专题07 1.3.2 奇偶性-2021-2022学年高一数学课时同步练(人教A版必修1)

第一章  集合与函数概念

1.3.2奇偶性

一、基础巩固

1．函数的图象关于

A．轴对称 B．直线对称 C．直线对称 D．坐标原点对称

【答案】D

【解析】函数的定义域为，，，

则，

则函数是奇函数，

则函数的图象关于坐标原点对称，

故选D．

2．已知函数的定义域为，满足，当时，，则等于

A． B．0.5 C． D．1.5

【答案】B

【解析】函数的定义域为，满足，，

故函数的周期等于4．

又当时，，故，

故选B．

3．设偶函数对任意，都有，且当，时，，则　　

A．10 B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，故有．函数是以6为周期的函数．

．

故选B．

4．已知是偶函数，且在，上是增函数，如果在上恒成立，则实数的取值范围是

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【解析】由题意可得对恒成立，得

对恒成立，

从而且对恒成立，

且，[来源:学科网ZXXK]

即，，

故选D．

5．已知定义在上的奇函数满足，且在，上单调递增，记，（2），（3），则，，的大小关系为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】定义在上的奇函数满足，

，

函数是周期为2的函数，

（2），又函数在，上单调递增，

，

，即，

又（3）（2），

故选A．

6．定义在上的函数是奇函数，则的值为　　．

【答案】0

【解析】定义在上的函数是奇函数，

存在，

，

．

故答案为：0．

7．已知函数为偶函数，则的单调递增区间为　　．

【答案】

【解析】若，则函数，则，此时函数不是偶函数，所以

若，且函数是偶函数，[来源:Z。xx。k.Com]

则 一次项恒成立，则，

因此，函数为，

的单调递增区间为．

故答案为：．

8．函数的对称中心为　　．[来源:学科网]

【答案】

【解析】函数

，

看作由函数的图象向左平移1个单位，

再向上平移2个单位得到的图象．

由的图象关于点对称，

可得函数的对称中心为．

故答案为：．

9．已知函数为实数）为奇函数，则的值为　　．

【答案】

【解析】由题意，，

．

故答案为；．

10．设函数为定义在，，上的奇函数．

（1）求实数的值；

（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明．

【答案】（1）;（2）函数在区间上是增函数,证明见解析.

【解析】（1）为定义在，，上的奇函数，

，

，．

（2）函数在区间上是增函数．

证明：设，

则．

，，，

，即．

函数在区间上是增函数．

11．已知函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若函数在区间，上单调递增，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）是奇函数，

设，则，

从而．

（2）由的图象知，若函数在区间，上单调递增，

则

二、拓展提升

1．函数是定义在，上的偶函数，则在区间，上是

A．增函数 B．减函数 C．先增后减函数 D．先减后增函数

【答案】B

【解析】函数是定义在，上的偶函数，

，解得，

由得，，即．

其图象开口向下，对称轴是轴的抛物线，

则在区间，上是减函数．

故选B．

2．设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则

A．3 B．1 C． D．

【答案】D

【解析】因为为定义在上的奇函数，

所以，

解得，

所以当时，，

又因为为定义在上的奇函数，

所以（1），

故选D．

3．已知是奇函数，且当时，，则不等式的解集为

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【答案】D

【解析】当时，得，

；

是奇函数，

则当时，的解为

；

故不等式的解集为

，，；

故选D．

4．已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，如果且，则的值

A．可能为0 B．恒大于0 C．恒小于0 D．可正可负

【答案】C

【解析】由得，则函数为奇函数，且，

在上单调递增，

函数在上为增函数，

则由且，得，且，符号相反，

则，

即，

则，

故选C．

5．已知函数在定义域，上是偶函数，在，上单调递增，并且，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为函数在定义域，上是偶函数，所以，所以．

所以，即，

所以函数在，上单调递减，而，，

所以由得，

，

解得．

故选D．

6．已知是偶函数，且在上递减，若，时，恒成立，则实数的取值范围是

A．， B．， C．， D．，

【答案】A

【解析】因为是偶函数，故有

所以在上恒成立在上恒成立 ①；

又因为在，上是增函数，

故①式转化为在上恒成立②；

在上恒成立．

时，②转化为成立；

时，②转化为成立；

时，得，②转化为，

．

综上得：实数的取值范围为，．

故选A．

7．若函数的对称中心为，则　　．

【答案】5

【解析】函数，因为的对称中心，

函数的对称中心为；

又函数的对称中心为，

所以，．

．

故答案为：5．

8．已知奇函数的图象关于直线对称，且，则的值为　　．

【答案】

【解析】奇函数的图象关于直线对称，

，

即，

即，

则，即，

故答案为：．

9．函数对任意的实数，都满足：（a）（b），且（2），则　　．

【答案】

【解析】由题意知，，，

为奇函数．

（2）．

故答案为：．

10．已知函数，且，则（2）　　．

【答案】

【解析】，且，

，

则（2），

两式相加得（2），

则（2），[来源:学&科&网]

故答案为：．

11．已知函数定义在区间内，对于任意的，有，且当时，．

（1）判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明；

（2）若，求方程的解．

【答案】（1）函数为奇函数, 在区间内是减函数．证明见解析；（2）．

【解析】（1）令，则，令，则，

即，即函数为奇函数．

任取，，且，则．

，可得，则，则，

即．则在区间内是减函数．

（2）为奇函数，则，

又，且，

即，．则．

在区间内是单调函数，

可得．

即或（舍．

故方程的解为．

12．已知函数，

（1）求（2），（3）的值；

（2）求证是定值．

【答案】（1）1；（2）1.

【解析】（1）函数，

（2），

（3）．

证明：（2），

．

是定值1．

13．已知函数为奇函数，且（1）．

（1）求实数，的值；

（2）若对于任意的，，都有恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2），，．

【解析】（1）为奇函数，

对任意恒成立[来源:学科网]

即：任意恒成立

，可得

（1）

综上所述，得，

（2）由（1）得，

求导数得对任意恒成立

是上的增函数．当，时，的最大值为（2）

对于任意的，，都有恒成立

或

综上所述，得实数的取值范围为，，．