专题1.2 勾股定理-2021-2022学年八年级数学下学期期中考试专题复习（人教版）

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专题1.2勾股定理（精讲精练）【知识梳理】1.勾股定理：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有, , （4）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．2.勾股定理逆定理：（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．3.勾股定理的应用：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．【典例剖析】考点1 利用勾股定理计算线段长度【例1】（2019秋•长兴县期中）在中，两直角边长分别为3和4，则斜边的长度是　A．2 B． C．5 D．或5【分析】根据勾股定理求出斜边即可．【解析】在中，两直角边长分别为3和4，斜边的长度是，故选：．【点评】本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键．【变式1-1】（2019秋•汝州市期中）在中，，，，则的长是　A．3 B．4 C．3或 D．【分析】根据勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．代入数进行计算即可．【解析】，，，，，故选：．3．（2019秋•拱墅区校级期中）在中，，，，于，则长为—————【分析】根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出即可．【解析】由勾股定理得：，由三角形的面积公式得：，即，，解得：，考点2用勾股定理表示数轴上的实数【例2】（2019秋•榆次区期中）如图，分别以数轴的单位长度1和2为直角边长作，然后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交数轴于点，那么点所表示的数为　　A． B． C． D．3.2【分析】由勾股定理易求的长，则的长也可求出，进而可求出的长，继而可求出点所表示的数．【解析】中，，，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交数轴于点，，，点所表示的数为，故选：．【变式2-1】（2019秋•台儿庄区期中）如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为　　A． B． C．2 D．【分析】首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．【解析】，，，点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，，点表示，点表示的数为：，故选：．【变式2-2】（2019秋•江都区期中）如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为__________A．2.8 B． C． D．【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而可以得到点表示的数．【解析】由题意可得，，，，，，点表示数为：，考点3勾股定理与网格问题【例3】（2019秋•海曙区期中）如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，那么点表示的数为　　A． B． C． D．【分析】根据勾股定理计算，得到答案．【解析】由勾股定理得，点表示的数，故选：．【变式3-1】（2019秋•南关区校级期中）如图，线段，，那么线段的长度为　　A． B． C． D．【分析】由与的长，结合图形，利用勾股定理得到此图形是由边长为1的小正方形构成的，故为直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求出的长．【解析】，，图形中的网格是由边长为1的小正方形构成的，则．故选：．【变式3-2】（2019秋•瑞安市期中）如图，方格中小方格的边长为1，图中的线段长度是　　A． B． C． D．【分析】小方格的边长为1，利用勾股定理列式计算即可得解．【解析】由图可得，线段长度是，故选：．考点4勾股定理与图形面积问题【例4】（2019秋•榆次区期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是9、16、1、9，则最大正方形的边长是　　A．35 B． C．70 D．无法确定【分析】根据勾股定理分别求出、的面积，根据勾股定理计算即可．【解析】正方形、、、的面积分别是9、16、1、9，由勾股定理得，正方形的面积为：，正方形的面积为：，则正方形的面积为：，最大正方形的边长，故选：．【变式4-1】（2019秋•九江期中）中，斜边，分别以这个三角形三边为边作正方形，则这三个正方形的面积和为　　A．5 B．10 C．20 D．40【分析】求出，根据勾股定理求出，再根据正方形的面积公式求出即可．【解析】中，斜边，，由勾股定理得：，这三个正方形的面积和为，故选：．【变式4-2】（2019秋•太原期中）如图，在中，，以的三边为边分别向外作等边三角形△，△，，若△，△的面积分别是10和4，则的面积是　　A．4 B．6 C．8 D．9【分析】先设，，，根据勾股定理有，再根据等式性质和等边三角形的性质解答即可．【解析】如图，设等边三角形△，△，的面积分别是，，，设，，，是直角三角形，且度，，．又，同理可求，，，，，，故选：．考点5用勾股定理逆定理判定直角三角形【例5】（2019秋•垦利区期中）若满足下列条件，则能判断其为直角三角形的选项有　　个．（1）．（2）．（3）．（4）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先根据三角形的内角和是对（1）（2）中的形状作出判断，再根据勾股定理的逆定理对（3）（4）中的形状进行判断即可．【解析】（1）中，，，，，是直角三角形，故本小题符合题意；（2）中，，可设，则，，，，解得，，是直角三角形，故本小题符合题意；（3）中，，设，则，，，即，不是直角三角形，故本小题不符合题意；④中，，，是直角三角形，故本小题符合题意．故选：．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用方程的思想把中的边角关系转化为求的值，再根据直角三角形的定义进行判断．