第五讲 函数的单调性和最值-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

第五讲 函数的单调性和最值

【基础知识】

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.

2.函数的最值

【考点剖析】

考点一　确定函数的单调性(区间)

【典例1-1】（2021·陕西高三其他模拟（理））已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则下列不等式错误的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

根据题意可得函数在上为增函数，

由可得，

对A，由在上为增函数，且，

所以，故A正确；

对B，由，，故B正确；

对C，由函数在上为增函数，所以，故C正确；

对D，由函数在上为增函数，所以，故D错误.

故选：D

【典例1-2】（2021·云南丽江市·高一期末）定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

义在R上的偶函数在上单调递增，且，

所以在上单调递减，且，

或，

故或，

故选：C

【跟踪训练1】（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

因为，

所以或，

因为在上单调递增，且，

所以，

因为在上为奇函数，

所以在上单调递增，且，

因此，

综上：不等式的解集为.

故选：C.

【跟踪训练2】（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于A，为上的减函数，不合题意，舍.

对于B，为上的减函数，不合题意，舍.

对于C，在为减函数，不合题意，舍.

对于D，为上的增函数，符合题意，

故选：D.

【跟踪训练3】（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

易得函数在R上单调递增，

则由可得，解得，

故不等式的解集为.

故选：A．

考点二  求函数的最值　

【典例2-1】（2021·江苏高三专题练习）函数（，且）在上最大值与最小值的差为2，则（    ）

A．或2 B．2 C． D．

【答案】B

【详解】

根据题意，，且，由的单调性，可知其在上是单调递增函数或单调递减函数，总是在和2时，取得两个最值，即，即或

当方程成立，即，判别式，该方程无实数解；

当方程成立，即，解得（舍去），

故选：B．

【典例2-2】（2020·上海高三一模）设，，若，则的（    ）

A．最小值为8 B．最大值为8

C．最小值为2 D．最大值为2

【答案】A

【详解】

因为，，所以，

因为，所以，，

则，

故当时，最小，，

故选：A.

【跟踪训练1】（2020·全国高三专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a=（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【详解】

由得，故函数的定义域为 ，

易知函数在上单调递增，

所以，

解得

故选：B.

【跟踪训练2】（2020·广东揭阳市·高三期中）已知幂函数f(x)＝xa的图象过点(3，)，则函数g(x)＝(2x－1)f(x)在区间[，2]上的最小值是（    ）

A．－1 B．0 C．－2 D．

【答案】A

【详解】

由题设，

故在上单调递增，

则当时取最小值，

故选：A

【跟踪训练3】（2020·河北邢台市·高三其他模拟（理））函数在上的最大值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】

函数，

函数在区间上是增函数，

所以函数的最大值为：.

考点三  函数单调性的应用

【典例3-1】（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数，且，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：令，则，

∵，

∴，

∵，

∴是R上的奇函数，

∴可化为，

又∵，

所以在R上是减函数，

∴，解得，，

故选：A．

【典例3-2】（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数，若，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【详解】

解：是上的减函数，是上的减函数，

是上的减函数，

，，，

，

．

故选：．

【跟踪训练1】（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，

则，

因为任意满足，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故等价于，解得.

故选：D

【跟踪训练2】（2021·山西运城市·高三二模（理））下列函数中，图象关于原点对称且在定义域上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

A选项中，，则函数是单调递减函数，不符合题意；B选项中，定义域为不关于原点对称，不符合题意；C选项中，因为，所以函数是偶函数，图象关于轴对称，不符合题意；D选项中，函数，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，又因为，由复合函数同增异减可判断其在定义域上单调递增，满足题意.

故选：D．

【跟踪训练3】（2021·浙江高三专题练习）设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，若不等式的解集为，则在上的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为是上的奇函数，

所以由得，

又因为在上单调递减，所以，解得，

即.

因为在单调递增，

所以在上的最小值为.

【真题演练】

1．（2020·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

2．（2021·北京高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，

比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，

故选：A.

