北京市一零一中学2022届高三3月数学统练试题

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1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在边长为1的正方形ABCD中，若，，，则等于（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 2
3. 如图，正方体中，是的中点，则（ ）
A. 直线与直线相交，直线平面
B. 直线与直线平行，直线平面
C. 直线与直线异面，直线平面
D 直线与直线垂直，直线平面
4. 已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（ ）
A. 30B. 60C. 900D. 1800
5. 已知数列中，，等比数列公比满足且，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，则“”是“函数在上存在最小值”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）
A 1%B. 2%C. 3%D. 5%
8. 已知椭圆：，双曲线：，.设椭圆M的两个焦点分别为，，椭圆M的离心率为，双曲线N的离心率为，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P， 若且，则的值为（ ）
A. B.
C. 2D.
9. 函数在内的值域为，则的取值范围为
A. B. C. D.
10. 已知集合.若，且对任意的，，均有，则集合B中元素个数的最大值为
A. 25B. 49C. 75D. 99
二、填空题共5小题．
11. 已知，若，则___．
12. 为抛物线上一动点，当点到直线的距离最短时，点的坐标是___________.
13. 设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为________.
14. 已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为_________．
15. 已知函数为奇函数，且，当时，，给出下列四个结论：
①图像关于对称
②图像关于直线对称
③
④在区间单调递减
其中所有正确结论的序号是_______
三、解答题共6小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 已知函数（，）满足下列3个条件中的2个条件：
①函数的周期为；
②是函数的对称轴；
③且在区间上单调.
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；
（Ⅱ）若，求函数的值域.
17. 在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源．活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；
（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为，求的分布列和均值；
（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小．（只需写出结论）
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，，E为PB中点．
（1）求证：PD//平面ACE；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19. 已知椭C：的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点．
（1）求椭圆C方程；
（2）求四边形AMBN面积的最大值．
20 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若存在两条直线、都是曲线的切线，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围.
21. 已知集合是集合的一个含有个元素的子集.
（Ⅰ）当时,
设
（i）写出方程的解；
（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.
（Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程至少有三组不同的解.