江西省稳派联考2022届高三3月二轮复习阶段性测试数学（理）试题

2021-2022学年高三年级二轮复习阶段性测试

数学（理）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.的共轭复数为（    ）

A. B. C. D.

3.法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“（p为素数）”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现51个“梅森素数”，可以估计，这个“梅森素数”的位数为（参考数据：）（    ）

A.19 B.20 C.21 D.22

4.5G基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设.已知2021年8月该地区计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A地区累计开通4070个5G基站要到（    ）

A.2022年12月底 B.2022年11月底 C.2022年9月底 D.2022年8月底

5.在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A. B. C. D.

6.若函数为偶函数，则实数（    ）

A.-9 B.3 C.-3 D.9

7.甲、乙两人玩猜数字游戏，他们心中各想一个数字，分别记为x，y，其中，当时，称“甲乙心有灵犀”，则“甲乙心有灵犀”的概率为（    ）

A. B. C. D.

8.若，则（    ）

A. B. C. D.

9.已知中，，，现以BC为旋转轴旋转得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

10.已知函数的部分图象如下所示，其中，.将的图象的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的一条对称轴方程是（    ）

A. B. C. D.

11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，若点M，N满足，且四边形为菱形，则的离心率为（    ）

A. B. C. D.3

12.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，，若，则实数_____.

14.某地区教研部门开展高三教师座谈会，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，已知某校共有8名教师参加座谈会，记X为该校教师中被抽到发言的人数，若，且，则_____.

15.已知抛物线C：与直线l交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为3，则l的倾斜角为_____.

16.设数列的前项和为，若，且，则_____.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.

（1）求角C的大小；

（2）若____，求的周长，从下列三个条件中任选1个，补充在上面问题的横线中，然后对问题进行求解.

①的面积为，②，③.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）某种机器随着使用年限的增加，其价值逐渐减小.经调查显示，该机器售价为25万元，其使用年限x（单位：年）与价值y（单位：万元）之间的对应关系统计如下表所示.

由上表数据可知，可用线性回归模型（下面简称为模型一）拟合y与x的关系.

（1）求y关于x的线性回归方程；

（2）研究人员采用另外一种非线性模型（下面简称为模型二）对上述数据进行研究，得到模型二的相关系数.

①计算模型一的相关系数r；

②试根据①中计算结果，说明选择哪种模型拟合效果更好.

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数.参考数据：.

19.（12分）如图所示，在圆柱中，是圆柱的一个轴截面，点C是弧AB的中点，M，N分别为线段，BC的中点，直线平面.

（1）求证：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

20.（12分）已知函数.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）若，，且，求实数的取值范围.

21.（12分）已知椭圆过点，且的上顶点到右顶点的距离为.

（1）求的方程；

（2）若点P，Q，R都在上，直线PQ不与轴垂直，原点恰好是的重心，且点到PQ的距离为，求PQ的斜率.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

（1）求l的普通方程以及C的直角坐标方程；

（2）若l与C交于M，N两点，求的值.

23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数，.

（1）若，求不等式的解集；

（2）当时，若，，求的取值范围.

2021-2022学年高三年级二轮复习阶段性测试

数学（理）参考答案

1.【答案】C

【解析】依题意，，，故，故选C.

2.【答案】A

【解析】依题意，，其共轭复数为，故选A.

3.【答案】C

【解析】依题意，，故这个“梅森素数”有21位，故选C.

4.【答案】D

【解析】假设要经过k个月，则，解得，预计A地区累计开通4070个5G基站要到2022年8月底，故选D.

5.【答案】B

【解析】连接，AE，因为，则即为异面直线与所成角，不妨设，则，，，故选B.

6.【答案】D

【解析】，易知为奇函数，故为奇函数，则，解得，故选D.

7.【答案】C

【解析】由题意，故区域，面积为4，其中区域，面积，故“甲乙心有灵犀”的概率，故选C.

8.【答案】A

【解析】依题意，，故，

故，故选A.

9.【答案】D

【解析】如图所示，旋转体的轴截面为边长为3的菱形，其中，内切球的半径，故，故选D.

