3，此时DE=3，
∴△ADE的周长的最小值是6+3；
（2）当点D在CF的右侧，
∵CF=AB=3，CD=4，
∴DF=，
∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣；
当点D在CF的左侧，同理可得AE=BD=3+，
综上所述：AE的长度为3﹣或3+．
【点睛】
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．
8．（人教版数学上册_九年级_第23章_旋转_单元评估测试卷）两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置，直角顶点重合在点处，，．保持纸片不动，将纸片绕点逆时针旋转角度，如图所示．
利用图证明且；
当与在同一直线上（如图）时，求的长和的正弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）7，．
【解析】
证明：如图中，延长交于，交于．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴．
解：如图中，设，
∵、在同一直线上，，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，第二个问题的关键是利用（1）的结论解决问题，属于中考常考题型.
9．（北京市清华附中朝阳学校2019-2021学年九年级10月月考数学试题）如图①，在中，．将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，且．在旋转过程中，点可以恰好落在的中点处，如图②．
求的度数；
当点到的距离等于的一半时，求的度数．
【答案】(1)；(2)．
【解析】
将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，
∴
∵点可以恰好落在的中点处，
∴点是的中点．
∵，
∴，
∴，
即是等边三角形．
∴．
∵，
∴；
如图，过点作于点，
点到的距离等于的一半，即．
在中，，，
∴，
∵，
∴．
∴，即．
【点睛】
考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，解题关键是正确掌握直角三角形的性质．
10．（四川省成都市都江堰外国语实验学校2019-2021学年七年级上学期期中数学试题）如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
求证：≌；
当时，求的度数．
【答案】证明见解析；.
【解析】
由题意可知：，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌；
，，
，
由可知：，
，
，
.
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．