专题3.1 图形的平移（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）学案

专题3.1  图形的平移（知识讲解）

【学习目标】

1．理解平移的概念，了解图形的平移变换；

2．掌握并平移的要素：平移方向、平移距离

3．掌握图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，

4．应用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.

【要点梳理】

要点一、定义

平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移.

要点二、平移的基本性质：

经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等； 平移变换不改变图形的形状、大小和方向。

 要点诠释：

(1)图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。

(2)图形平移后，对应点连成的线段平行(或在同一直线上)且相等。

(3)多次连续平移相当于一次平移。

(5)平移是由方向和距离决定的。

(6)经过平移，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行(或共线)且相等。

要点三、平移的要素。

平移的要素:确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。

要点四、作图：

平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．

   (1)定：确定平移的方向和距离；

   (2)找：找出表示图形的关键点；

   (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；

   (4)连：按原图形顺次连接对应点．

【典型例题】

类型一、平移及平移概念 

1．如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【点拨】根据平移的概念，观察图形可知图案B通过平移后可以得到．故选B.

【变式】如图，在多边形ABCDEFGH中，AB＝5cm，BC＝8cm，已知图中的角均为直角，则该多边形的周长为（　　）

A．13cm B．26cm C．13cm或26cm D．无法确定

【答案】B

【分析】根据平移得到AH+GF+ED=BC=8cm，HG+FE+DC=AB=5cm，根据多边形的周长公式计算即可．

解：由题意得：AH+GF+ED=BC=8cm，HG+FE+DC=AB=5cm，

∴该多边形的周长=AB+BC+（AH+GF+ED）+（HG+FE+DC）=26cm．

故选B．

【点拨】本题考查了生活中的平移现象，根据平移找出图中的相等线段是解题的关键．

类型二、平移的性质

2．如图，在中，，，将沿方向平移得到，且，．

（1）求线段的长；

（2）求四边形的周长．

【答案】(1)8；(2)31

【分析】（1）根据平移的性质可以得到，然后可以算出AD的长； (2) 根据平移的性质和已知条件得出四边形的各边边长，即可算出四边形的周长．

解：（1）∵沿方向平移得到，

    ∴．

    ∵，，

    ∴．

    ∴．

（2）∵沿方向平移得到，

    ∴，

    ．

    ∴四边形的周长．

【点拨】本题考查平移的性质和应用，熟练把握平移性质并算出平移距离是解题关键．

【变式】如图，D、E分别是AC和AB上的点，AD＝DC＝4，DE＝3，DE∥BC，∠C＝90°，将△ADE沿着AB边向右平移，当点D落在BC上时，平移的距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】根据勾股定理得到，由平行线等分线段定理得到，根据平移的性质即可得到结论．

解：∵∠C＝90°，AD＝DC＝4，DE＝3，

∴AE＝＝5，

∵DE//BC，

∴AE＝BE＝5，

∴当点D落在BC上时，平移的距离为BE＝5．

故选：C．

类型三、平移的作图

3.如图所示，若，按要求回答下列问题：

（1）在图中建立正确的平面直角坐标系．

（2）将向右平移3个单位，再向下平移2个单位得，在图中画出，并写出点坐标．

（3）求的面积．

【答案】（1）图见解析；（2）图见解析，B1(3，-2)；（3）5

【分析】（1）根据点A的坐标即可建立坐标系；（2）根据平移的性质解答；（3）利用割补法求面积．

解答：（1）建立平面直角坐标系如图：

（2）如图，B1(3，-2)；

．

（3）5．

【点拨】此题考查作图能力，根据点坐标确定直角坐标系，确定坐标系中的点坐标，作平移的图形，掌握平移的性质，割补法求网格中图形的面积，综合掌握各部分知识是解题的关键．

【变式】在如图的直角坐标系中，将三角形ABC平移后得到三角形，他们的对应点坐标如下表所示：

（1）观察表中各对应点坐标变化，写出平移规律：________．

（2）在坐标系中画出两个三角形．

（3）求出面积．

解答：（1）由A到A1纵坐标变化为由0到2，说明向上平移2个单位，由B到B1横坐标变化为由3到7说明向右平移4个单位，平移的规律为先向上平移2 个单位，再向右平移4个点位；

