专题18.17 直角三角形斜边上的中线（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题18.17 直角三角形斜边上的中线（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题18.17 直角三角形斜边上的中线（专项练习）
一、单选题
1．（2021·盐城市初级中学九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠FAE等于 （ ）

A．105° B．75° C．40° D．20°
2．（2020·哈尔滨市第四十七中学八年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）

A．32° B．64° C．77° D．87°
3．（2020·哈尔滨市第四十七中学八年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AB＝5，则斜边上的中线BO长是（　　）

A．2.5 B．4 C．6 D．6.5
4．（2020·浙江杭州市·八年级期中）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得，，则M，C两点间的距离为（ ）

A． B． C． D．
5．（2020·浙江杭州市·学军中学附属文渊中学八年级期末）如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点旋转时（点不与点，重合），上述结论中始终正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
6．（2021·上海浦东新区·七年级期末）下列命题中，真命题是（　　）
A．在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等
B．在三角形中，如果一条边等于另一条边的一半，那么这条边所对的角是30°
C．直角三角形斜边上的中线等于直角边的一半
D．到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
7．（2020·鞍山市第五十一中学九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为（　　）

A．4 B．8 C．4 D．6
8．（2020·石家庄市第四十一中学八年级期中）如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：①BG=AB+HF；②DG=DE；③∠DHE=∠BAD；④∠B=∠DEF，其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2021·武汉二中广雅中学九年级期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，T为AF的中点，则CT的长是（　　）

A． B．4 C． D．


二、填空题
10．（2020·江苏扬州市·八年级月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，CD＝6cm，则AB的长为_____cm．

11．（2020·哈尔滨市第四十七中学八年级月考）在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，CD＝9，CE＝20，∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE，则线段AF的长为_____．

12．（2019·云南玉溪市·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，且AD∥BC；AC的长为16，则DO的长为___．

13．（2021·河北廊坊市·八年级期末）如图，在中，，，，都是的中线，点是的中点，若，则______．

14．（2018·苏州市吴江区青云中学八年级月考）在中，CD是斜边AB上的中线，若CD的长为4，则AB的长为_______．
15．（2020·江苏苏州市·八年级月考）如图，在中，，，O是的中点，如果在和上分别有一个动点M､N在移动，且在移动时保持．若．则的最小值为_________．

16．（2020·江苏苏州市·八年级月考）如图，在四边形中，，点E是的中点．若，，则_________．

17．（2020·武冈市第二中学八年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝________．


三、解答题
18．（2020·广东惠州市·八年级期末）如图，在矩形中，点为对角线的中点，过点作交于点，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，，求的长．

19．（2019·云南玉溪市·八年级期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，求∠CAD的度数．

20．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，请利用尺规在AB边上求作一点D，使得CD＝AB．（要求：不写作法，保留作图痕迹）

21．（2018·苏州市吴江区青云中学八年级月考）如图（1），中，、分别是高，、分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数（用含的式子表示）．
（3）如图（2），若将锐角变为钝角，直接写出与的数量关系．

22．（2019·苏州市吴江区青云中学八年级月考）如图，在四边形中，，、分别是、的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．

23．（2021·上海浦东新区·七年级期末）已知：如图，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分别为垂足，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，BC＝DF．求证：
（1）∠DAF＝∠CFB；
（2）EF＝AB．

24．（2021·陕西九年级专题练习）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，当点A在x轴上运动时，点C也随之在y轴上运动．在整个运动过程中，求点B到原点的最大距离．

25．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学八年级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点．
求证：四边形AECD是菱形．

26．（2021·武汉二中广雅中学九年级期末）等腰Rt△ABC，CA＝CB，D在AB上，CD＝CE，CD⊥CE．
（1）如图1，连接BE，探究线段AD与线段BE的关系并证明；
（2）如图2，连接AE，CF⊥AE交AB于F，T为垂足，
①求证：FD＝FB；
②如图3，若AE交BC于N，O为AB中点，连接OC，交AN于M，连FM、FN，当S△FMN＝5，则OF2+BF2的最小值为　 　．


