苏州高新区新区一中2020-2021学年八年级下学期3月月考数学试卷(含解析)
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这是一份苏州高新区新区一中2020-2021学年八年级下学期3月月考数学试卷(含解析),共30页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
新区一中2020-2021学年八年级下学期3月月考英语试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1. 下列图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
2. 代数式中是分式的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列根式中,不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是( )
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定
5. 下列各组根式是同类二次根式的是( )
A. 与 B. 2与3 C. 和 D. 和
6. 若,则的值是( )
A. B. C. 3 D.
7. 如图所示,在平行四边形中,平分交于,已知,则的度数是( )
A. B. C. D.
8. 如图,正方形中,点、分别在边,上,与交于点.若,,则的长为( )
A. B. C. D.
9. 如图,在矩形中,是边上的动点,于,于,如果,那么( )
A. B.
C. D.
10. 如图①,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿以的速度匀速运动到点B,图②是点F运动时,的面积y()随时间变化的图象,则a的值为( )
A. 2 B. C. D.
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)
11. 计算×=_______.
12. 如果若分式的值为0,则实数a的值为___.
13. 比较大小:________5.
14. 若,则________.
15. 如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为__________°.
16. 若关于x的方程=的解为正数,则m的取值范围是_____.
17. 如图,在平行四边形ABCD中,∠C=120°,AD=4,AB=2,点H、G分别是边CD、BC上的动点.连接AH、HG,点E为AH的中点,点F为GH的中点,连接EF则EF的最大值与最小值的差为__________.
18. 如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E为CD边的中点,点P、Q为BC边上两个动点,且PQ=2,当BP=_____时,四边形APQE的周长最小.
三、解答题(本大题共64分,把解答过程写在答题卡相应的位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.)
19. 计算:.
20. 解方程:.
21. 已知
(1)当时,先化简,再求值;
(2)代数式的值能否等于3?请说明理由
22. 如图所示,的各顶点都在的网格中的格点(即各个小正方形的顶点)上.
(1)将绕点A顺时针旋转后得到的,在图中画出.
(2)将线段BC绕图中F、G、H、M、N五个格点中的其中一个点可旋转到线段(点B的对应点为),则旋转中心是________.
23. 新冠肺炎疫情期间,某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂,乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元,已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同.求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元?
24. 如图,在中,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点,连接DF、EF、BF.
(1)求证:四边形BEFD是平行四边形;
(2)若,,求四边形BEFD的周长.
25. 如图,把两个等宽的矩形交叉重叠在一起,重叠部分为四边形ABCD.
(1)判断四边形ABCD形状,并说明理由.
(2)若这两个矩形的长都为5,宽都为1,则四边形ABCD周长x的取值范围是________
26. 如图,在矩形中,厘米,厘米,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止:同时点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止,点P,Q的速度都是1厘米/秒.联结.设点P,Q运动时间为t秒.
(1)求当t为何值时,四边形是矩形;
(2)求当t为何值时,四边形是菱形.
27. 如图1,O是平行四边形ABCD对角线交点,过点O作,,垂足分别为H,M,若,我们称是平行四边形ABCD的心距比.
(1)如图2,四边形ABCD是菱形,则四边形ABCD的心距比________.
(2)如图3,四边形ABCD是矩形,,求四边形ABCD的心距比.
(3)如图4,在中,,,动点P从点B出发,沿线段BC向终点C运动,动点Q自C出发,沿线段CA向终点A运动,P、Q两点同时出发,运动速度均为每秒1个单位,连结PQ以PQ、AQ为邻边作平行四边形AQPE,若四边形AQPE的心距比,则点P运动时间为________秒.
28. 我们知道,平行四边形的对边平行且相等,利用这一性质,可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助.
(1)【方法回顾】证明:三角形中位线定理.
已知:如图①,在中,D、E分别是AB、AC的中点,求证:,.
证明:如图①,延长DE到点F,使得,连接CF;
请继续完成证明过程.
(2)【问题解决】如图②,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,是等腰直角三角形,,连接CF、CH.求证:.