故答案为：先向上平移2 个单位，再向右平移4个点位．

（2），，，，

则A、B1、C1三点坐标分别为，，，如图

描点：A、B、C、A1、B1、C1，

连线：顺次连结AB、BC、CA；A1B1、B1C1、C1A1，

结论：则△ABC为原图，△A1B1C1为平移后的图形．

（3），边上的高为，

．

【点拨】本题考查平移规律，画图和三角形面积问题，掌握平移规律发现的方法，画图的步骤与要求，会求钝角三角形的面积是解题关键．

 类型四、平面坐标系中的平移

4．如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD，构成平行四边形ABDC．

（1）请写出点C的坐标为　   　，点D的坐标为　   　，S四边形ABDC　   　；

（2）点Q在y轴上，且S△QAB＝S四边形ABDC，求出点Q的坐标；

（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．

【答案】（1）（0，2），（4，2），8；（2）Q(0，4)或Q(0，﹣4)；（3）∠CPO＝∠DCP+∠BOP，证明见解析

【分析】（1）根据平移直接得到点C，D坐标，用面积公式计算S四边形ABDC即可；（2）设出Q的坐标，OQ＝|m|，用S△QAB＝S四边形ABDC建立方程，解方程即可；（3）作PE∥AB交 y 轴 于 点 E，利用两直线平行，内错角相等即可得出结论．

解：（1）∵线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，

且A（﹣1，0），B（3，0），

∴C（0，2），D（4，2）；

∵AB＝4，OC＝2，

∴S四边形ABDC＝AB×OC＝4×2=8；

故答案为：（0，2）；（4，2）；8；

（2）∵点Q在y轴上，设Q（0，m），

∴OQ＝|m|，

∴S△QAB＝×AB×OQ＝×4×|m|＝2|m|，

∵S四边形ABDC＝8，

∴2|m|＝8，

∴m＝4或m＝﹣4，

∴Q（0，4）或Q（0，﹣4）．

（3）如图，

∵线段CD是线段AB平移得到，

∴CD∥AB，

作PE∥AB交 y 轴 于 点 E，

∴CD∥PE，

∴∠CPE＝∠DCP，

∵PE∥AB，

∴∠OPE＝∠BOP，

∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP，

∴∠CPO＝∠DCP+∠BOP．

【点拨】本题主要考查了线段的平移及平行线的性质，掌握平行线的性质并作出辅助线是解题的关键．

【变式】平面直角坐标系中有点A(m+6n，-1)，B(-2，2n-m)，连接AB，将线段AB先向上平移，再向右平移，得到其对应线段A'B'（点A'和点A对应，点B'和点B对应），两个端点分别为A'(2m+5n，5)，B'(2，m+2n)．分别求出点A'、B'的坐标．

【答案】，

【分析】根据点的平移规律：横坐标，右加左减；纵坐标，上加下减．据此可以求出平移后点的表示，列方程即可求出m、n，得出点A'、B'的坐标．

解：由题意得

解得，

即：、．

【点拨】本题的重点在于掌握点在坐标系中平移的规律，与一次函数图像的平移规律有出入，不要记混．

类型五、平移的综合应用

5、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到对应点C，D，连接AC，BD．

（1）求出点C，D的坐标；

（2）设y轴上一点P（0，m），m为整数，使关于x，y的二元一次方程组有正整数解，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，若Q点在线段CD上，横坐标为n，△PBQ的面积S△PBQ的值不小于0.6且不大于4，求n的取值范围．

【答案】（1）C（0，2），D（4，2）；（2）P（0，﹣4）；（3）2.5≤n≤4．

【分析】

（1）根据平移规律，直接得出点C，D的坐标；

（2）求出x＝.可得m的取值为﹣4，则P点坐标可求出；

（3）过点P作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线交CD于点F，两平行直线交于点E，求出S四边形PEFC＝3×6＝18.可用n表示出△PBQ的面积，解不等式组可得出答案.

【详解】

解：（1）∵点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到对应点C，D，

∴C（0，2），D（4，2）；

（2），

∴①+②得：

x＝.

∵x为正整数，

∴m＜﹣3.

∴m＝﹣4时，方程组的正整数解是，

∴P（0，﹣4）；

（3）过点P作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线交CD于点F，两平行直线交于点E，

∵S四边形PEFC＝3×6＝18.

S四边形PEFC＝+×3×4+×2×(3﹣n).

∴3n+S△PBQ+6+3﹣n＝18.

∴S△PBQ＝9﹣2n.

∵S△PBQ的值不小于0.6且不大于4，

∴0.6≤9﹣2n≤4.

解得2.5≤n≤4.2.

又∵Q点在线段CD上，

∴0≤n≤4，

∴n的取值范围是2.5≤n≤4.

【点拨】本题考查了平移的性质，坐标与图形的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，三角形的面积等知识，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键.