参考答案
1．D
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠C=90°-∠B=55°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD=BD=CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD=∠B=35°，∠DAC=∠C=55°，再根据折叠的性质得出∠DAF=∠DAC=55°，然后计算∠FAE即可．
【详解】
解：解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=35°，
∴∠C=90°-∠B=55°．
∵AD是斜边BC上的中线，
∴AD=BD=CD，
∴∠BAD=∠B=35°，∠DAC=∠C=55°，
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，
∴∠DAF=∠DAC=55°，
∴∠FAE=∠DAF-∠BAD=20°．
故选：D
【点拨】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．
2．C
【分析】
取CF的中点T，连接DT，AT．证明∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，进而证明CT＝TF，得到∠AFC＝45°，∠BFD＝13°，最后求出∠B＝77°．
【详解】
解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°．

故选：C
【点拨】
本题考查了直角三角形斜边上的直线等于斜边一半、等腰三角形的性质、三角形的角的计算等知识，根据题意添加辅助线，构造等腰三角形是解题关键．
3．D
【分析】
先利用勾股定理求解的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而可得答案．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝12，AB＝5，
∴
∴斜边上的中线BO＝AC＝6.5．
故选：D．
【点拨】
本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
4．C
【分析】
首先根据勾股定理求得AB的长度，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解．
【详解】
解：如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1.2km，BC＝1.6km，
由勾股定理得到：AB＝＝=2（km）．
∵点M是AB的中点，
∴MC＝AB＝1km．
故选：C．
【点拨】
本题主要考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
5．B
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出SAPE=S△CPF，求出S四边形AEPF=S△APC=S△ABC，EF不是△ABC的中位线，故EF≠AP，即可得出答案．
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴①正确；②正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故③错误；
∵△APE≌△CPF
∴SAPE=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC，
∴④正确；
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点拨】
本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上中线性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
6．A
【分析】
根据直角三角形的性质、角平分线的性质进行判断即可．
【详解】
解：A、在角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等，是真命题；
B、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条边所对的角是30°，原命题是假命题；
C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，原命题是假命题；
D、在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，原命题是假命题；
故选：A．
【点拨】
本题考查的是命题的真假判断，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟悉相关的性质定理是解题的关键．
7．D
【分析】
连接CN，根据直角三角形斜边中线的性质求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三边关系即可得出结果．
【详解】
连接CN，如图所示：

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝4，
∵CM＝BM＝2，
∴MN≤CN+CM＝6，
∴MN的最大值为6，
故选：D．
【点拨】
本题考查旋转的性质、含30°角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系等知识；解题的关键是灵活运用三角形的三边关系．
8．C
【分析】
首先证明△ADG≌△FDH，再利用菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质即可一一判断．
【详解】
解：∵菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，
∴AB∥CD∥EF，AD＝CD＝DF，
∴∠GAD＝∠F，
∵∠ADG＝∠FDH，
∴△ADG≌△FDH，
∴DG＝DH，AG＝FH，
∴BG =AB＋AG＝AB＋HF，故①正确，
∵EG⊥AB，
∴∠BGE＝∠GEF＝90°，
又∵DG＝DH，
∴DE＝DG＝DH，故②正确，
∴∠DHE＝∠DEH，
∵∠DEH＝∠CEF，∠CEF＝∠CDF＝∠BAD，
∴∠DHE＝∠BAD，故③正确，
∵∠B＝∠DCE，∠CED＝∠CDE＝∠DEF＝∠DHE，
∴∠DCE＝∠EDH，
∴∠B＝∠EDH，
若 ∠B=∠DEF，则∠EDH=∠DEF=∠DHE，那么∆ DHE是等边三角形，
但题目中没有明确∆ DHE是等边三角形，故④错误．
故选：C．
【点拨】
本题考查菱形的性质、平移变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．D
【分析】
据正方形的性质得到AB=BC=5，CG=CE=2，连接AC、CF，求出∠ACF=90°，得到CT=AF，根据勾股定理求出AF的长度即可得到答案．
【详解】
解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
AB=BC=5，CG=CE=2，
∴AC＝AB＝5 ，CF＝CE＝2 ，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF＝ ，
∵T为AF的中点，
∴CT＝ AF＝ ．
故选：D．

