2022届江苏省G4（苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学）高三上学期12月联考数学试题含解析

2022届江苏省G4（苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学）高三上学期12月联考数学试题

一、单选题

1．已知复数满足（其中为虚数单位），则（       ）

A． B．2 C．1 D．4

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算可得复数，再根据复数的模长公式可得结果.

【详解】由得，

所以.

故选：A.

【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题.

2．若集合，且，则满足条件的集合B的个数是（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求集合A，并列举出A中元素，再由包含关系求集合B的个数.

【详解】由题设，，又，

所以集合B有个.

故选：D．

3．若为等比数列，则“”是“（s，t，p，）”的（       ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】C

【分析】利用等比数列的性质，分别从充分性、必要性两方面判断题设条件间的推出关系，进而确定它们充分、必要关系.

【详解】充分性：若，当时，，，此时与不一定相等，不充分．

必要性：若，则，，所以，

综上，“”是“”的必要不充分条件．

故选：C

4．若的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（       ）

A．6 B．12 C．24 D．48

【答案】C

【分析】由题知，进而得其展开式的通项公式，进而时为常数项.

【详解】解：∵二项式系数最大的项只有第三项，

∴展开式中共有5项，∴．

∴展开式第项为，

∴当时，为常数项.

故选：C．

5．已知平面向量，满足，，与的夹角为45°，，则实数的值为（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.

【详解】，，，∴.

故选：A

6．已知，则的值（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用差角公式和诱导公式将题中所给的条件化简，求得，利用辅助角公式得到结果.

【详解】

，即

       ，

故选：C.

【点睛】该题考查的是有关三角变换的问题，涉及到的知识点有余弦差角公式、诱导公式和辅助角公式，属于基础题目.

7．已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出点的轨迹方程，确定点轨迹，然后通过几何意义求得最大值．

【详解】由，消去参数得，

所以在以为圆心，为半径的圆上，

又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，

，

∴的最大值为．

故选：C.

【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和．

8．若不等式对恒成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，构造函数，，在利用导数研究函数单调性得当时，在单调递增，满足条件；当时，存在，使得在上单调递减，进而得矛盾，进而得答案.

【详解】解： 因为对恒成立，

所以对恒成立，

故令，，，

，，

，，

，

当时，即时，

，则在单调递增，，

∴在单调递增，∴.

时，，满足条件．

时，，趋近于时，趋近于，

∴在有解，设为．

时，，在上单调递减，，

∴在上单调递减，∴，矛盾

综上：，

故选：B．

二、多选题

9．已知定义在R上的函数，则（       ）

A．是奇函数

B．是偶函数

C．对任意，

D．的图象关于直线对称

【答案】BCD

【分析】根据偶函数的定义判断选项A，B，根据对称性的定义判断D，由解析式判断C.

【详解】解：时，，．

时，，．

∴，即为偶函数，A错，B对．

时，，，．

时，，，．

∴，C对．

时，，此时．

时，，此时．

综上：，则关于对称，D对．

故选：BCD．

10．已知函数，则下列说法正确的有（       ）

A．点为的图象的一个对称中心

B．对任意，函数满足

C．函数在区间上有且仅有个零点

D．存在，使得在上单调递增

【答案】AD

【分析】化简函数解析式为，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；在时，解方程，可判断C选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.

【详解】解：，由，则，

当时，，所以，关于对称，A对；

由得，则．

所以，直线不是的对称轴，B错；

当时，，由，可得或，

解得或，所以，函数在区间上有且仅有个零点，C错；

对于D选项，由，则，

所以，当时，在上单调递增，D对．

故选：AD.

11．已知两个变量y与x线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次实验．实验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的线性回归方程为，且，又增加了2次实验，得到2个数据点，，根据这10个数据点重新求得线性回归方程为（其中m，），则（       ）

A．变量y与x正相关 B．

C． D．回归直线经过点

【答案】ABD

【分析】结合回归直线方程、样本中心点等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】设，，由，

而8个数据点的回归方程，∴，A，B正确．

而10个数据点的，

，样品中心，

则，，即

∴D正确，C错．

故选：ABD

12．已知实数a，b满足等式，则下列不等式中可能成立的有（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】将已知条件转化为，通过构造函数法，结合导数判断出当时，，由此判断AB选项的正确性.当时，对取特殊值来判断CD选项的正确性.

【详解】，，

，构造，

，当时，，在上递减，

，此时，∴，

构造，在R上递增，

∴，A正确，B错．

当时，先负后正，∴先减后增，有正有负，

取，此时，

∴有可能，C正确．

取，，，

∴也有可能，D正确．

故选：ACD

三、填空题

13．双曲线的焦点到渐近线的距离为_____________．

【答案】

【详解】试题分析：由题意得，双曲线的右焦点，其中一条渐近线的方程为，所以焦点到渐近线的距离为．

【解析】点到直线的距离公式及双曲线的性质．

14．若数列满足，，，则的值为__________．

【答案】

【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定.

【详解】解：

，则，

，则，

，则，

，

，

，

∴数列为周期数列，且周期，

又，∴．

故答案为：-3.

15．在如图所示的四边形区域ABCD中，，，，现园林绿化师计划在区域外以AD为边增加景观区域ADM，当时，景观区域ADM面积的最大值为__________．

【答案】

【分析】连AC，根据已知条件可得、，进而求，再由余弦定理、基本不等式求的范围，最后应用面积公式求区域ADM面积的最大值.

