初中数学沪教版 (五四制)八年级下册第二十二章 四边形第三节 梯形22.6 三角形、梯形的中位线习题

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专项22.4 三角形、梯形的中位线
姓名：___________考号：___________分数：___________

（考试时间：100分钟 满分：120分）

一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图所示，在中，，，分别是，，的中点，，，则四边形的周长是（ ）

A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】A
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得，，再根据四边形的周长的定义计算即可得解
【解析】
解：在中，、、分别是、、的中点，
，，
四边形的周长是．
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．
2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　 ）

A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，PB取得最小值，然后由矩形的性质以及已知数据即可知，故的最小值为的长，最后根据勾股定理可求解．
【解析】
解：如图，

当点F与点C重合时，点P在处，则，
当点F与点E重合时，点P在处，则，
∴且，
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP，
由三角形中位线定理可知：且，
∴点P的运动轨迹是线段，
∴当时，PB取得最小值，
∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为AB的中点，
∴为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴的最小值为的长，
在等腰直角中，，
∴，
∴BP的最小值为；
故选C．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质及轨迹问题，解题的关键是要学会利用特殊位置得到轨迹问题．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F是BD的中点，若AB=5，则EF=（ ）

A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】
由题意易得，进而根据三角形中位线可得，然后问题可求解．
【解析】
解：∵∠ACB=90°，AB=5，点D是AB的中点，
∴，
∵点E、F分别是BC、BD的中点，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查直角三角形斜边中线定理及三角形中位线，熟练掌握直角三角形斜边中线定理及三角形中位线是解题的关键．
4．如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为（ ）

A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】A
【分析】
由三角形中位线可知，然后利用菱形4条边都相等即可求出周长．
【解析】
解：∵分别是的中点，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴菱形的周长为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线和菱形的性质，注意三角形的中位线是第三边的一半是解题的关键．
5．如图，已知四边形中，、分别为、上的点，、分别为、的中点．当点在上从点向点移动而点不动时，那么下列结论成立的是（ ）

A．线段的长逐渐增大 B．线段的长不变
C．线段的长逐渐减小 D．线段的长与点的位置有关
【答案】B
【分析】
因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，线段EF的长不变．
【解析】
解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．
所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．
故选：B．

【点睛】
主要考查中位线定理．在解决与中位线定理有关的动点问题时，只要中位线所对应的底边不变，则中位线的长度也不变．
6．如图，在中，，，D是边的中点，于点D，交于点E，若，则的长是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】
根据直角三角形的性质得到AB=2BC，利用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出DE．
【解析】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
设BC=x，则AB=2x，
∴，
解得：x=8或-8（舍），
∴BC=8，
∵D是边的中点，，
∴DE=BC=4，
故选C．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
7．如图，在中，是上一点，于点，点是的中点，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据可得△ACD为等腰三角形，再由结合“三线合一”性质可得E为CD的中点，从而得到EF为△CBD的中位线，最终根据中位线定理求解即可．
【解析】
∵，
∴△ACD为等腰三角形，
∵，
∴E为CD的中点，（三线合一）
又∵点是的中点，
∴EF为△CBD的中位线，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键．
8．如图，在中，D，E分别是的中点，，F是的上任意一点，连接，，若，则的长度为（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
根据三角形中位线定理求出DE，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质计算即可．
【解析】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC=6，
∵DE=3DF，
∴EF=4，
∵∠AFC=90°，E是AC的中点，
∴AC=2EF=8，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
9．如图，是的边的中点平分．且，垂足为且，．，则的周长是（ ）

A．24 B．25 C．26 D．28
【答案】C
【分析】
延长BN交AC于D，根据等腰三角形的性质得到AD=AB=6，BN=ND，根据三角形中位线定理得到DC=2MN=4，计算即可．
【解析】
解：延长BN交AC于D，
∵AN平分∠BAC，BN⊥AN，
∴AD=AB=6，BN=ND，又M是△ABC的边BC的中点，
∴DC=2MN=4，
∴AC=AD+DC=10，
则△ABC的周长=AB+AC+BC=6+10+10=26，
故选C．