【点拨】
此题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，正确引出辅助线得到∠ACF=90°是解题的关键．
10．12
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴线段CD是斜边AB上的中线；
又∵CD＝6cm，
∴AB＝2CD＝12cm．
故答案为：12
【点拨】
本题考查直角三角形斜边上的中线的性质．掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答本题的关键．
11．
【分析】
设BF与CE的交点为G，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE＝2a，由矩形的性质及直角三角形的斜边中线性质得出BH＝CH＝EH＝10，∠HBC＝∠HCB＝a，再判定EF∥BH、△EFG和△BGH均为等腰三角形，最后由勾股定理求得AF即可．
【详解】
解：设BF与CE的交点为G，取CE的中点H，连接BH，如图所示：

设∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE＝2α，则∠AFB＝3α，
在矩形ABCD中有AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴△BCE为直角三角形，
∵点H为斜边CE的中点，CE＝20，
∴BH＝CH＝EH＝10，
∴∠HBC＝∠HCB＝α，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC＝3α，
∴∠GHB＝3α﹣α＝2α＝∠EFB，
∴EF∥BH，
∴∠FEG＝∠GHB
＝∠HBC+∠HCB
＝2α＝∠EFB＝∠GBH，
∴△EFG和△BGH均为等腰三角形，
∴BF＝EH＝10，
在矩形ABCD中，AB＝CD＝9，
由勾股定理得：
AF＝，
＝，
＝．
故答案为：．
【点拨】
本题考查了矩形的性质、直角三角形的斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
12．8
【分析】
由题意可以得到四边形ABCD为矩形，再根据矩形和直角三角形的性质求解．
【详解】
解：∵∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴AB∥DC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为矩形，
∴O为AC中点，
∵∠ADC=90°，
∴OD=，
故答案为8．
【点拨】
本题考查矩形与直角三角形的综合应用，熟练掌握矩形的判定与性质、直角三角形的性质是解题关键 ．
13．1
【分析】
证明△BCE是等边三角形，求出BE=CE=BC=2，由D是BC的中点可得结论．
【详解】
解：在中，，
∵是的中线，
∴
∵，
∴是等边三角形
∴
∵点是的中点，且，
∴
∵是边上的中线，
∴
故答案为：1．
【点拨】
此题主要考查了等边三角形的判定和三角形中线的性质，证明是等边三角形是解答此题的关键．
14．8．
【分析】
根据斜边中线等于斜边的一半，直接计算即可．
【详解】
解：在中，CD是斜边AB上的中线， CD的长为4，
AB=2CD=8；
故答案为：8．
【点拨】
本题考查了直角三角形中，斜边上的中线等于斜边一半的性质，解题关键是熟记本知识点，准确应用．
15．
【分析】
连接OA，取MN的中点D，连接OD，AD，证明△OAN≌△OBM，可得MN=OD+AD，而OD+AD≥OA，即OA就是MN的最小值．
【详解】
解：连接OA，取MN的中点D，连接OD，AD，
∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，
∴AO=BO=CO，∠B=∠C=45°；
在△OAN和OBM中，
，
∴△OAN≌△OBM（SAS），
∴ON=OM，∠AON=∠BOM；
又∵∠BOM+∠AOM=90°，
∴∠NOM=∠AON+∠AOM=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形，
∴∠MON=∠NAM=90°，
∴OD=AD=MN，
∴MN=OD+AD，
∵OD+AD≥AO，
∴MN≥AO，
∴MN的最小值为AO，
∵BC=，
∴AO=，
∴MN的最小值为，
故答案为：．