(3)【思维拓展】如图③,四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形,,连接BE、CF,直接写出CF与BE数量关系________.
一、选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1. 下列图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念逐一进行分析即可得.
【详解】A、不是中心对称图形,是轴对称图形,故不符合题意;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形,故不符合题意;
C、是中心对称图形,不是轴对称图形,故符合题意;
D、不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故不符合题意,
故选C.
【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形,在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这样的图形叫做轴对称图形;在平面内,如果把一个图形绕某个点旋转180°后,能与原图形重合,那么就说这个图形是中心对称图形.
2. 代数式中是分式的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.
【详解】的分母中均不含有字母,因此它们是整式,而不是分式.
分母中含有字母,是分式.
分式有2个.
故选:B.
【点睛】本题考查的是分式的定义,在解答此题时要注意分式是形式定义,只要是分母中含有未知数的式子即为分式.
3. 下列根式中,不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用最简二次根式的定义进而分析得出答案.
【详解】A.无法化简,是最简二次根式,故此选项错误;
B.,不是最简二次根式,故此选项正确;
C.,无法化简,是最简二次根式,故此选项错误;
D.,无法化简,是最简二次根式,故此选项错误.
故选B.
【点睛】本题考查了最简二次根式,正确把握最简二次根式的定义是解题的关键.
4. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是( )
A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】菱形的对角线互相垂直,连接个边中点可得到四边形的特征.
【详解】解:是矩形.
证明:如图,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵E,F,G,H是中点,
∴EF∥BD,FG∥AC,
∴EF⊥FG,
同理:FG⊥HG,GH⊥EH,HE⊥EF,
∴四边形EFGH是矩形.
故选:B.
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定定理,矩形的判定定理以及三角形的中位线定理.
5. 下列各组根式是同类二次根式的是( )
A. 与 B. 2与3 C. 和 D. 和
【答案】A
【解析】
分析】先将各二次根式化简为最简二次根式,然后找出被开方数相同的一组即可.
【详解】A.,故与是同类二次根式,故A正确;
B.2与3被开方数不同,不是同类二次根式;
C.和被开方数不同,不是同类二次根式;
D.与被开方数不同,不是同类二次根式.
故选A.
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义,掌握同类二次根式的定义是解题的关键.
6. 若,则的值是( )
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据求出ab与a-b的关系,再代入所求代数式进行计算即可.
【详解】解:∵,即ab=-3(a-b),
∴原式==-3.
故选:A.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
7. 如图所示,在平行四边形中,平分交于,已知,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得∠ADF=40°,根据角平分线的定义可得∠ADC=2∠ADF=80°,再根据平行四边形的性质得AD∥BC,进而得∠C+∠ADC=180°即可解决问题.
【详解】解:∵AF⊥DE,
∴∠AFD=90°,
∵∠DAF=50°,
∴∠ADF=90°﹣50°=40°,
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADC=2∠ADF=80°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠C+∠ADC=180°,
∴∠C=100°,
故选:A.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
8. 如图,正方形中,点、分别在边,上,与交于点.若,,则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方形的性质以及勾股定理求得,证明,根据全等三角形的性质可得,继而根据,可求得CG的长,进而根据即可求得答案.
【详解】∵四边形ABCD是正方形,,
∴,,
∵,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∵,
,
∴,,
∴,
故选A.
【点睛】本题考查了正方形的性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,三角函数等知识,综合性较强,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
9. 如图,在矩形中,是边上的动点,于,于,如果,那么( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设AC、BD交于点O,连接OP,根据矩形的性质及勾股定理求出OA=OD=2.5,再求出△AOD的面积,根据面积关系即可求出答案.
【详解】设AC、BD交于点O,连接OP,
∵
∴BD=AC=5,
∴OA=OD=2.5,
∵,
∴,
∵于,于,
∴,
,
∴,
故选:A.
【点睛】此题考查矩形的性质,勾股定理,根据矩形的性质求出△AOD的面积是解题的关键.
