2023届江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学高三上学期10月联考数学试题含解析

这是一份2023届江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学高三上学期10月联考数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学高三上学期10月联考数学试题 一、单选题1．已知，则＝（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解根式不等式求集合A，由对数单调性解不等式求集合B，再由集合并运算求结果.【详解】由题设，所以.故选：D2．已知满足，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据投影向量的定义进行求解即可.【详解】在上的投影向量为，故选：B3．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解.【详解】因为函数的定义域是，所以，所以所以函数的定义域为，要使有意义，则需要，解得，
所以的定义域是.故选：D.4．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”．则下列说法中错误的有（    ）A．函数可以是某个圆的“优美函数”B．函数 可以是无数个圆的“优美函数”C．函数可以同时是无数个圆的“优美函数”D．若函数是“优美函数”，则函数y＝f（x）的图象一定是中心对称图形【答案】D【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性结合“优美函数”的定义判断，对于B，通过二次求导求出三次函数的对称中心，再结合“优美函数”的定义判断，对于C，利用正弦函数的性质求出其对称中心，再结合“优美函数”的定义判断，对于D，举例判断.【详解】对于A，定义域为，因为，所以为奇函数，所以函数可以是单位圆的“优美函数”，所以A正确，对于B，由，得，令，则，令，得，则，所以的图象关于点对称，所以可以是圆的“优美函数”，这样的圆有无数个，所以B正确，对于C，，则由，得，所以的对称中心为，所以以为圆心，为半径的圆都能被函数的图象平分，所以C正确，对于D，若的图象是中心对称图形，则此函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对称图形，如图所示，所以D错误，故选：D5．已知，则的大小关系为（    ）A．  B．  C．  D． 【答案】C【分析】利用不等式(时取等号)和（时取等号）的结论即可求解.【详解】设，则令即，解得.令即，解得所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，函数取的最小值为，即当时，即，设，则，令即，解得.令即，解得所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，函数取的最小值为，即所以，即，所以.故选：C.6．若不等式的解集为，则当时，函数的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先令，从而解得到，再利用对数的运算法则及换底公式化简，令，将等价为，求得其最小值，即为的最小值.【详解】令，则可化为，即，解得，故，由的单调性易求得，即，又因为，令，则因为，由的单调性可得，而开口向下，对称轴为，故在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，；所以的最小值为，即的最小值为.故选：A.7．若命题是命题的充分不必要条件，下列说法正确的是（    ）A．命题：；命题：恒成立B．命题：；命题：C．命题：；命题：恒成立D．命题：；命题：，使得【答案】A【分析】令，结合对勾函数单调性可求得，由推出关系可知A正确；解绝对值不等式可求得命题，由推出关系可知B错误；当时，可由反例可知不恒成立，由此可知C错误；当时，令，利用导数可求得，可知D错误.【详解】对于A，令，则，在上单调递增，，则，即命题：；，，命题是命题的充分不必要条件，A正确；对于B，由得：或，即命题：或；或，或，命题是命题的必要不充分条件，B错误；对于C，当时，令，则，不恒成立，即，充分性不成立，C错误；对于D，当时，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即不存在，使得；即，使得，充分性不成立，D错误.故选：A.8．已知平面向量满足对任意都有成立，且，则的值为（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】设，，即可得到，，设平面向量共起点，从而得到其平面图形，由余弦定理求出，从而求出，即可得解.【详解】解：设，，则，因为任意都有，故是向量的模的最小值，故是的最小值即，即，同理，设平面向量共起点，因为，故的终点在的终点的中垂线上，故的终点和起点可构成如下图形：因为，故，而，则，所以，因，，故，，，四点共圆（据此可得，在直径的同侧，否则与矛盾），故，所以；故选：A. 二、多选题9．已知复数，则下列说法正确的是（    ）A．复数在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的虚部为C．复数的共轭复数 D．复数的模【答案】BCD【分析】化简得，再得到其在复平面内对应的点的象限，虚部，共轭复数，模即可得到答案.【详解】，，所以复数在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；虚部为，故B正确；复数的共轭复数，故C正确；复数的模，故D正确；故选：BCD.10．要得到函数的图像，需要把函数的图像向   移动（    ）A．右    B．左    C．右    D．左   【答案】ACD【分析】设向右移得到，则有，化简可得，逐个验证选项是否成立即可.【详解】设向右移得到，则有，即，∴，对A，向右移，则，A对；对B，向左移，则，B错；对C，向右移，则，C对；对D，向左移，则由，D对.故选：ACD.11．下列命题中真命题有（    ）A．已知，若与的夹角为锐角，则B．