【变式5-1】（2019秋•雨城区校级期中）下列各组数中，以、、为边长的三角形不是直角三角形的是　　A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解析】、，故是直角三角形，故此选项不符合题意；、，故是直角三角形，故此选项不符合题意；、，故是直角三角形，故此选项不符合题意；、，故不是直角三角形，故此选项符合题意；故选：．【变式5-2】（2019秋•海陵区校级期中）下列各组数不能构成直角三角形的是　　A．3，4，5 B．6，8，10 C．，， D．5，12，13【分析】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解析】、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；、因为，，，，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：．考点6用勾股定理解决简单的实际问题【例6】（2019秋•沙坪坝区校级期中）如图，将一根长27厘米的筷子，置于高为11厘米的圆柱形水杯中，且筷子露在杯子外面的长度最少为厘米，则底面半径为　　厘米．A．6 B．3 C．2 D．12【分析】首先得出杯子内筷子的长度，再根据勾股定理求得圆柱形水杯的直径，即可求出底面半径．【解析】（厘米），筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，（厘米），（厘米）．故底面半径为3厘米．故选：．【变式6-1】（2019秋•新北区期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面高度为，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为　　A． B． C． D．【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为，可得，，，在中利用勾股定理可求出．【解析】设旗杆高度为，可得，，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方，，解得．故选：．【变式6-2】（2019秋•二七区校级期中）如图，一架云梯长为25米，顶端靠在墙上，此时云梯底端与墙角距离为7米，云梯滑动后停在的位置上，测得长为4米，则云梯底端在水平方向滑动了　　米A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由题意知，米，米，则在直角中，根据，可以求，在直角中，可以求，则即为题目要求的距离．【解析】在直角中，已知米，米，米，在直角中，已知米，米，米，米，米，米故云梯底端在水平方向滑动了8米，故选：．考点7用勾股定理解决路径最短问题【例7】（2019秋•青岛期中）如图所示，已知圆柱的底面周长为12，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为　　A． B．10 C． D．【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出．【解析】如图，小虫爬行的最短路程，故选：．【点评】此题主要考查了平面展开图最短路径问题，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【变式7-1】（2019秋•沙坪坝区校级期中）有一长、宽、高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁沿如图所示路径从顶点处在长方体的表面爬到长方体上和相对的中点处，则需要爬行的最短路径长为　　A． B． C． D．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解析】如图，，需要爬行的最短路径长为，故选：．【点评】此题考查最短路径问题，解题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．【变式7-2】（2019秋•乳山市期中）如图，圆柱的高为，底面半径为，一只蚂蚁从点沿圆柱外壁爬到点处吃食，要爬行的最短路程是　　A． B． C． D．【分析】此题最直接的解法就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】底面圆周长为，底面半圆弧长为，即半圆弧长为：，展开得：，，根据勾股定理得：．故选：．【点评】此题考查的是平面展开最短路径问题，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解．考点8关于勾股定理证明的解答题【例8】（2019秋•大丰区期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积从而得数学等式：            　；（用含字母、、的式子表示）化简证得勾股定理：【初步运用】（1）如图1，若，则小正方形面积：大正方形面积　　        ；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若，此时空白部分的面积为　　           ；【迁移运用】如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边、、之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含的直角三角形，对边：斜边定值．【分析】【探索新知】根据大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．（2）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可．【迁移运用】根据大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积，构建关系式即可．【解析】探索新知由题意：大正方形的面积，，【初步运用】（1）由题意：，，小正方形面积：大正方形面积，故故答案为．（2）空白部分的面积为．故答案为28．迁移运用结论：．理由：由题意：大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积可得：，．【变式8-1】（2019秋•莱西市期中）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图，这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常要的结论：在直角三角形中两直角边、与斜边满足关系式．