10. 如图①,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿以的速度匀速运动到点B,图②是点F运动时,的面积y()随时间变化的图象,则a的值为( )
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过分析图象,点F从点A到D用as,此时,△FBC的面积为a,依此可求菱形的高DE,再由图象可知,BD=,应用两次勾股定理分别求BE和a.
【详解】解:过点D作DE⊥BC于点E,
由图象可知,点F由点A到点D用时为as,△FBC的面积为acm2.
∴AD=a,
∴BC•DE=AD•DE=a•DE=a,
∴DE=2,
当点F从D到B时,用s,
∴BD=(cm),
Rt△DBE中,BE=(cm),
∵ABCD是菱形,
∴EC=a−1,DC=a,
Rt△DEC中,
a2=22+(a−1)2,
解得a=(cm),
故选:B.
【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质,解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系.
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)
11 计算×=_______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可.
【详解】解:原式==3.
故答案为:3.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算,解答关键是按法则进行计算.
12. 如果若分式的值为0,则实数a的值为___.
【答案】-3.
【解析】
【分析】根据分式的值为零:分子为零,但是分母不为零求解即可.
【详解】解:依题意得:,且,
解得.
故答案是:.
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.
13. 比较大小:________5.
【答案】
【解析】
【分析】将转换为,转换为,比较大小即可.
【详解】解:∵,,
∴,
即,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查实数的大小比较,将所给实数进行适当变形是解题的关键.
14. 若,则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围,进而得到的值.
【详解】解:∵,
∴x−4≥0且4−x≥0,
解得x≥4且x≤4,
∴x=4,
∴y=3,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件,解题时注意:二次根式中的被开方数是非负数.
15. 如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为__________°.
【答案】60°
【解析】
【详解】试题分析:根据正方形和等边三角形的性质可得:∠BAD=90°,∠DAE=60°,根据△BAE为等腰三角形可得:∠ABE=∠AEB=15°,根据正方形的性质可得:∠BCF=45°,∠CBF=90°-15°=75°,根据△BCF的内角和定理可得:∠BFC=180°-45°-75°=60°.
考点:(1)、等腰三角形的性质;(2)、三角形内角和定理;(3)、等边三角形的性质
16. 若关于x的方程=的解为正数,则m的取值范围是_____.
【答案】m>﹣2且m≠2.
【解析】
【分析】先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围.
【详解】解:去分母,得x﹣2=m,
解得:x=m+2,
∵x>0,
∴m+2>0
∴m>﹣2,
∵x﹣4≠0,
∴x≠4,
∴m+2≠4,
∴m≠2,
∴m>﹣2且m≠2.
故答案为m>﹣2且m≠2.
【点睛】本题主要考查了分式方程的解得应用,准确计算是解题的关键.
17. 如图,在平行四边形ABCD中,∠C=120°,AD=4,AB=2,点H、G分别是边CD、BC上的动点.连接AH、HG,点E为AH的中点,点F为GH的中点,连接EF则EF的最大值与最小值的差为__________.
【答案】
【解析】
【分析】取AD的中点M,连接CM、AG、AC,作AN⊥BC于N;再证明∠ACD=90°,求出AC=2、AN=;然后由三角形中位线定理,可得EF=AG,最后求出AG的最大值和最小值即可.
【详解】解:如图:取AD的中点M,连接CM、AG、AC,作AN⊥BC于N
∵四边形ABCD是平行四边形,∠BCD= 120°
∴∠D=180°-∠BCD=60°,AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2
∴△CDM是等边三角形
∴∠DMC=∠MCD=60°,AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30°
∴∠ACD=90°
∴AC=2
在Rt△ACN中,AC=2,∠ACN=∠DAC=30°
∴AN=AC=
∵AE=EH,GF=FH
∴EF=AG
∴AG的最大值为AC的长,最小值为AN的长
∵AG的最大值为2,最小值为
∴EF的最大值为,最小值为
∴EF的最大值与最小值的差为-=.
故答案为.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识,正确添加辅助线和证得∠ACD=90是解答本题的关键.
18. 如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E为CD边的中点,点P、Q为BC边上两个动点,且PQ=2,当BP=_____时,四边形APQE的周长最小.