若函数f（x）是奇函数，函数f（x－1）为偶函数，则f（2）＝0C．复数z满足|z|2＝z2D．函数的最大值是5【答案】BD【分析】根据平面向量夹角的坐标表示公式、奇偶函数的性质，结合复数模的定义和乘方运算、导数的性质逐一判断即可.【详解】A：因为，所以，当与同向时，有，即，显然，显然当时，与的夹角不是锐角，故本命题不是真命题；B：因为函数f（x－1）为偶函数，所以，又因为函数f（x）是奇函数，所以，即，所以本命题是真命题；C：当时，，所以本命题是假命题；D：的定义域为，，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，因此本命题是真命题，故选：BD【点睛】关键点睛：利用导数求函数的最值是解题的关键.12．下列不等式正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性，对选项进行逐一判断即可.【详解】构造函数，则∴在递增，递减，对于A选项：∵，则，即，∴，A正确对于B选项：∵，则，即，∴，B正确对于C选项：∵，则，即，∴，C错误对于D选项：∵，则，即，∴，D错误故选:AB. 三、填空题13．若复数z满足，则z＝_________.【答案】【分析】设，代入中根据复数相等的条件可求出，从而可求得结果.【详解】设，因为复数z满足，所以，所以，解得，所以，故答案为：14．在中，，且，设为平面上的一点，则的最小值是_________.【答案】【分析】利用向量的数量积公式，建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用向量的线性运算及数量积运算的坐标表示即可求解.【详解】由，且，得以A为坐标原点，为x轴建立直角坐标系，则设，则所以当时，的最小值是故答案为：.15．已知函数，若成立，则a的取值范围为_________.【答案】【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性解不等式即可得答案.【详解】函数的定义域为，，所以函数为偶函数，当时，，所以函数在区间上单调递增，所以，解得，所以a的取值范围为．故答案为：16．已知，，则的最小值_________.【答案】20【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】令，则，去分母化简得：，所以，所以，当且仅当时，等号成立．故答案为：20 四、解答题17．已知集合，中.(1)若，求m的值；(2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，结合交集的结果并讨论、求参数值，最后验证结果即可；（2）由题设有，列不等式组求参数范围即可.【详解】(1)由题设，，又，当时，此时，则，显然不符题设；当时，此时，则，满足题设；所以.(2)由题设，当，，可得；当，，可得；所以.18．设.(1)求f（x）的单调增区间及对称中心；(2)当时，，求cos2x的值.【答案】(1)单调递增区间是；对称中心(2) 【分析】（1）先利用二倍角公式及诱导公式化简得到，整体法求解函数的单调递增区间及对称中心；（2）先求出，结合得到，从而求出，利用余弦差角公式进行求解.【详解】(1)由题意得：，由，可得；所以的单调递增区间是；令，，解得：，，此时函数值为-1，所以对称中心为．(2)∵∴，∵，∴，∵当时，，∴∴，．19．已知中，D为BC边上一点，且，.(1)求证：；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)24 【分析】（1）由得，由正弦定理得、，两式左右相除可得，讨论两角范围即可得出结论；（2）延长到E使得，可证得，可得，则，结合范围讨论最值即可【详解】(1)，,在中， ①；在中， ②，两式相比得，又，且所以(2)延长到E使得，由，∴，∴，∴，,∴，所以面积的最大值为24．20．已知函数，.(1)若函数的值域为R，求实数的取值范围；(2)若方程有且只有一解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）将函数的值域为转化为的值域要包含的所有取值，再利用列不等式求的范围即可；（2）将只有一个解转化为只有一个解，再分析的单调性画出函数图象，利用图象分析即可.【详解】(1)因为函数的值域为，所以的值域要包含的所有取值，所以或所以.(2)∵，∴，∴，方程只有一个解，即只有一个解，，当时，在单调递增，当时，在单调递减，所以当时，，函数图象如下所示：由图可知：当时，无解，此时没有解，当时，只有一解，此时有且只有一解，当时，有两解，此时有两解，所以.21．已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若恒成立，求正实数的取值范围.【答案】(1)增区间为；减区间为(2) 【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式及导数法则，结合导函数与函数的单调性的关系即可求解；（2）将恒成立问题转化为最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解.【详解】(1)当时，由题意可知，函数的定义域为，当时，的增区间为当时，的减区间为(2)令当时，令当时，的增区间为当时，的减区间为所以，∴恒成立当时，因为，所以不恒成立综上，正实数的取值范围为．22．已知函数，.(1)证明：对，直线都不是曲线的切线；(2)若，使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）假设直线与曲线相切，利用导数的几何意义列等式求得，不符合要求，说明原命题不成立；（2）构造函数，利用函数的单调性得到，再分类讨论求的范围即可.【详解】(1)若直线与曲线相切，直线过定点，设切点，由得定义域为，，所以，整理得①，又在上单调递增，当且仅当时，①成立，这与矛盾，结论得证．(2)原不等式可整理为：，令，在上单调增，，当时，，令，当时，，单调递减，∴；当时，不存在；当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴，∴；综上．【点睛】不等式有解问题：（1）若存在使成立，则；（2）若存在使成立，则；（3）若存在使成立，则；（4）若存在使成立，则.