考点08 平面直角坐标系与一次函数-2022年中考数学高频考点专题突破（全国通用）（解析版）

考点8.平面直角坐标系与一次函数
知识框架：


基础知识点：
知识点1-1平面直角坐标系
1）有序实数对
（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．
2）平面直角坐标系中点的坐标特征
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
第一象限
﹢
+
第二象限
-
+
第三象限
-
-
第四象限
+
-
x轴上
正半轴上
+
0
负半轴上
-
0
y轴上
正半轴上
0
+
负半轴上
0
-
原点
0
0
知识点1-2 坐标的平移对称旋转
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标（-x，y）．
（2）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．
（3）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P′（y，-x）；
（4）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）；
（5）点P（x，y）向右（左）平移a个单位，其坐标变为P′（xa，y）；
（6）点P（x，y）向上（下）平移b个单位，其坐标变为P′（x，y±b）；
知识点1-3 函数的相关概念
1）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。
注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。
2）函数的三种表示方法
函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
函数的三种表示方法的优缺点：⑴列表法：对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。
⑵关系式法：全面、准确，但较抽象。⑶图象法：直观、形象、规律明显，但不精确。
3）函数的自变量的取值范围
（1）自变量的取值范围
整式：自变量取一切实数；分式：分母不为零；偶次方根：被开方数为非负数；零指数与负整数指数幂：底数不为零；在实际问题中：自变量的取值范围必须保证每个量都有意义。
（2）函数值：自变量中每个x所对的y的值，即为函数值。
4） 函数的图像及画法
1）函数的图像：对于一个函数，把自变量与应变量的值分别作为点的横坐标、纵坐标，坐标平面内由这些点组成的图形。 如：某天气温随时间的变化
2）已知函数解析式，绘制函数图像步骤：①确定自变量的取值范围；②列表：列出若干自变量与对应应变量的值；③描点：在坐标轴上对应点描点；④连线：平滑曲线依次连接。
知识点1-4 一次函数与正比例函数的概念
1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。
特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。
2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。
3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。
知识点1-5一次（正比例）函数的图象与性质
1）一次函数图象是一条直线；2）已知两点可作图，可求出解析式；
3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（–，0）；
4）过象限、增减性
　
（过一、二象限）
（过三、四象限）
（过原点）

（过一、三象限）
随的增大而增大



经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限

（过二、四象限）
随的增大而减小



经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应的纵坐标的大小，就是函数图象上的点的位置的高低。
6）一次函数的平移与位置关系
1）与的位置关系：两直线平行且 两直线垂直
2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。
重难点题型
题型1 有序数对与位置的确定
【解题技巧】有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等．
1．（2020·湖北宜昌·中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．

A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
【答案】B
【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．
【解析】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；
B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；
D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．
【点睛】本题考查了位置的确定，根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．
2．（2019·浙江义乌·中考真题）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（ ）

A．在南偏东75º方向处 B．在5km处
C．在南偏东15º方向5km处 D．在南偏东75º方向5km处
【答案】D
【分析】根据方向角的定义解答即可．
【解析】观察图形可得，目标A在南偏东75°方向5km处，故选D．
【点睛】本题考查了方向角的定义，正确理解方向角的意义是解题关键．
3．（2019·甘肃武威·中考真题）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于点__________．

【答案】
【分析】直接利用“帅”位于点，可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标．
【解析】解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于．
故答案为．
【点睛】本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．
4．（2020·浙江金华市·九年级其他模拟）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小艇A、B的位置描述，正确的是（　　）

A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3km B．游船在的小艇A北偏东60°，且距游船3km
C．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2km D．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km
【答案】D
【分析】利用方向角的表示方法对各选项进行判断．
【详解】小艇A在游船的北偏东30°，且距游船3km；小艇B在游船的北偏西60°，且距游船2km；
游船在小艇A的南偏西30°，且距游船3km；小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km．故选：D．
【点睛】本题考查了坐标确定位置：是熟练掌握平面内特殊位置的点的坐标特征．理解方向角的表示方法．
5．（2020·北京海淀区·九年级二模）共享单车提供了便捷、环保的出行方式．小白同学在北京植物园打开某共享单车APP，如图，“”为小白同学的位置，“★”为检索到的共享单车停放点．为了到达距离最近的共享单车停放点，下列四个区域中，小白同学应该前往的是（　　）

A．F6 B．E6 C．D5 D．F7
【答案】A
【解析】根据图和有序实数对表示位置的方法可得与小白同学距离最近距离最近F6；故答案为A.
6．（2020·河北海港区·中考模拟）如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（ ）