【答案】4
【解析】
【分析】由题意可知要使四边形APQE的周长最小,由于AE与PQ都是定值,只需AP+EQ的值最小即可.为此,先在BC边上确定点P、Q的位置,可在AD上截取线段AF=DE=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点,过A点作FQ的平行线交BC于一点,即为P点,则此时AP+EQ=EG最小,然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点,那么先证明∠GEH=45°,再由CQ=EC即可求出BP的长度.
【详解】解:如图,在AD上截取线段AF=DE=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于一点即为Q点,过A点作FQ的平行线交BC于一点,即为P点,过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点.
∵GH=DF=6,EH=2+4=6,∠H=90°,
∴∠GEH=45°,
∴∠CEQ=45°,
设BP=x,则CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x,
在△CQE中,∵∠QCE=90°,∠CEQ=45°,
∴CQ=EC,
∴6-x=2,
解得x=4.
故答案为4.
【点睛】本题考查矩形的性质以及轴对称-最短路线问题的应用,根据题意作出辅助线以及运用数形结合思维分析是解题的关键.
三、解答题(本大题共64分,把解答过程写在答题卡相应的位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.)
19. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的加减混合运算法则计算即可.
【详解】解:原式=.
【点睛】本题主要考查二次根式的加减混合运算,能够准确将每个二次根式化为最简二次根式是解题的关键.
20. 解方程:.
【答案】
【解析】
【分析】先去分母将分式方程转换为整式方程,求解检验即可.
【详解】解:,
去分母得:,
去括号得:,
移项合并同类得:,
系数化为1得:,
经检验,是原方程的解,
故原分式方程的解为:.
【点睛】本题主要考查解分式方程,熟知解分式方程的一般步骤是解题的关键,注意验根.
21. 已知
(1)当时,先化简,再求的值;
(2)代数式的值能否等于3?请说明理由
【答案】(1),;(2)不能,理由见解析
【解析】
【分析】(1)先对A式按分式的加减乘除混合运算法则化简,再代入的值根据根式的化简法则计算即可;
(2)假设A的值等于3,根据A化简后的结果列出关于的方程,解方程求出的值,依据分式有意义的条件作出判断.
【详解】(1),
当时,
;
(2)当代数式的值等于3时,有,
解得:,
经检验是分式方程的解,
但当时,代数式无意义,
∴代数式的值不能等于3
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、解分式方程以及二次根式的混合运算,解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则.
22. 如图所示,的各顶点都在的网格中的格点(即各个小正方形的顶点)上.
(1)将绕点A顺时针旋转后得到的,在图中画出.
(2)将线段BC绕图中F、G、H、M、N五个格点中的其中一个点可旋转到线段(点B的对应点为),则旋转中心是________.
【答案】(1)见解析(2)G
【解析】
【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可;
(2)利用网格特点作BB2和CC2的垂直平分线,它们的交点为G,从而得到旋转中心.
【详解】解:(1)如图,△AB1C1为所作;
(2)旋转中心是点G.
【点睛】本题考查了作图−旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.
23. 新冠肺炎疫情期间,某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂,乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元,已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同.求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元?
【答案】甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元,乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元
【解析】
【分析】设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元,根据题意列出等式,求解即可.
【详解】解:(1)设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元;乙品牌消毒剂每瓶的价格为(3x﹣50)元,
由题意得:=
解得:,
经检验,是原方程的解且符合实际意义,
答:甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元;乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元;
【点睛】本题是对分式方程运用的考查,准确根据题意列出方程是解答此题的关键.
24. 如图,在中,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点,连接DF、EF、BF.
(1)求证:四边形BEFD是平行四边形;
(2)若,,求四边形BEFD的周长.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】(1)根据三角形中位线定理即可证明;
(2)证明四边形BEFD为菱形,即可求出四边形BEFD的周长.