3．（2020·全国高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+，则（）

A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称

C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称

【答案】D

【详解】

可以为负，所以A错；

关于原点对称；

故B错；

关于直线对称，故C错，D对

4．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于A，为上的减函数，不合题意，舍.

对于B，为上的减函数，不合题意，舍.

对于C，在为减函数，不合题意，舍.

对于D，为上的增函数，符合题意，

故选：D.

5．（2012·上海高考真题（理））已知函数（a为常数）.若在区间[1,+∞)上是增函数，则a的取值范围是________.

【答案】(-∞, 1]

【详解】

令，则，由于底数，故增且增，

由的图象知在[,+∞)上递增,

所以在区间[1,+∞)上是增函数时，a≤1. 则a的取值范围是(-∞, 1].

 【过关检测】

1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：函数的图像的对称轴为，

因为函数在区间上单调递增，

所以，解得，

所以的取值范围为，

故选：D

2．设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：为定义在上的奇函数，

因为当时，，

所以，

故，在，上单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，

因为，所以，

由不等式可得，，解可得，，

故解集为

故选：．

3．已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数m的取值范围是（    ）

A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[，+∞） D．（﹣∞，]

【答案】D

【详解】

解：设，由题意可知函数为偶函数，并且在[0，+∞）单调递增，

由，得，即，

所以，

因为在[0，+∞）单调递增，

所以，两边平方得，

解得，

所以实数m的取值范围是（﹣∞，]，

故选：D

4．已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

因为偶函数y=f(x)在区间(﹣∞，0]上是减函数，

所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，

对于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）<f（3）=f(﹣3)，故A错误；

对于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B错误；

对于C､D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）<f（2），故C错误，D正确.

故选：D.

5．已知函数，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，

所以，即为偶函数，

当时，单调递增，且，

可得，即，

所以，即.

所以，解得.

故选：D.

6．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

根据题意可知，

可转化为，

所以在[0，+∞)上是增函数，又，

所以为奇函数，所以在R上为增函数，

因为，，

所以，

所以，

解得，

即x的取值范围是.

7．已知函数，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

显然，函数是定义域为的偶函数.

当时，，所以是减函数，且；

所以当时，是增函数，且.

因此，当或时，；当时，.

所以，或

或

或.

故的解集为.

8．设二次函数，若存在实数，对任意，使得不等式成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意，对于任意，都有成立，

所以即对于任意恒成立，

所以只需的最大值与最小值的差小于2即可，

当时，在上单调递减，

则，解得，不合题意；

当时，在上单调递增，

则，所以；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

则，所以，

综上，.

故选：D.

9．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，均有，则实数的最大值是（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】B

【详解】

因为时，为单调递减函数，

又因为函数为偶函数，

所以当时，为单调递增函数，

所以,

则，即，

由区间的定义可知，即，

由于最大值为，故显然不恒成立；

若，所以，

即，所以，解得 ，

故b的最大值为.

故选：B

10．已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则（    ）

A．3 B． C．1 D．2

【答案】D

【详解】

解：由题意知，得，整理得，所以，所以，，

令，则．易知在上是增函数，所以．

因为在上的最小值是1，所以在上的最小值是1，

当时，，解得或（舍去）；

当时，，不合题意，舍去．

综上，，

故选：D．

11．已知函数，且．

（1）求的值；

（2）试判断函数在上的单调性，并给予证明；

（3）求函数在的最大值和最小值．

【详解】

解：（1）因为，且，

所以，解得，

（2）函数在上为减函数，证明如下：

任取，且，则

因为，且，所以，，

所以，即，

所以函数在上为减函数，

（3）由（2）可知在上为减函数，

所以当时，函数取得最大值，即，

当时，函数取得最小值，即

12．已知函数

（1）用定义证明在(0，2)内单调递减；

（2）证明在区间存在两个不同的零点，且

【详解】

（1）证明：任取且

则

，又

即

所以函数在(0，2)上单调递减.

（2）证明：由（1）利用定义法可证函数在上单调递增；

又

，

分别在内有零点，

即有两个零点，记为，

且