【详解】

连AC，，，

∴，则，，

∴．

在△ADM中，，

∴

∴，当且仅当时等号成立，

．

故答案为：.

四、双空题

16．已知在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD，且底面ABCD是等腰梯形，，若，，，则四棱锥S-ABCD的体积为__________；它的外接球的半径为__________

【答案】         

【分析】根据锥体体积公式即可计算第一空；结合几何关系得底面的外接圆的半径为，进而根据空间几何体的外接球问题求解即可．

【详解】解：

，

，

，△BCD外接圆半径为r圆为设为M，

则，∴，

设外接球的球心为O，半径为R，

则，∴，∴．

五、解答题

17．设数列的前n项和为，且满足，．

(1)求数列的通项公式：

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据化简条件可得数列为等差数列，再由求出首项即可得出等差数列的通项公式；

（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解.

(1)

，

是以2为公差的等差数列，

，

即，

解得，

(2)

，

.

18．如图，在正方体中，E为棱的中点．

(1)求证：平面EAC；

(2)求直线与平面EAC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】小问1：连接，交于，连接，推导出，由此能证明平面.

小问2：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的大小．

(1)

证明：连接，交于，连接，

∵在正方体中，是正方形，∴是中点，

∵为棱的中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面.

(2)

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设正方体中棱长为2，

则，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

设直线与平面所成角的大小为，

则，

∴直线与平面EAC所成角的正弦值为．

19．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

(1)求证：B为钝角；

(2)若△ABC同时满足下列4个条件中的3个：①；②；③；④．请证明使得△ABC存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析，①③④，

【分析】（1）变形，整理可得，则可得答案；

（2）分析可得①②不可能都成立，则③④均成立，再根据条件利用余弦定理计算可得答案.

(1)

∵，

∴，

∴，即，

∴B为钝角；

(2)

∵B为钝角，∴，即A，C均为锐角，则，，

若①②均成立，则，，此时与B为钝角矛盾，

∴①②不可能都成立，

∴③④均成立，∵，∴，只能选①③④．

在△ABC中，由余弦定理得

由，解得．

20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率为，且过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A为椭圆C的左顶点，过点作与x轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线于M，N两点，若直线MR，NR的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)是定值，定值为

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆方程.

（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得两点的坐标，由此计算出为定值.

(1)

由题意知，

∴椭圆C的方程为：.

(2)

设直线l的方程为，，，，

，

∴，，

直线AP方程为：，

令得，

∴，同理，

∴

为定值．

21．AMC是美国数学竞赛（American Mathematics Competitions）的简称，其中AMC10是面向世界范围内10年级（相当于高一年级）及以下的学生的数学竞赛，AMC10试卷由25道选择题构成，每道选择题均有5个选项，只有1个是正确的，试卷满分150分，每道题答对得6分，未作答得1.5分，答错得0分．考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为，，，，）均没有把握确定正确选项．两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在5个选项中随机地选择1个．

(1)已知甲只能排除，，中每道题的1个错误选项，若甲决定作答，，，放弃作答，，求甲的总分不低于135的概率；

(2)已知乙能排除，，中每道题的2个错误选项，但无法排除剩余2道题中的任一错误选项．

①问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的数学期望最大，并说明理由；

②在①的作答策略下，求乙的总分的概率分布列．

【答案】(1)

(2)①选择作答，，，放弃作答，，理由见解析；②答案见解析

【分析】（1）依题意得甲至少要答对，，中的两题，分类讨论即可求解结果；

（2）①，，每道题作答的话，每题得分期望，，每道题作答的话，每题得分期望，即可采用策略作答；②结合二项分布求解即可．

(1)

前20道题和最后两道共可得分分，

故，，得分不低于分．

∴甲至少要答对，，中的两题．

①若甲只答两题，．

②若甲答对三题，，

故甲的总分不低于135分的概率．

(2)

①∵，，每道题作答的话，每题得分期望

，每道题作答的话，每题得分期望

故要使乙总分的数学期望最大，应选择作答，，，放弃作答，．

②前20道题和最后两道乙共可得分：分．

∴乙的总分的所有可能取值为123，129，135，141

，

，，

∴乙总分的概率分布列为

22．已知函数，，．

(1)若在上单调递增，求a的最大值；

(2)当a取（1）中所求的最大值时，讨论在R上的零点个数，并证明．

【答案】(1)1；

(2)2个，证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，转化为导函数在上恒成立，再求导求其最小值即可；

（2）利用导数分析函数在上的单调性，根据两点的存在性定理可确定出2个零点，再由导数求出函数的最小值，求出最小值的范围即可得证.

(1)

由题意可知，在上恒成立，

因为，所以单调递增，

所以，解得a≤1，所以a的最大值为1.

(2)

易知a=1，所以,

当x≤0时，，所以g(x)单调递减，

当x>0时，，则，所以单调递增,

因为，所以存在，使得，

在上单调递减，在上单调递增，

又，所以,

因为，所以存在，使得，

所以有两个零点，

又因为，

所以，

因为，

所以，

故成立.

【点睛】关键点点睛：求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最小值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值，属于难题.