第24讲 导数中的恒成立问题-2022年新高考数学之导数综合讲义

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第24讲 导数中的恒成立问题1．若，恒成立，则整数的最大值为　　A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：恒成立，即恒成立，即的最小值大于，，令，则，在上单调递增，又（2），（3），存在唯一实根，且满足，．当时，，；当时，，，，故整数的最大值为3．故选：．2．已知关于的不等式在恒成立，则整数的最大取值为　　A．3 B．1 C．2 D．0【解析】解：若关于的不等式在恒成立，即在恒成立，令，，，故在递增，而时，，（1），故存在，使得，故，故在递减，在，递增，故，故，故选：．3．已知函数，当时，不等式恒成立，则整数的最大值为　4　．【解析】解：，时，不等式恒成立，亦即对一切恒成立，所以不等式转化为对任意恒成立．设，则，令，则所以在上单调递增．因为（3），（4），所以在上存在唯一实根，且满足，当时，，即；当时，，即．所以函数在上单调递减，在，上单调递增，又，所以．所以，所以故整数的最大值是4．故答案为：4．4．已知函数，当时，不等式恒成立，则整数的最大值为　4　．【解析】解：因为当时，不等式恒成立，即对一切恒成立，亦即对一切恒成立，所以不等式转化为对任意恒成立．设，则，令，则所以在上单调递增．因为（3），（4），所以在上存在唯一实根，且满足，当时，，即；当时，，即．所以函数在上单调递减，在，上单调递增，又，所以．所以，所以故整数的最大值是4．故答案为：45．已知函数，，．（1）若函数，求函数的单调区间；（2）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）由题意得，函数的定义域是，故，令，解得：或（舍，故当时，，递减，当时，，递增，故函数在递减，在递增；（2）对任意，，不等式恒成立对任意，，恒成立对任意，，恒成立，记，则，①当时，，故在，递增，又，故当时，，不合题意；②当时，当时，，，故，故在，上递减，故当时，，符合题意；当时，记，则，显然，在，单调递减，又，，故存在唯一的，使得，故当时，，，在，上单调递增，故当时，，不符合题意，综上：，即实数的取值范围是，．6．已知函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若对任意，有恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）时，，（1），，故（1），故曲线在处的切线方程是，即；（2）由题意得：，令，则，当时，对任意，有，故在，上递减，当时，（1），若，，则在，上，，即在，上，，故在，递减，当时，（1），符合题意，若即，则（1），（e），根据在，上递减，可知存在，，，当时，有，即，故在上递增，有（1），与矛盾，不合题意，当时，，当时，，，于是，与矛盾，不合题意，综上：实数的取值范围是，．7．已知函数，，其中．（1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与的图象的切线，求，的斜率之积；（2）若在区间上恒成立，求的最小值．【解析】解：（1）时，，，设过坐标原点的直线分别切，于点，，，，，，，，且，解得：，；（2）由在上恒成立，得时，，，令，，①当时，左边，右边，显然成立，②当，注意到，在递增，，令，，令，得：时，，递增，当时，，递减，故（1），．8．已知函数，为常数）．（1）当时，证明：对任意，，不等式恒成立；（2）若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】证明：（1）设，，，设，，恒成立，在，上单调递减，，在，上单调递减，（1），对任意，，不等式恒成立．解：（2）对任意，，不等式恒成立，在，恒成立，当时，成立，当时，恒成立，设，，，设，，设，，．易知函数在上单调递减，（1），在上单调递减，（1），在上单调递减，（1），，在上恒成立，在上单调递减，（1），，，．9．已知函数．（1）求的最值；（2）若对恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1），令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，无最大值．（2）由题知，在上恒成立，令，则，因为，所以．设，易知在上单调递增．因为，（1）所以存在，使得，即．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．所以，从而，故的取值范围为，．10．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1），当，，的单调递增区间是；当，当时，，当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）由已知，问题等价于对于任意，不等式恒成立，设，则，设，则，在上，，单调递增，又，（1），所以，所以，使得，即，在上，，单调递减；在上，，单调递增；所以，又有，设，则有和，所以在上，单调递增，所以，所以，所以，故实数的取值范围为，．11．设函数，．（1）求函数在上的值域；（2）当，时，不等式恒成立是的导函数），求实数的取值范围．【解析】解：（1），则，令，解得：，令，解得：，故在，递增，在，递减，故，或，而，故函数在上的值域是，；（2），，当，时，不等式恒成立，即恒成立，即在，上恒成立，设，，，则，设，则，当，时，，，，即在，上单调递增，则，若，则，故在，上单调递增，故恒成立，符合题意，若，则，必存在正实数，满足当时，，单调递减，此时，，符合题意，综上：的取值范围是，．12．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的最小正整数值．【解析】解：（1）由题得，函数的定义域为，，当时，由于在上恒为负数，此时在上单调递减．当时，令，得，令，得．此时，在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）依题意，在上恒成立．令，则，令，则，令，由于，因此在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值．根据恒为负数，知亦恒为负数，因此在上为减函数．而，（2）知，可知在区间上必存在，使得函数满足，且在上单调递增，在，上单调递减．由于，而，故，由，因此，，所以，因此的最小正整数值为1．13．已知函数．（1）求曲线在点，（e）处的切线方程；（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值．【解析】解：（1），所以（e），又（e），所以切线方程为，即．（2）当时，恒成立，可转化为当时，恒成立，设，则，设，，则，因为时，，所以在上单调递增，又因为（3），（4）所以存在唯一的，使得，即，当时，，即，当，时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，故，因为，且，所以整数的最大值为3．14．已知．（1）若时，不等式恒成立，求的取值范围；（2）求证：当时，．【解析】解：（1）不等式恒成立，即恒成立，令，则，当时，对任意，，有，得在，上单调递增，，即满足题意；当时，若，则，在上单调递减，，与矛盾，不合题意．综上所述，；证明：（2）令，，在上单调递增，且（1），（2），存在唯一的，使得，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，，由，得，，，，上式“”不成立，，即．