A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
【答案】A
【解析】因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如下图，O1符合．

考点：平面直角坐标系．
7．（2020·山东威海·中考真题）如图①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．

【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．
【解析】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．
题型2 点的坐标特征
【解题技巧】（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等．（3）点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为．
1．（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可.
【解析】设点M的坐标为（x，y），
∵点M到x轴的距离为4，∴，∴，
∵点M到y轴的距离为5，∴，∴，
∵点M在第四象限内，∴x=5，y=-4，即点M的坐标为（5，-4）故选：D.
【点睛】此题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点.
2．（2020·湖南邵阳·中考真题）已知，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，得出，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案．
【解析】∵ ∴
选项A：在第一象限;选项B：在第二象限;选项C：在第三象限;选项D：在第四象限.小手盖住的点位于第二象限,故选：B
【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行正负的判断是解题的关键．
3．（2020·湖北黄冈·中考真题）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据点在第三象限，可得，，进而判定出点B横纵坐标的正负，即可解决．
【解析】解：∵点在第三象限，∴，，∴，∴，∴点B在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握点的坐标特征．
4．（2020·湖南株洲·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则a的取值可以是（ ）
A．1 B． C． D．4或-4
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数即可判断．
【解析】解：∵点是第二象限内的点，∴，四个选项中符合题意的数是，故选：B
【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
5．（2020·重庆中考真题）现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为__________．
【答案】
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，
所以点P（m，n）在第二象限的概率＝．故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．
6．（2020·浙江金华·中考真题）点P(m，2)在第二象限内，则m的值可以是(写出一个即可)______．
【答案】－1（答案不唯一，负数即可）
【分析】根据第二象限的点符号是“-，+”，m取负数即可．
【解析】∵点P(m，2)在第二象限内，∴，m取负数即可，如m=-1，
故答案为：－1（答案不唯一，负数即可）．
【点睛】本题考查了已知点所在象限求参数，属于基础题，掌握第二象限点坐标的符号是“-，+”是解题的关键．
7．（2020·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．

【答案】A
【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【解析】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，
则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2)．故选A．

【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．

题型3 坐标的变化（对称、旋转、平移）
【解题技巧】1)一般地，点P与点P1关于x轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数；点P与点P2关于y轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，点P与点P3关于原点对称，则横、纵坐标分别互为相反数，简单记为“关于谁谁不变，关于原点都改变”．
2)图形的平移性质：①平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动；②连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
3)图形的旋转性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等；④图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度和方向决定．
1．（2020·四川广安市·中考真题）在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab=________．
【答案】12
【分析】根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即求出a和b的值，从而求出结论．
【详解】解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，∴a=-6，b=-2∴ab=12故答案为：12．
【点睛】此题考查的是根据两点关于原点对称，求参数的值，掌握关于原点对称两点坐标关系是解题关键．
2．（2020·四川雅安·中考模拟）在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），P点关于x轴的对称点为P2（a、b），则=（ ）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【答案】A
【解析】∵P点关于原点的对称点为P1（﹣3，﹣），∴P（3，），
∵P点关于x轴的对称点为P2（a，b），∴P2（3，﹣），∴．故选A．
考点：1、关于原点对称的点的坐标；2、立方根；3、关于x轴、y轴对称的点的坐标．
3．（2021·青海西宁·中考模拟）在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】点A（﹣1，﹣2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，﹣2），即（2，﹣2），
则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2），故选B．
考点：1.关于x轴、y轴对称的点的坐标；2.坐标与图形变化﹣平移．
4．（2020·柳州市柳林中学中考真题）点A的坐标是（2，﹣3），将点A向上平移4个单位长度得到点A'，则点A'的坐标为_____．
【答案】（2，1）．
【分析】将点A的纵坐标加4，横坐标不变，即可得出点A′的坐标．
【详解】解：将点A（2，﹣3）向上平移4个单位得到点A′，
则点A′的坐标是（2，﹣3+4），即（2，1）．故答案为（2，1）．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
5．（2020·山西九年级期中）如图，将一个含角的直角三角尺AOB放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知，，点D为斜边AB的中点，现将三角尺AOB绕点O顺时针旋转，则点D的对应点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理分别求出OB、OA的长，再根据旋转的性质可得的长，从而可得点的坐标，然后根据中点坐标公式即可得．
【详解】在中，，，，
由旋转的性质得：，点为斜边的中点，
将三角尺AOB绕点O顺时针旋转，
点A的对应点落在x轴正半轴上，点B的对应点落在y轴负半轴上，，
又点为斜边的中点，，即，故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、中点坐标公式，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
6．（2020·广东广州·中考真题）如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为_______．

【答案】(4，3)
【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到，求出BD即可得到答案.
【解析】过点A作AH⊥x轴于点H，∵A（1,3），∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC=BD，
∵，∴BD=3，∴AC=3，∴C(4，3) 故答案为：(4，3).