【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10．在四边形中，，E、F、G、H分别是、、、的中点，则的值为（ ）

A．18 B．36 C．48 D．64
【答案】D
【分析】
作辅助线，构建四边形，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论．
【解析】
连接、、、，

∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，
∴，
同理，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形为菱形，
∴，，，
∴；
故选：D．
【点睛】
本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明．
11．如图，在矩形中，与交点于是的中点，已知，则的长为（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【分析】
首先利用三角形的中位线定理求得BC的长，然后利用勾股定理求得AC的长即可．
【解析】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∵OE=6，
∴BC=2OE=12，
∵AB=5，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和中位线定理，了解矩形的性质是解答本题的关键，难度不大．
12．如图，在中，、分别是、的中点，，是线段上一点，连接、，，若，则的长度是（ ）

A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】
先证得DE是△ABC的中位线，求出DE=8，及EF=6，再根据证得AC=2EF求出答案．
【解析】
∵、分别是、的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=8，
∵，
∴DF=2，EF=6，
∵，AE=CE，
∴AC=2EF=12，
故选：D．
二、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，四边形中，，，若，，为的中点，则的长为_______．

【答案】
【分析】
延长，使，根据题意先证明四边形是平行四边形，可解得，继而得到是的中点，再结合中位线的性质解题即可.
【解析】
解：延长，使，


四边形是平行四边形，
∴DE=AB，


是的中点，
为的中点，


故答案为：.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识、作出正确的辅助线是解题关键.
14．如图，点在线段上，等腰的顶角，点是矩形的对角线的中点，连接，若，，则的最小值为为______．

【答案】
【分析】
过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连结MH，HB由等腰的顶角，可得DG平分∠ADC，AG=CG=，可求∠GDC=60°，∠DCG=30°，在Rt△DGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即4DG2=DG2+9，可求DG=，CD=2由M，H为中点，可得MH=，根据两点之间线段最短，可得MBMH+HB，MH为定值，HB最小时，MB最短，BH⊥CF，可求∠HCB=60°，CH=，由勾股定理BH=，BH最小=．
【解析】
解：过D作DG⊥AC于G，取FC中点H，连结MH，HB，
∵等腰的顶角，
∴DG平分∠ADC，AG=CG=，
∴∠GDC=60°，∠DCG=90°-∠GDC=90°-60°=30°，
∴CD=2DG，
在Rt△DGC中，由勾股定理DC2=DG2+GC2，即4DG2=DG2+9，
∴DG=，CD=2，
∵M，H为中点，
∴MH=，
根据两点之间线段最短，则有MBMH+HB，MH为定值，
∴HB最小时，MB最短，
∴BH⊥CF，
∠HCB=180°-∠DCA-∠DCF=180°-30°-90°=60°，
CH=，
BH=，
BH最小=，
故答案为：．

【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，30°角直角三角形性质，三角形中位线，三角形三边关系是解题关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，E、F分别为DB、BC的中点，若AB＝8，则EF＝_____．

【答案】2
【分析】
根据直角三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】
解：在中，，是斜边上的中线，，
，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．如图：在中，点分别是的中点，连接，如果那么的周长是___．

【答案】30
【分析】
根据三角形的中位线性质，求出AC的长，再求出ΔABC的周长．
【解析】
∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点，
∴DE是ΔABC的中位线，
∴ DE=AC ，
∵ DE=2.5 ，
∴ AC=5 ，
∵ AB=13 ， BC=12 ，
∴ C△ABC=AB+BC+AC=13+12+5=30．

故答案为：30.
【点睛】
本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是掌握，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
17．如图，在中，点分别在边上，且，连接，点分别是的中点，，则的度数是_______．

【答案】
【分析】
根据点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点，可以证明MP是ΔDEC的中位线，NP是ΔDBC的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN．
【解析】
解：如图


∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点
∴MP是ΔDEC的中位线，
∴MP=EC，
NP是ΔDBC的中位线
∴NP=BD，
又∵BD=CE
∴MP=NP
∴∠PMN=∠PNM=34∘
∴∠MPN=180∘ -∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘
故答案位：112°
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．
18．如图，两点分别位于山脚的两端，小明想测量两点间的距离，于是想了个主意，先在地上取一个可以直接达到两点的点C，找到的中点D、E，并且测出的长为，则两点间的距离为_________．

