2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》专项复习(2份，教师版+原卷版)

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如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=eq \f(3,4)x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．
【答案解析】解：（1）如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA=4，
∵OC⊥AB，∴由垂径定理得，OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，
∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），
∵抛物线的定点为C，
∴设抛物线的解析式为y=a(x-8)2，
将点B的坐标代入上解析的式，得64a=﹣4，
故a=，∴，
∴所求抛物线的解析式为：；
（2）在直线l的解析式y=eq \f(3,4)x+4中，令y=0，得eq \f(3,4)x+4=0，解得x=，
∴点D的坐标为（，0），当x=0时，y=4，
∴点A在直线l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中，
∵，，∴，
∵∠AOE=∠DOA=90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO=∠DAO，
∵∠AEO+∠EAO=90°，∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，
因此，直线l与⊙E相切与A；
（3）如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，
交直线l于点M．设M（m，eq \f(3,4)m+4），P（m，），则PM===，
当m=2时，PM取得最小值6.2，此时，P（2，-2.25），对于△PQM，
∵PM⊥x轴，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，
又∠PQM=90°，∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=6.2，
∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，-2.25）时，点P到直线l的距离最小，
其最小距离为6.2．
如图①，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A（，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．


【答案解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），
，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）存在．M1（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），M2（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
（3）存在．如图，设BP交轴y于点G．
∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，
∴当x=2时，m=3．
∴点D的坐标为（2，3）．
把x=0代入y=-x2+2x+3，得y=3．
∴点C的坐标为（0，3）．
∴CD∥x轴，CD = 2．
∵点B（3，0），∴OB=OC=3
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠OBC=∠OCB=45°，
又∵∠PBC=∠DBC，BC=BC，
∴△CGB ≌ △CDB（ASA），∴CG=CD=2．
∴OG=OCCG=1，∴点G的坐标为（0，1）．
设直线BP的解析式为y=kx+1，将B（3，0）代入，得3k+1=0，解得k=- eq \f(1,3)．
∴直线BP的解析式为y=- eq \f(1,3)x+1.
令- eq \f(1,3)x+1=-x2+2x+3．解得x1=-eq \f(2,3)，x2=3．
∵点P是抛物线对称轴x=1左侧的一点，即x