第33讲 数列的概念与简单表示（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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知识梳理
1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
2．数列的分类
(1)按照项数有限和无限分：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(有穷数列：项数有限个；,无穷数列：项数无限个；))
(2)按单调性来分：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(递增数列：an＋1>an，,递减数列：an＋13．数列的两种常用的表示方法
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
题型归纳
题型1 由an与Sn的关系求通项an
【例1-1】（2019秋•沈阳期中）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2﹣3n+2，则它的通项公式an是 ．
【例1-2】（2019春•南康区校级期中）如果数列{an}的前n项和Sn=32an﹣3，那么这个数列的通项公式是 ．
【跟踪训练1-1】（2020春•杨浦区校级期末）数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n2+2n+3，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝ ．
【跟踪训练1-2】（2020•烟台模拟）已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2﹣n+1，则数列{an}的通项公式为 ．
【跟踪训练1-3】（2019春•蚌埠期中）数列{an}的前n项和Sn＝3n2﹣5n，则an＝（ ）
A．3n﹣5B．2n﹣4C．6n﹣8D．5n﹣7
【跟踪训练1-4】（2019秋•碑林区校级月考）在数列{an}中，已知Sn=(n+1)2，其中Sn为{an}的前n项和，则an＝ ．
【名师指导】
1．已知Sn求an的3个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；
(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
2．Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
题型2 由数列的递推关系求通项公式
【例2-1】（2019春•南昌期中）已知数列{an}中，a1＝﹣1，且an+1＝an+3n﹣1，则数列的通项公式an＝ ．
【例2-2】（2019春•舒城县期末）已知数列{an}中，a1＝1，an+1=an1+2an，则{an}的通项公式an＝ ．
【跟踪训练2-1】（2020春•静安区期末）数列{an}满足a1＝3，an+1＝an+5，则数列{an}的通项公式an＝
（n∈N*）．
【跟踪训练2-2】（2020春•徐汇区校级期末）在数列{an}中，若a1＝1，an+13=an3+1，则an＝ ．
【名师指导】
1．正确选用方法求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f(n)的数列，通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式．
(2)对于递推关系式可转化为eq \f(an＋1,an)＝f(n)的数列，并且容易求数列{f(n)}前n项的积时，采用累乘法求数列{an}的通项公式．
(3)对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)的数列，采用构造法求数列的通项．
2．避免2种失误
(1)利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到eq \f(a2,a1)，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．
(2)利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式．
题型3 数列的性质及应用
【例3-1】（2019秋•郑州期中）在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，且an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2020＝ ．
【例3-2】（2020春•温州期末）设数列{an}满足nan=n2+λ，若数列{an}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是 ．
【例3-3】（2020春•南昌月考）已知an=n-122n-123(n∈N*)，则在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是（ ）
A．a1，a30B．a1，a9C．a10，a9D．a12，a11
【跟踪训练3-1】（2020春•山西月考）已知数列{an}的通项公式为an＝（3n+7）×0.9n，则数列{an}的最大项是（ ）
A．a5B．a6C．a7D．a8
【跟踪训练3-2】（2020春•九龙坡区期末）已知数列{an}的通项公式为an＝﹣2n2+λn（n∈N*，λ∈R），若{an}是递减数列，则λ的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，4]C．（﹣∞，6）D．（﹣∞，6]
【跟踪训练3-3】（2019秋•海淀区校级月考）如表定义函数f（x）：
对于数列{an}，a1＝4，an＝f（an﹣1），n＝2，3，4，…，则a2019的值是（ ）
A．1B．2C．5D．4
【名师指导】
1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2.解决数列的单调性问题的3种方法
3.求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项．
(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：
若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或an＞0时，\f(an＋1,an)＞1))，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或an＞0时，\f(an＋1,an)＜1))，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．
x
1
2
3
4
5
f（x）
5
4
3
1
2
作差比较法
根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据eq \f(an＋1,an)(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断
数形结合法
结合相应函数的图象直观判断