【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的关系.
7．（2020·广东实验中学附属天河学校九年级期中）如图，的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）.

（1）画出关于点O成中心对称的图形；（2）①画出绕原点O逆时针旋转的； ②直接写出点的坐标为_________.
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）（-2，2）．
【分析】（1）根据中心对称的定义画图即可，（2）根据旋转的定义和要求糊涂即可，
（3）根据所作图，在第二象限，横坐标为-2，纵坐标为2，写出坐标即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）由图可知，C2的坐标为（-2，2）．
【点睛】本题考查利用变换作图与点的坐标问题，掌握中心对称的特征，与旋转对称的性质，抓住关建点，中心和方向是解题关键．
题型4 坐标系中的动点和探究规律问题
【解题技巧】1）．动点问题多数情况下会与分类讨论的数学思想及方程、函数思想结合起来进行．
2）．把动点产生的线段长用时间变量t表示出来以后，动点问题就“静态化”处理了．
3）探究规律这类问题通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．
1．（2021·山东菏泽·中考模拟）如图，矩形的顶点的坐标为，是的中点，是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，画出A点关于y轴的对称点A＇,连接A＇D,与y轴交于点E,根据连接两点的连线中，线段最短，可知此时的周长最小，再由A,可得A＇（4,5），因D(-2，0)，即可求得直线DE表达式是，所以点的坐标是，故选B.

2．（2020·山东东营·中考模拟）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为_____．
【答案】（﹣，0）
分析：要使得MB-MA的值最大，只需取其中一点关于x轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求．
【解析】取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．
设直线AB′解析式为：y=kx+b 把点A（-1，-1）B′（2，-7）代入
解得∴直线AB′为：y=-2x-3，
当y=0时，x=-∴M坐标为（-，0）故答案为：（-，0）
点睛：本题考查轴对称-最短路线问题、坐标与图象变换，解答本题的关键是明确题意，利用三角形两边之差小于第三边和一次函数的性质解答．
3．（2020·福建永定区·九年级期中）如图，直角坐标系中两点，P为线段上一动点，作点B关于射线的对称点C，连接，则线段的最小值为（ ）

A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】如图，当C位于y轴上时，AC取最小值，通过对称证明，进而求得AC的最小值.
【详解】解：如图，当C位于y轴上时，AC取最小值，
∵C是B关于射线的对称点，∴，，
又∵∴，∴∴，故答案为A.

【点睛】本题考查坐标系与图像的性质、三角形全等与轴对称的综合应用，找到AC取最小值的位置是解题的关键.
4．（2019·山东菏泽·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第次移动到点，则点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【解析】，，，，，，…，，
所以的坐标为，则的坐标是，故选C．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
5．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是_____．

【答案】22020
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【解析】∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），∴第3个等腰直角三角形的边长为10−6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，…
则第2020个等腰直角三角形的面积是；故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
6．（2020·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角钱OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3……以此类推，则正方形OB2020B2021C2021的顶点B2021的坐标是________．

【答案】（-21011，-21011）
【分析】首先先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2021的坐标．
【详解】解：∵正方形OA1B1C1的边长为2，∴OB1=2，点B1的坐标为（2，2）
∴OB2=2×=4 ∴B2（0，4），同理可知B3（-4，4），B4（-8，0），B5（-8，-8），B6（0，-16），B7（16，-16），B8（32，0），B9（32，32），B10（0，64）．
由规律可以发现，点B1在第一象限角平分线上、B2在y轴正半轴上、B3在第二象限角平分线上、B4在x轴负半轴上、B5在第三象限角平分线上、B6在y轴负半轴上、B7在第四象限角平分线上、B8在x轴正半轴上、B9在第一象限角平分线上、B10在y轴正半轴上，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2021÷8=252⋯⋯5，
∴B2021和B5都在第三象限角平分线上，且OB2021=2×=2×21010×=21011×
∴点B2021到x轴和y轴的距离都为21011×÷=21011．
∴B2021（-21011，-21011）故答案为：（-21011，-21011）．
【点睛】此题考查的是一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定几个点坐标为一个循环，再确定规律即可．
7．（2020·河北九年级期末）如图在平面直角坐标系中，若干个半径为个单位长度、圆心角为的扇形组成一条连续的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位，在弧线上的速度为每秒个单位长度，则秒时，点的坐标是_______；秒时，点的坐标是_______．