【详解】解:(1)∵D、E分别是AB、BC的中点,
∴DF是的中位线,
∴且,
∵F是AC的中点,
∴,
∴,
∴四边形BEFD是平行四边形;
(2)∵,F是AC的中点,
∴,,
在和中,
∴,
∴,
∵D、E分别是AB、BC的中点,
∴,
∴平行四边形BEFD是菱形,
∴四边形BEFD的周长.
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定,菱形的判定与性质,三角形的中位线等知识点,熟知其性质定理是解题的关键.
25. 如图,把两个等宽的矩形交叉重叠在一起,重叠部分为四边形ABCD.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)若这两个矩形的长都为5,宽都为1,则四边形ABCD周长x的取值范围是________
【答案】(1)菱形;理由见解析(2)
【解析】
【分析】(1)先证明四边形ABCD是平行四边形,再利用面积求出AB=BC,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;
(2)当两矩形如图1放置时周长最小,如图2放置时时周长最大,分别计算两种情况的周长可得结果.
【详解】解:(1)四边形ABCD是菱形.理由如下:
∵两张纸条的对边平行,即AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵两张纸条的宽度都是2cm,
即平行四边形BC边上高等于AB边上的高,
∴S四边形ABCD=AB×2=BC×2,
∴AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形,
即四边形ABCD是菱形;
(2)①当两矩形如图1放置时周长最小,
即当时,
此时菱形的边长等于矩形宽,
即菱形ABCD周长为:;
②当两矩形如图2放置时时周长最大,
设菱形的边长AB为m,则AE=5-m,
在中,,
即,
解得:,
即菱形ABCD周长为:,
∴四边形ABCD周长x的取值范围是:,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查菱形的判定与性质,矩形的性质,勾股定理等知识点,根据题意画出图形是解题的关键.
26. 如图,在矩形中,厘米,厘米,点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止:同时点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止,点P,Q的速度都是1厘米/秒.联结.设点P,Q运动时间为t秒.
(1)求当t为何值时,四边形是矩形;
(2)求当t为何值时,四边形是菱形.
【答案】(1)3;(2)
【解析】
【分析】(1)根据题意用t表示出BQ、AP、CQ,根据矩形的判定定理列出方程,解方程得到答案;
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形得到AQ=QC,勾股定理列式计算即可.
【详解】解:(1)由题意得,BQ=DP=t,则AP=CQ=6-t,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,AD∥BC,
∴当BQ=AP时,四边形ABQP为矩形,
∴t=6-t,
解得,t=3,
故当t=3时,四边形ABQP为矩形;
(2)由(1)可知,四边形AQCP为平行四边形,
∴当AQ=CQ时,四边形AQCP为菱形,
即=6-t时,四边形AQCP为菱形,
解得,t=,
故当t=时,四边形AQCP为菱形.
【点睛】本题考查的是矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的判定,掌握它们的判定定理是解题的关键.
27. 如图1,O是平行四边形ABCD对角线的交点,过点O作,,垂足分别为H,M,若,我们称是平行四边形ABCD的心距比.
(1)如图2,四边形ABCD是菱形,则四边形ABCD的心距比________.
(2)如图3,四边形ABCD是矩形,,求四边形ABCD的心距比.
(3)如图4,在中,,,动点P从点B出发,沿线段BC向终点C运动,动点Q自C出发,沿线段CA向终点A运动,P、Q两点同时出发,运动速度均为每秒1个单位,连结PQ以PQ、AQ为邻边作平行四边形AQPE,若四边形AQPE的心距比,则点P运动时间为________秒.
【答案】(1)1(2)(3)2
【解析】
【分析】(1)根据菱形的性质可知平分,根据角平分线的性质可得,则可得结论;
(2)根据矩形性质以及可得为等边三角形,设,分别求出此时的长度,即可求得结果;
(3)四边形AQPE对角线交点为O,过点O作于H,于M,设运动时间为t秒,由题意得:,根据勾股定理可得,根据平行四边形面积可得,∴且,代入计算即可.
