初中数学中考冲刺 圆中的定值问题培优练习（含解析）

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1．平面内有一点P到圆上最远距离是8，最近距离是4，则圆的半径是 ．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点O是该三角形边上一点，且OB＝1，以O为圆心，1为半径作圆，点P是这个圆上的一动点，连接AP，则线段AP的最大值为 ．
3．如图，扇形AOB中，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB交于点C，点D，E分别是OC，OB上的动点，若OA＝2，当BD+DE最小时阴影部分的面积为 ．
4．如图，已知⊙O的半径为R，以⊙O上一点A为圆心，以r为半径作⊙A，又直径PQ与⊙A相切，切点为D，且交⊙O于P、Q．求证：AP•AQ为定值．
5．已知MN是⊙O的切线，AB是⊙O的直径．求证：点A、B与MN的距离的和为定值．
6．如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值．
7．如图，设P为圆O内一定点，过P任作一弦AC，分别过A，C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q，R．求证：+为定值．
8．M为圆O外一定点，MA、MB是圆O的两条切线，AB与OM交于N，P为圆O上一动点，求证：为定值．
9．如图，已知菱形ABCD外切于圆O，MN是与AD、CD分别交于M、N的任意一条切线．求证：AM•CN为定值．
10．如图，过点O和点M（2，2）的动圆⊙O1分别与x轴，y轴相交于点A，B．
（1）求OA+OB的值；
（2）设△BOA的内切圆⊙I的直径为d，求证：d+AB为定值．
11．如图，半径给定的两圆同心，对小圆作三条切线，两条分别交于A、B、C三点，记以A、B、C为顶点的像扇形的区域面积分别为S1、S2、S3，△ABC的面积为S，求证：S1+S2+S3﹣S为定值．
12．【倾听理解】（这是习题讲评课上师生围绕一道习题的对话片断）
如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
师：当BD＝1时，同学们能求哪些量呢？
生1：求BC、OD的长．
生2：求、的长．
…
师：正确！老师还想追问的是：去掉“BD＝1”，大家能提出怎样的问题呢？
生3：求证：DE的长为定值．
生4：连接AB，求△ABC面积的最大值．
…
师：你们设计的问题真精彩，解法也很好！
【一起参与】
（1）求“生2”的问题：“当BD＝1时，求、的长”；
（2）选择“生3”或“生4”提出的一个问题，并给出解答．
13．如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB＝12，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，
（1）若PD∥BC，求证：AP平分∠CAB；
（2）若PB＝BD，求PD的长度；
（3）证明：无论点P在弧上的位置如何变化，CP•CQ为定值．
14．如图，已知y＝﹣x+m（m＞4）过动点A（m，0），并与反比例函数y＝的图象交于B、C两点（点B在点C的左边），以OA为直径作反比例函数y＝的图象相交的半圆，圆心为P，过点B作x轴的垂线，垂足为E，并于半圆P交于点D．
（1）当m＝5时，求B、C两点的坐标．
（2）求证：无论m取何值，线段DE的长始终为定值．
（3）记点C关于直线DE的对称点为C′，当四边形CDC′E为菱形时，求m的值．
15．如图，已知，在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M（不包括A，B两点），以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C．
求证：∠ACB为定值．