河南省名校联盟”顶尖计划“2022届高中毕业班第三次考试理数试题

理科数学

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

2. 已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（    ）

A. 1 B. 4 C. 9 D. 16

【答案】C

3. 已知椭圆C：的离心率为，以C的上､下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为（    ）

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20

【答案】D

4. 某市为了解市民对机动车单双号限行的看法，随机调查了一部分市民，其年龄（岁）统计结果如下，则这组数据的中位数为（    ）

A. 30 B. 32.8 C. 35.6 D. 40

【答案】B

5. 盈亏平衡点又称零利润点，通常是指全部销售收入等于全部成本时（销售收入线与总成本线的交点）的销售量，其计算公式为（其中为盈亏平衡点，为单位产品变动成本，为单位产品税金及附加，P为产品单价，为总固定成本）.某企业某种产品的年固定成本为1800万元，单位产品变动成本为600元，单位产品税金及附加为200元，若该企业这种产品每年的盈亏平衡点为75000台，则该产品的单价为（    ）

A 1000元 B. 1020元 C. 1040元 D. 1060元

【答案】C

6. 已知正项数列满足，则数列的前10项和（    ）

A. 1022 B. 1023 C. 2046 D. 2047

【答案】C

7. 的展开式中项的系数为（    ）

A.  B.  C. 140 D. 1120

【答案】B

8. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

9. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】B

10. 在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的最大体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

11. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，过的左顶点作一条与渐近线平行的直线与轴相交于点，点为线段上一个动点，当分别取得最小值和最大值时，点的纵坐标分别记为、，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

12. 在数列中，，，且对任意m，，，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，，若，则实数___________.

【答案】0

14. 已知变量x，y满足约束条件则的最小值为___________.

【答案】

15. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________.

【答案】

16. 已知对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.

（1）求角C；

（2）若，的面积，求S.

【答案】（1）   

（2）

18. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，E为AB的中点，F为与的交点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

19. 无土栽培由于具有许多优点，在果蔬种植行业得到大力推广，无土栽培的类型主要有水培､岩棉培和基质培三大类.某农科院为了研究某种草苺最适合的无土栽培方式，种植了400株这种草苺进行试验，其中水培､岩棉培､基质培的株数分别为200，100，100.草苺成熟后，按照栽培方式用分层抽样的方法抽取了40株作为样本，统计其单株产量，数据如下：

（1）求x，y，z的值；

（2）若从这40株草苺中随机抽取2株，求这2株中恰有1株的单株产量不小于150的概率；

（3）以这40株草莓的不同单株产量的频率代替每一株草莓的产量为对应数值的概率，若从这400株草莓中随机抽取3株，用X表示单株产量在内的株数，求X的分布列和数学期望.

【答案】（1）x，y，z值分别为10，1，5；   

（2）；   

（3）分布列答案见解析，数学期望：.

20. 在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点为抛物线上一点，关于轴对称的点为，且和的面积分别为和.

（1）求的方程；

（2）设直线与抛物线相交于两点，过点作轴的垂线与直线分别相交于点，证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

21. 已知函数的图象在处的切线斜率为.

（1）求函数的极大值；

（2）若，是函数图象上不同的两点，求实数a的取值范围，并证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求直线l普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，点，记与的面积分别为，，求的值.

【答案】（1），   

（2）

23. 已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若函数图象与函数的图象有公共点，求实数t的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.