【详解】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴,
∵,,
∴,
∴,
故答案为:1;
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴,
∵O是平行四边形ABCD对角线的交点,
∴,
∵,
∴为等边三角形,
设,则,
在中:,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴;
(3)四边形AQPE对角线交点为O,过点O作于H,于M,
设运动时间为t秒,由题意得:,
在中,,
∴,
∵AQPE是平行四边形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵且,
∴,
化简后得:,
即:,
解得:(舍),
∴心距比,则点P运动时间为2秒,
故答案为:2.
【点睛】本题是四边形综合题,考查了平行四边形的性质,矩形的性质,菱形的性质,勾股定理等知识点,能够正确理解题目中的新定义,运用相应四边形的性质是解题的关键.
28. 我们知道,平行四边形的对边平行且相等,利用这一性质,可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助.
(1)【方法回顾】证明:三角形中位线定理.
已知:如图①,在中,D、E分别是AB、AC的中点,求证:,.
证明:如图①,延长DE到点F,使得,连接CF;
请继续完成证明过程.
(2)【问题解决】如图②,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,是等腰直角三角形,,连接CF、CH.求证:.
(3)【思维拓展】如图③,四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形,,连接BE、CF,直接写出CF与BE的数量关系________.
【答案】(1)见详解;(2)见详解;(3)CF=BE
【解析】
【分析】(1)根据全等三角形的性质得到AD=CF,∠ADE=∠F,根据平行四边形的性质即可得到结论;
(2)根据正方形的性质得到AB=BC,∠ABC=90°,即∠ABE+∠CBE=90°根据全等三角形的性质得到AE=CH,∠AEB=∠CHB,推出四边形EFCH是平行四边形,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论;
(3)如图,过点B作BH,使∠EBH=120°,且BH=BE,连接EH、CH,根据全等三角形的性质得到CH=AE=EF,∠CHB=∠AEB,推出四边形EFCH是平行四边形,得到CF=EH,过B作BN⊥EH于N,根据等腰三角形的性质即可得到结论.
【详解】(1) ∵AE=CE, DE=EF,∠AED=∠CEF,
∴,
∴AD=CF,EF=DE,∠ADF=∠F,
∴ BD// CF,
∵AD=BD,
∴BD=CF,
∴四边形BCFD是平行四边形,
∴DF=BC,DF// BC,
即 ,
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,即∠ABE+∠CBE=90°
∵△BEH是等腰直角三角形,
∴EH=, ∠BEH=∠BHE=45°,∠EBH=90°,即∠CBH+∠CBE=90°,
∴∠ABE=∠CBH,
∴在△ABE和△CBH中,
∴△ABE≌△CBH (SAS) ,
∴ AE=CH,∠AEB=∠CHB,
∴∠CHE=∠CHB-∠BHE=∠CHB-45°=∠AEB-45°,
∵四边形AEFG是正方形,
∴AE=EF,∠AEF=90°,
∴EF=HC,∠FEH=360°-∠AEF-∠AEB-∠BEH=225°-∠AEB,
∴∠CHE+∠FEH=∠AEB-45°+225°-∠AEB= 180°,
∴EF// HC且EF=HC,
∴四边形EFCH是平行四边形,
∴CF=EH=BE;
(3) CF=BE,
如图:
过点B作BH,使∠EBH=120°,且BH=BE,
连接EH、CH,
则∠BHE=∠BEH=30°,
∵∠ABC=∠EBH=120°,
∴∠ABE=∠CBH,
∵ AB=BC,BE=BH,
∴△AEB≌△CHB(SAS)
∴CH=AE=EF,∠CHB=∠AEB,
∵∠CHE=∠CHB-∠BHE=∠AEB-30°,
∠FEH=360°-∠AEF-∠AEB-∠BEH=210°-∠AEB,
∴∠CHE+∠FEH=180°,
∴CH // EF且CH=EF,
∴四边形EFCH是平行四边形,
∴CF=EH,
过B作BN⊥EH于N,
在△EBH中,∠EBH=120°, BH=BE,
∴∠BEN=30°,EH=2EN,
∴EN=BE,
∴EH=BE,
∴CF=EH=BE
【点睛】本题是四边形的综合题,考查了平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,正确是作出辅助线是解题的关键
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