【点拨】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系等知识点，难度适中．“中点”是本题的题眼，在初中阶段，与“中点”的几何知识并不多，同学们可自行总结一下“中点”有几种用法，今后再遇到与“中点”有关的几何题目，就会反应迅速，作出辅助线也就很容易．
16．
【分析】
根据中点的性质、直角三角形的性质求出DE=BE=，从而可得AC．
【详解】
解：∵∠ABC=∠ADC=90°，E是对角线AC的中点，
∴BE=DE=AE=EC=AC，
∴∠ABE=∠BAE，∠ADE=∠DAE，
∵∠BEC=∠ABE+∠BAE，∠DEC=∠ADE+∠DAE，∠BED=∠BEC+∠DEC，∠BAE+∠DAE=∠BAD=45°，
∴∠BED=2∠BAE+2∠DAE=2∠BAD，
∵∠BAD=45°，
∴∠BED=90°，
∵BD=2，
∴BE=DE==，
∴AC=2BE=，
故答案为：．
【点拨】
此题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是根据中点的性质、直角三角形的性质得出BE=DE=AE=EC=AC．
17．70°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求得∠B=70°，然后根据直角三角形斜边上中线定理得出CD=BD，求出∠BCD=∠B即可．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∵∠A=20°，
∴∠B=90°-∠A=70°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠B=70°，
故答案为70°．
【点拨】
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD=CD=AD和∠B的度数是解此题的关键．
18．（1）证明见解析，（2）2．
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF＝CE，继而证得结论；
（2）连接BO，由勾股定理可求BE，AC的长，由直角三角形的性质可求解．
【详解】
证明：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）如图，连接BO，

∵AB＝4，AF＝AE＝EC＝5，
∴BE＝，
∴BC＝8，
∴AC＝，
∵AO＝CO，∠ABC＝90°，
∴BO＝AC＝2．
【点拨】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得△AOF≌△COE是关键．
19．∠CAD=20°
【分析】
由四边形ABCD是菱形，可得OB=OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO=20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠CAD的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴OH=OB=BD，
∵∠DHO=20°，
∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，
∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．
【点拨】
本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△OBH是等腰三角形是关键．
20．见详解
【分析】
作线段AB的垂直平分线EF交AB于D，连接CD，线段CD即为所求作．
【详解】
解：如图，线段CD即为所求作．

【点拨】
本题考查作图——复杂作图，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（1）证明见解析；（2）∠DME =180°-2α；（3）∠DME=2∠BAC-180°．
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知DM=ME，再根据N为DE的中点，利用垂直平分线的判定定理即可证明；
（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A和∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；
（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CMD，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．
【详解】
解：（1）如图（1）∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴，
∴DM=ME
又∵N为DE中点，
∴DN=NE，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM=ME=BM=MC，
∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠MEC，
∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB），
=360°-2（∠ABC+∠ACB），
=360°-2（180°-∠A），
=2∠A，
∴∠DME=180°-2∠A=180°-2α；
（3）∠DME=2∠BAC-180°，
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
由（2）得DM=ME=BM=MC，
∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠MEC，
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°-∠BAC）=360°-2∠BAC，
∴∠DME=180°-（360°-2∠BAC）=2∠BAC-180°．
【点拨】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可证得结论；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【详解】
证明：（1）如图，连接BM、DM，