【答案】30
【分析】
由D，E分别是边AC，AB的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得AB的长即可．
【解析】
解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
根据三角形的中位线定理，得：AB=2DE=30m．
故答案为：30．
三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．如图，在中，，D为CA延长线上一点，于点E，交AB于点F．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求线段DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据等边对等角和直角三角形两锐角互余可得∠D=∠BFE，再等量代换可得∠D=∠AFD，根据等角对等边即可证明；
（2）过A作AH⊥BC，根据中位线定理可得EH=2，根据三线合一可得EC，再根据勾股定理可求．
【解析】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BFE=90°，
∴∠D=∠BFE，
又∵∠BFE=∠AFD，
∴∠D=∠AFD，
∴AD=AF，即△ADF为等腰三角形；
（2）过A作AH⊥BC，

∵，DE⊥BC，
∴EF//AH，
∴EF是△BAH的中位线，
∵BE=2，
∴EH=2，
∵AB=AC，
∴BC=4BE=8，EC=HC+HE=BH+EH=6，
∵DA=AF=5，AC=AB=10，
∴DC=AD+AC=15，
∴．
【点睛】
本题考查中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等．（1）中注意等边对等角，以及等角对等边的使用；（2）中能正确作出辅助线是解题关键．
20．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（2）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上；
（3）若以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）．
【分析】
（1）如图3，作PD⊥BC，垂足为D，当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP，根据相似三角形的性质解题；
（2）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E，根据H是PQ的中点，HF//PD，可证明F是QD的中点，同理可证明EF是△ABC的中位线，据此解题；
（3）分类讨论，分别画出当⊙H与AB相切时，或当⊙H与BC相切时，或当⊙H与AC相切时的图形，结合勾股定理解题．
【解析】
（1）如图3，作PD⊥BC，垂足为D．

在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．
当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．
所以，即．解得．
（2）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．

由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．
又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．
因此F是BC的中点，E是AB的中点．
所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．
（3）如图5，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，．
如图6，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是，t＝1．
如图7，当⊙H与AC相切时，直径，
半径等于FC＝4．所以．
解得，或t＝0（如图8，但是与已知0＜t＜2矛盾）．

【点睛】
本题考查相似形的综合，涉及中位线性质等知识，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键．
21．如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】（1）， ；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）98
【分析】
（1）根据题意可证得，利用三角形的中位线定理得出，，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线定理得出，得出，通过角的转换得出与互余，证得．
（2）先证明，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法由，即可得出结论．
（3）当最大时，的面积最大，而最大值是，，计算得出结论．
【解析】
（1）线段PM与PN的数量关系是，位置关系是．
∵等腰中，，
∴AB=AC，
∵AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，
∴BD=CE，
∵点，，分别为，，的中点，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵（两直线平行内错角相等），
∴，
∴．
（2）是等腰直角三角形．
证明：由旋转可知，，
，，
∴，
∴，，
根据三角形的中位线定理可得，，，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法可得，，
∴，
同（1）的方法得，，
，
∵，
∴

，
∵，∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，
∴最大时，面积最大，
∵点在的延长线上，BD最大，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握中位线定理是解题关键．
22．如图1，像这样，由和组合成的封闭图形，我们称之为K型GHMNQ．在平面直角坐标系中，，，点C，D，E分别在线段AB，AO，BO上运动，且ADCEB为K型．

（1）如图2，若点D运动到点O时，过点O作，交CE的延长线为F，连接BF，求证：；
（2）如图3，若C是AB的中点，当为等腰三角形时，请直接写出AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）3或6或
【分析】
（1）先判断出∠OCF＝45°，进而得出OC＝OF，即可得出结论；
（2）分三种情况利用等腰三角形的性质即可得出结论．
【解析】
解：（1）如图1，，，
∴
∴，
ADCEB为K型，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴．
（2）由（1）知，∠DCE＝45°，
∵△CDE是等腰三角形，从以下三种情况进行讨论：
①当CD＝ED时，∠CED＝∠DCE＝45°，
∴∠CDE＝90°．
此时，点D是OA中点，点E和点O重合，
即：AD＝OA＝3．
②当CE＝DE时，∠CDE＝∠DCE＝45°，
∴∠CED＝90°．
此时点E是OB中点，点D和O重合，
即：AD＝AO＝6．
③当CD＝CE时，∠CDE＝∠CED＝（180°−∠DCE）＝67.5°，