【答案】
【分析】设第n秒时P的位置为Pn， P5可直接求出，根据点的运动规律找出规律，每4秒回x轴，P4n(4n，0)，由2019=504×4+3，回到在P3的位置上，过P3作P3B⊥x轴于B，则OB=3，P3B=，P3（3，-），当t=2019时，OP2019=OP2016+OB，此时P2019点纵坐标与P3纵坐标相同，即可求．
【详解】设n秒时P的位置为Pn，过P5作P5A⊥x轴于A， OP4=OP2+P2P4=4，P4（4，0），当t=5时，由扇形知P4P5=2，OP4=4，在Rt△P4P5A中，∠P5P4A=60º，则∠P4P5A=90º-∠P5P4A=60º =30º，P4A=P4P5=1，
由勾股定理得PA=，OA=OP4+AP4=5，由点P在第一象限，P（5，），

通过图形中每秒后P的位置发现，每4秒一循环，2019=504×4+3，回到相对在P3的位置上，过P3作P3B⊥x轴于B，则OB=3，P3B=，由P3在第四象限，则P3（3，-），当t=2019时，OP2019=OP2016+OB=4×504+3=2019，P2019点纵坐标与P3纵坐标相同，此时P2019坐标为（2019，- ），秒时，点的坐标是（2019，- ）．
故答案为：（5，），（2019，- ）．
【点睛】本题考查规律中点P的坐标问题关键读懂题中的含义，利用点运动的速度，考查直线与弧线的时间，发现都用1秒，而每4秒就回到x轴上，由此发现规律便可解决问题．
题型5函数的自变量取值范围和函数值
1．（2019·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】让二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0列式求得相应的取值范围即可．
【解析】由题意得，，，解得，且，故选D．
【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握其定义
2．（2021·广西百色·中考模拟）已知函数y＝ 当x＝2时，函数值y为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】先判断出x=2时，所符合的关系式，然后将x=2代入对应的函数关系式即可．∵x=2＞0，∴y=2x+1=2×2+1=5．故答案为5．
考点：函数值．
3．（2020·四川甘孜·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解析】解：由题意，得x+3≠0，解得x≠-3．故选：C．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4．（2020·上海中考真题）已知f(x)=，那么f(3)的值是____．
【答案】1．
【分析】根据f(x)=，将代入即可求解．
【解析】解：由题意得：f(x)=，∴将代替表达式中的，∴f(3)==1．故答案为：1．
【点睛】本题考查函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．
5．（2020·黑龙江穆棱·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是_______．
【答案】
【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可．
【解析】解：函数中：，解得：．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握二次根式和分式有意义的条件是解题关键．
6．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_____________________．
【答案】x≠7．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解析】解：由有意义，得x-7≠0，解得x≠7，故答案为：x≠7．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
7．（202-·重庆中考模拟）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（　　）

A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7
【答案】C
【分析】先求出x=7时y的值，再将x=4、y=-1代入y=2x+b可得答案．
【解析】∵当x=7时，y=6-7=-1，∴当x=4时，y=2×4+b=-1，解得：b=-9，故选C．
【点睛】本题主要考查函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．

题型6 函数的图象与实际应用问题
【解题技巧】1）用图象解决问题时，要理清图象的含义，即会识图。
2）在实际问题中，要注意图象与横轴(x轴)、纵轴(y轴)的交点所代表的具体意义。
1．（2020·四川攀枝花·中考真题）甲、乙两地之间是一条直路，在全民健身活动中，赵明阳跑步从甲地往乙地，王浩月骑自行车从乙地往甲地，两人同时出发，王浩月先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，下列说法中错误的是（ ）．

A．两人出发1小时后相遇 B．赵明阳跑步的速度为
C．王浩月到达目的地时两人相距 D．王浩月比赵明阳提前到目的地
【答案】C
【分析】根据图像可得两地之间的距离，再分别算出两人的行进速度，据此可得各项数据进而判断各选项.
【解析】解：由图可知：当时间为0h时，两人相距24km，甲乙两地相距24km，
当时间为1h时，甲乙两人之间距离为0，即此时两人相遇，故A正确；
∵24÷1=24，可得两人的速度和为24km/h，由于王浩月先到达目的地，故赵明阳全程用了3h，
∴赵明阳的速度为24÷3=8km/h，故B正确；可知王浩月的速度为24-8=16km/h，
∴王浩月到达目的地时，用了24÷16=h，此时赵明阳行进的路程为：×8=12km，
即此时两人相距12km，故C错误；赵明阳到达目的地时，用了3h，则3-==1.5h，
∴王浩月比赵明阳提前1.5h到目的地，故D正确.故选C.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题时要充分理解题意，读懂函数图像的意义.
2．（2020·湖北黄冈·中考真题）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平，自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液霱求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销．下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间（天）之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】正确理解函数图象与实际问题的关系，题目中的脱销时库存量为0．
【详解】根据题意：一开始销售量与生产量持平，此时图象为平行于x轴的线段，
当下列猛增是库存随着时间的增加而减小，时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．故选：D．
【点睛】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
3．（2020·湖北恩施·中考真题）甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）．