∵，M是AC的中点，
∴，，
∴；
（2）∵，点N是BD的中点，
∴．
【点拨】
本题考查了直角三角形与等腰三角形的性质，熟记性质并作出相应的辅助线是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）由垂直平分线的性质得出AF＝BF，证明△ADF≌△FCB就可以得出∠DAF＝∠CFB；
（2）根据∠DAF+DFA＝90°可以得出∠AFB＝90°，就可以得出△AFB是等腰直角三角形，由AE＝BE就可以得出EF＝AB．
【详解】
解：（1）EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，AE＝BE，
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴∠D＝∠C＝90°，
在Rt△ADF和Rt△FCB中，
∴△ADF≌△FCB（HL），
∴∠DAF＝∠CFB；
（2）∵∠D＝90°，
∴∠DAF+∠DFA＝90°，
∴∠CFB+∠DFA＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴△AFB是等腰直角三角形，
∵AE＝BE，
∴EF＝AB．
【点拨】
本题考查了直角三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
24．
【分析】
取AC的中点D，连接BD、OD，可知第三边OB的最大值就是另两边的和．
【详解】
解：如图7-2，取AC的中点D，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴OD＝ AC＝1，BD＝．
在△OBD中，总是有OB＜OD＋BD．
如图7-3，当点D落在OB上时，OB最大，最大值为．



【点拨】
本题考查了最短路径问题和斜边中线的性质，解题关键是恰当的作辅助线，构造三角形，利用三边关系解决问题．
25．见解析

【分析】
由BC=2AD，E为BC的中点，则，再由即知四边形AECD是平行四边形；又，由直角三角形斜边上的中线的性质，得AE=EC，从而四边形AECD是菱形．
【详解】
∵E为BC的中点，
∴为的斜边BC上的中线
∴AE=EC=BE=
∵BC=2AD
∴
∴
∵
∴四边形AECD是平行四边形
∵AE=EC
∴四边形AECD是菱形
【点拨】
本题考查了菱形的判定、直角三角形斜边上中线的性质．本题也可以用菱形的定义来证明，为此只要证即可．
26．（1）AD⊥BE，AD＝BE，证明见解析；（2）①证明见解析，②20
【分析】
（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE，从而利用全等三角形的性质即可得出结论；
（2）①过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，首先证明△ACT≌△BCG及△DCH≌△ECT，得到CT＝BG，CT＝DH，通过等量代换得出DH＝BG，再证明△DHF≌△BGF，则可证明结论；
②首先利用等腰三角形的性质和ASA证明△AOM≌△COF，则有OM＝OF，然后利用等腰直角三角形的性质得出FK＝BF，然后利用三角形的面积得出OF×BF＝10，最后利用平方的非负性和完全平方公式求解即可．
【详解】
证明：（1）AD⊥BE，AD＝BE，
理由如下：∵CD⊥CE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠A＝∠CBE＝45°，AD＝BE，
∴∠CBE+∠ABC＝90°＝∠ABE，
∴AD⊥BE；
（2）①如图2，过点D作DH⊥CF于H，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，

∵CF⊥AE，
∴∠ACT+∠CAT＝90°，
又∵∠ACT+∠BCG＝90°，
∴∠CAT＝∠BCG，
在△ACT和△BCG中，
，
∴△ACT≌△BCG（ASA），
∴CT＝BG，
同理可证△DCH≌△ECT，
∴CT＝DH，
∴DH＝BG，
在△DHF和△BGF中，
，
∴△DHF≌△BGF（AAS），
∴DF＝BF；
②如图3，过点F作FK⊥BC于K，

∵等腰Rt△ABC，CA＝CB，点O是AB的中点，
∴AO＝CO＝BO，CO⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠OCF+∠OFC＝90°，
∵AT⊥CF，
∴∠OFC+∠FAT＝90°，
∴∠FAT＝∠OCF，
在△AOM和△COF中，
，
∴△AOM≌△COF（ASA），
∴OM＝OF，
又∵CO⊥AO，
∴MF＝OF，∠OFM＝∠OMF＝45°，
∴∠OFM＝∠ABC，
∴MFBC，
∵∠ABC＝45°，FK⊥BC，
∴∠ABC＝∠BFK＝45°，
∴FK＝BK，
∴FK＝BF，
∵S△FMN＝5，
∴×MF×FK＝5，
∴OF×BF＝10，
∴OF×BF＝10，
∵（BF﹣OF）2≥0，
∴BF2+OF2﹣2BF×OF≥0，
∴BF2+OF2≥2×10＝20，
∴BF2+OF2的最小值为20，
故答案为：20．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．