如图，过点C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，
∵∠AOB＝90°，
∴CM∥OB，CN∥OA．
∵点C是AB中点，
∴CM＝OB，CN＝OA，
∴CM＝CN，
易知，四边形OMCN是正方形，
∴OM＝ON，
在Rt△CMD和Rt△CNE中，
∵CD＝CE ，CM＝CN，
∴Rt△CMD≌Rt△CNE（HL）．
∴∠DCM＝∠ECN．
∵∠MCN＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠DCM＝∠ECN＝22.5°．
∴∠CDM＝67.5°，
∵∠ACM＝∠ABO＝45°，
∴∠ACD＝∠ACM＋∠DCM＝67.5°．
∴∠ACD＝∠CDM．
∴AD＝AC　
在Rt△AOB中，OA＝OB＝6，
∴AB＝，∠ABO＝45°．
∵点C是AB中点，
∴AC＝．
∴AD＝AC＝．
即：满足条件的AD的长为：3或6或．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定条件等知识，掌握全等三角形的判定方法和利用分类讨论的方法是解本题的关键．
23．如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点．
(1)求证：．

（结论应用）
（2）如图②，在上边题目的条件下，延长上图中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F.求证：．
（3）若（1）中的，则的大小为__________．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）29°
【分析】
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PM＝BC，PN＝AD，然后求出PM＝PN，再根据等边对等角证明即可．
（2）由（1）得到，再根据平行线的性质即可求解；
（3）设=x°，则=x，得到∠FNB=，再根据△BNF的内角和为180°即可列出方程求解．
【解析】
（1）∵P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，
∴PM、PN分别是△BCD和△ABD的中位线，
∴PM＝BC，PN＝AD，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM．
（2）由（1）可得∠PMN＝∠PNM，MPBF,AENP
∴,
∴
（3）=x°，由（2）得=x，
∴∠FNB=，
在△BNF中∠ABC+∠F+∠FNB=180°
∴∠ABC+x+=180°
∴122°+2x=180°
解得x=29
∴=29°
故答案为：29°．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等边对等角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
24．已知，如图，在ΔABC与ΔADE中，AB=AC，AD=AE，
（1）如图①，连接CD、BE， 交于G点，若∠BAC=∠DAE=，求∠BGC度数．

①
（2）如图②，连接CE、BD，若P为BD中点，且∠EAC=∠ABD＋∠ADB，试探究AP与CE的数量关系，并说明理由．

②
【答案】（1）∠BGC=；（2）CE=2AP，理由见解析
【分析】
（1）先利用“SAS”证明△BAE△CAD推出∠ABE=∠ACD，再利用三角形内角和定理结合对顶角相等即可求解；
（2）延长DA至O，使OA=DA，连接OB，利用“SAS”证明△BAO△CAE，再根据三角形中位线的性质即可得到结论．
【解析】
（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAE =∠DAE+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，

在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE△CAD(SAS)，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠ABE+∠1+∠BAC=∠ACD+∠2+∠BGC，
且∠1=∠2，∠BAC=，
∴∠BGC=∠BAC=；
（2）CE=2AP，理由如下：
延长DA至O，使OA=DA，连接OB，如图：

∵AD=AE，
∴OA=DA=AE，
∵∠EAC=∠ABD+∠ADB，
又∠BAO是△ABD的外角，
则∠BAO =∠ABD+∠ADB，
∴∠BAO=∠EAC，
在△BAO和△CAE中，
，
∴△BAO△CAE(SAS)，
∴BO = CE，
∵P为BD中点，
∴BO=2AP，
∴CE=2AP．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形的外角性质，三角形内角和定理等，作出合理的辅助线构造全等三角形是解题的关键．