A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为
C．乙车比甲车先到城 D．乙车比甲车先出发
【答案】D
【分析】根据图象逐项分析判断即可．
【解析】由图象知：A．甲车的平均速度为=，故此选项正确；
B．乙车的平均速度为，故此选项正确；
C．甲10时到达B城，乙9时到达B城，所以乙比甲先到B城，故此选项正确；
D．甲5时出发，乙6时出发，所以乙比甲晚出发1h，故此选项错误，故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
4．（2020·浙江省绍兴市锡麟中学月考）如图，在四边形中，，，，，．动点M，N同时从点A出发，点M以的速度沿向终点B运动，点N以的速度沿折线向终点C运动．设点N的运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出AB=cm，可知M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒.分三种情况讨论:(1)当N在AD上时,即0＜t≤2,画出图形求解; (2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3, 画出图形求解; (3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5, 画出图形求解.即可选出正确答案.
【解析】解: ∠A=45°，CD=3cm，AB==cm,
∴M由A到B需3秒,N由A到D需2秒,到C需3.5秒,下面分三种情况讨论:
(1)当N在AD上时,即0＜t≤2,如图1,

作ME⊥AD于E,可知AN=2t,AM=,∴EM=t,∴
故此段图像是一条开口向上的抛物线;
(2) 当N在CD上且M没到达B时,即2＜t＜3,如图2,

作MF⊥CD于F,延长AB与DC的延长线交于O,可知DN=2t-4,AM=,OD=4,OA= ,
∴ON=4-DN=8-2t,OM=,∴MF=4- t,∴,
,,
∴,故此段图像是一条开口向下的抛物线;
(3)当N在CD上且M与B重合时,即3≤t≤3.5,如图3,

可知BC=1,DN=2t-4,∴CN=3-DN=7-2t ,∴,
,,
∴,故此段图像是一条呈下降趋势的线段;综上所述,答案是B.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式．
5．（2020·四川雅安·中考真题）已知，等边三角形和正方形的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点共线，沿方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为，运动过程中两图形重叠部分的面积为，则下面能大致反映与之间关系的函数图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分点C在EF中点的左侧、点C在EF中点的右侧、点C在F点右侧且B在EF中点的左侧，点C在F点右侧且B在EF中点的右侧四种情况，分别求出函数的表达式即可求解．
【解析】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，运动速度为1，
当点C在EF的中点左侧时，

设AC交DE于点H，则CE=t，HE=ECtan∠ACB=t×=t，
则S=S△CEH=×CE×HE=×t×t=，可知图象为开口向上的二次函数，
当点C在EF的中点右侧时，设AB与DE 交于点M，
则EC=t，BE=a-t，ME=，
∴S=，可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的左侧时，
S=，可知图象为开口向下的二次函数；
当点C在F点右侧且B在EF中点的右侧时，此时BF=2a-t，MF=，

∴，可知图象为开口向上的二次函数；故选：A
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
6．（2020·贵州铜仁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【解析】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，
当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．

【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在中，，，于点G，点D为BC边上一动点，交射线CA于点E，作关于DE的轴对称图形得到，设CD的长为x，与重合部分的面积为y．下列图象中，能反映点D从点C向点B运动过程中，y与x的函数关系的是（　　）

A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质可得，由与关于DE对称，即可求出当点F与G重合时x的值，再根据分段函数解题即可．
【解析】解：，，，
与关于DE对称，．当点F与G重合时，，即，，当点F与点B重合时，，即，，如图1，当时，，∴B选项错误；

如图2，当时，，∴选项D错误；
如图3，当时，，∴选项C错误．故选A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象问题，根据几何知识求出函数解析式是解题的关键．

题型7 一次（正比例）函数的过象限问题
【解题技巧】
函数
字母取值
经过的象限
y=kx+b(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
k>0，b0，b=0
一、三
y=kx+b(k≠0)
k0
一、二、四
k0，b