称为勾股定理．证明：大正方形面积表示为，又可表示为　            　　　              　　．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程，（3）如图3所示，，请你添加适当的辅助线证明结论．【分析】（1）化简可得结论；（2）根据四个全等的直角三角形的面积中间小正方形的面积大正方形的面积，即可证明；（3）如图3，作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论．【解答】（1）证明：大正方形面积表示为，又可表示为，．，，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：，，；（2）证明：由图得，大正方形面积，整理得，，即；（3）解：如图3，过作，过作于，交的延长线于，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，．【变式8-2】（2019秋•鼓楼区期中）如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为和，斜边长为，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）【分析】（1）此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为，，高为；此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；（2）此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．【解答】解解：（1）如图所示，是梯形；由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积．从上图我们还发现梯形的面积三个三角形的面积，即．两者列成等式化简即可得：；（2）画边长为的正方形，如图，其中、为直角边，为斜边．考点9关于勾股定理及逆定理的解答题【例9】（2019秋•双塔区校级期中）如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．（1）求这块四边形空地的面积；（2）若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【分析】（1）仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解；（2）根据总价单价数量计算即可求解．【解析】（1）连接，在中，，在中，，，而，即，，．故这块四边形空地的面积是36平方米；（2）（元．答：学校需要投入7200元资金买草皮．【变式9-1】（2019秋•惠山区校级期中）如图，四边形是一个四边形的草坪，与垂直，通过测量，获得如下数据：，，，，请你测算这块草坪的面积．（结果保留准确值）【分析】连接，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，草坪的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，求出即可．【解析】连接，如图所示：在中，，，根据勾股定理得：，又，，，，，为直角三角形，则．答：这块草坪的面积是．【变式9-2】（2019秋•太原期中）在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭，之间的距离，之间有水池，无法直接测量）．智慧小组的同学们在公园里选了凉亭，，测得，，，．请你根据上述数据求出，之间的距离．【分析】连接，构造直角三角形，利用勾股定理求得答案即可．【解析】连接在中，，，，由勾股定理得，，，在中，，由勾股定理得，答：，之间的距离为．考点10关于勾股定理的综合问题【变式10-1】（2019秋•大东区期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，一直某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移到处，求拉杆把手离地面的距离（假设点的位置保持不变）．【分析】过作于，延长交于，根据勾股定理即可得到方程，求得的长，即可利用勾股定理得到的长，进而得出的长．【解析】如图所示，过作于，延长交于，则，设，则，由题可得，，，△中，，中，，，解得，，，又，，拉杆把手离地面的距离为．【变式10-2】（2019秋•泰安期中）如图，公路和公路在点处交汇，且，点处有一所中学，．若拖拉机行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时：（1）学校是否会受到噪声影响？（2）如果不受影响，请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？【分析】（1）作于，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则点到的距离小于100，从而可判断学校会受到影响；（2）以为圆心，100为半径画弧交于、，则，利用等腰三角形的性质得，接下来利用勾股定理计算出，所以，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间．【解析】（1）作于，如图，在中，，，而，拖拉机在公路上沿方向行驶时学校会受到影响；（2）以为圆心，100为半径画弧交于、，如图，则，而，，在中，，，拖拉机的速度，学校受到的影响的时间（秒．【点评】本题考查了勾股定理的应用：在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．【变式10-3】（2019秋•连云港期中）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为，．现在要将绿地扩充成等腰三角形绿地，且扩允部分是以为直角边的直角三角形，求扩充部分三角形绿地的面积．（如图备用）【分析】根据勾股定理求出斜边，（1）当时或，求出即可；（2）当时，求出、即可；（3）当时，设，则，求出即可．【解析】在中，，，，，（1）如图1，当时，，则的面积为：；若延长到，使，则的面积为 ， ； （2）图2，当时，，则的面积为：；；（3）如图3，当时，设，则，则，，则的面积为：；；答：扩充后等腰三角形绿地的面积是或或．