10.【答案】A

【解析】依题意，，故，故，故，将代入，可得，故，解得，，则，将的图象的横坐标缩短为原来的，得到，再向右平移个单位长度后，得到，的对称轴方程为，解得，观察可知，故选A.

11.【答案】B

【解析】依题意，点M，N分别在C的左、右支上，结合图形可知，，，结合双曲线对称性可知，，，为等边三角形，不妨设在第三象限，则，代入中，得，故，则，故选B.

12.【答案】B

【解析】依题意，，则，而，故当时，，在上单调递减，当时，，故在上单调递减，故；当时，因为在上单调递减，，且当时，，故，，且当时，，在上单调递增，故，这与题设矛盾，舍去.综上所述，实数的取值范围为，故选B.

13.【答案】

【解析】依题意，，而，故.，故，解得.

14.【答案】

【解析】依题意，，故，解得或，而，故，则.

15.【答案】（或填）

【解析】设，，则，，两式相减可得，，则，故的斜率为1，则的倾斜角为.

16.【答案】675

【解析】依题意，.当为奇数时，，故数列是首项为1，公差为2的等差数列；当为偶数时，，故数列为常数列，故.

17.解：（1）依题意，，（1分）

故，（3分）

即，（4分）

故分）

因为，故.（6分）

（2）若选①：

依题意，，（7分）

解得，故，，（8分）

由余弦定理，，（9分）

即，解得，（11分）

故的周长为.（12分）

若选②：

依题意，，故，（7分）

故，（8分）

即，（9分）

因为，所以，（10分）

由余弦定理，，则，解得，（11分）

则，故的周长为.（12分）

若选③：

因为，即，（7分）

故，故，（8分）

因为，故，（9分）

故，（10分）

所以，，（11分）

所以的周长为.（12分）

18.解：（1），（1分）

，（2分）

故，（3分）

，（4分）

故，（5分）

故，故所求回归直线方程为.（6分）

（2）（1）依题意，，（7分）

故.（9分）

②相关系数r是衡量模型好坏的标准，相关系数的绝对值越接近于1，模型的拟合性就越强，因为，故模型一相比模型二具有更好的拟合效果.（12分）

19.（1）证明：取的中点，连接PN，，

则，且，（1分）

所以四边形为平行四边形，所以；（3分）

因为直线平面，平面，故，故.（4分）

（2）解：连接OC，因为平面ABC，则，，AB是圆柱底面的直径，是弧AB的中点，所以，为AB的中点，则.

以为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，（5分）

设，则，，，，（6分）

，.

设平面的一个法向量为，则

，得，

取，则，，则，（9分）

而，（10分）

故直线与平面所成角的正弦值.（12分）

20.解：（1）依题意，，故，（2分）

又，解得.（4分）

（2）因为，不妨设，

由得，，（5分）

故，故，（7分）

设，则，令，（8分）

因为，由题意可知，在区间上有零点，

而，（9分）

设的两根为，，由，得，

故在上有零点，则，（11分）

解得，故实数的取值范围为.（12分）

21.解：（1）依题意，（2分）

解得（舍去），故，

故的方程为.（4分）

（2）设直线，，，

因为原点恰好是的重心，所以，（5分）

所以，（6分）

即，即，（7分）

故，（8分）

联立则，（9分）

故，，，（10分）

代入中可得，，①

设到PQ的距离为d，则，②

由①②解得，故PQ的斜率为.（12分）

22.解：（1）的普通方程为，（2分）

可化为，（3分）

即，故，

即的直角坐标方程为.（5分）

（2）对于，由（1）可知，，

因为的极坐标方程为，得，（6分）

两式的平方和为，整理得，（7分）

设M，N两点所对应的极径分别为，，

则，，（8分）

所以，故，（9分）

故.（10分）

23.解：（1）依题意，，

当时，原式化为，解得，故；（2分）

当时，原式化为恒成立，故；（3分）

当时，原式化为，解得，故.（4分）

故不等式的解集为.（5分）

（2）依题意，，（6分）

而，故，（8分）

故，即，故的取值范围为.（10分）