初中数学1 等腰三角形同步训练题

第一单元

           第1课时等腰三角形

一、基础巩固

1. 等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（　　）

A．40°，40°    B．80°，20°

C．50°，50°     D．50°，50°或80°，20°

【答案】D；

【解析】解：∵外角等于100°，

∴这个内角为80°，

当这个80°角为顶角时，则底角为=50°，此时另两个内角的度数分别为50°，50°；

当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°；

故选D．

2. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（      ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　A. 4个 　　　B. 3个 　　　C. 2个　　　 D. 1个

【答案】B；

3. 已知实数x，y满足|x−4|+(y−8)2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）

A．20或16 B．20         C．16 D．以上答案均不对

【答案】B；

【解析】根据题意得
,

解得

.
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．

4. 如图，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若，则度数是（     ）              

A．60°       B．70°       C．80°     D．不确定  

【答案】C；

【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，＝180°－50°－50°＝80°

5.在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）

A．1个     B．2个      C．3个      D．4个

【答案】D；

【解析】解：如图，

∵以点O为圆心，以OA为半径画弧，交x轴于点B、C；

以点A为圆心，以AO为半径画弧，交x轴于一点D（点O除外），

∴以OA为腰的等腰三角形有3个；

作OA的垂直平分线，交x轴于一点，

∴以OA为底的等腰三角形有1个，

综上所述，符合条件的点P共有4个，

故选：D．

6．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于(    )．

A．30°       B．36°       C．45°       D．54°

【答案】C；

【解析】设∠A＝，则由题意∠ADE＝180°－2，∠EDB＝，∠BDC＝∠BCD＝90°－，因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以＝45°.

7. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有(      )

   ①△BDF，△CEF都是等腰三角形；    ②DE＝DB＋CE；

③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；             ④BF＝CF.
A．1个 B．2个  C．3个 D．4个

【答案】C ；

【解析】①②③正确.

8. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（　　）

A．顶角的一半 B．底角的一半   C．90°减去顶角的一半 D．90°减去底角的一半

【答案】A；

【解析】解：△ABC中，∵AB=AC，BD是高，
∴∠ABC=∠C=
在Rt△BDC中，∠CBD=90°-∠C=90°-=.
故选A．

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（　　）

A．cm     B．2cm     C．3cm    D．4cm

【答案】C；

【解析】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，

∴AE=2ED，

∵AE=6cm，

∴ED=3cm，

∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，

∴ED=CE，

∴CE=3cm；

故选：C．

10. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　）

A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7

【答案】D;

【解析】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3；
∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
∴AB=6，
∴AP的长不能大于6．
故选D．

二、填空题

11.等腰三角形的两边长分别是2和5，那么它的周长是　    　．

【答案】12；

【解析】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、5，

∵2+2=4＜5，

∴不能组成三角形，

②2是底边长时，三角形的三边分别为2、5、5，

能组成三角形，

周长=2+5+5=12，

综上所述，它的周长是12．

故答案为：12．

12.等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是            .

【答案】70°或40°；　

【解析】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；

（2）当70°为底角时，顶角=180°-2×70°=40°．

故答案为：70°或40°.

13.如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形的是　_________　．（把所有正确答案的序号都填写在横线上）

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

【答案】②③④；

【解析】：②当∠BAD=∠CAD时，

∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；

则△ABD≌△ACD，

∴△BAC是等腰三角形；

③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；

∵AB+BD=CD+AC，

∴DE=DF，又AD⊥BC；

∴△AEF是等腰三角形；

∴∠E=∠F；

∵AB=BE，

∴∠ABC=2∠E；

同理，得∠ACB=2∠F；

∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；

④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：

AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，

即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；

∵AB﹣BD=AC﹣CD，

∴AB+BD=AC+CD；

∴两式相加得，

2AB=2AC；

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形

故填②③④．

14.如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为            .

【答案】8；

【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC．
∵AB+AC+BC=32，
即AB+BD+CD+AC=32，
∴AC+DC=16
∴AC+DC+AD=24
∴AD=8．
故填8．

三、解答题

15. 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．

【解析】

证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则它们大于或者等于90°；

      根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或者等于180°；

      则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾；

      所以假设错误，原命题正确；

      即等腰三角形的底角是锐角．

16.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

【解析】

解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm

∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．

∵∠C=90°，

∴有勾股定理得PB=2cm

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2=（16+2）cm；

（2）若P在边AC上时，BC=CP=6cm，

此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；

若P在AB边上时，有两种情况：

①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，

所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；

②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，

根据勾股定理求得BP=7.2cm，

所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，

∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；

③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．

∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；

（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴8﹣t+16﹣2t=12，

∴t=4；

当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t﹣8+2t﹣16=12，

∴t=12，

∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．