(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题8-3 一网打尽外接球（原卷+解析）学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 长方体模板1：三线垂直1
\l "_Tc26924" 【题型二】 长方体模板2：三种构造2
\l "_Tc12217" 【题型三】 直棱柱模板：线面垂直（重点）3
\l "_Tc30563" 【题型四】 垂面型4
\l "_Tc30563" 【题型五】 万能模板：外心垂线相交型（难点）5
\l "_Tc30563" 【题型六】 特殊几何体：正三棱锥和正四面体6
\l "_Tc30563" 【题型七】 四棱锥6
\l "_Tc30563" 【题型八】 组合体外接球7
\l "_Tc30563" 【题型九】 球定义法8
\l "_Tc30563" 【题型十】 圆锥和圆柱外接球9
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练9
【题型一】长方体模板1：三线垂直型
【典例分析】
三棱锥中，平面ABC，且，且，三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．16πB．20πC．D．24π
【提分秘籍】
基本规律
1.三线垂直图形
计算公式：三棱锥三线垂直还原成长方体
【变式演练】
1.四棱锥中，底面为矩形，体积为，若平面，且，则四棱锥的外接球体积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2.一个多面体的三视图和直观图如图所示，是的中点，一只小蜜蜂在几何体的外接球内自由飞翔，则它飞入四面体内的概率为（ ）
A．B．C．D．
在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为___________
【题型二】 长方体模板2：构造长方体3个模型
【典例分析】
已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为______.
【提分秘籍】
基本规律
由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型
1.三棱锥对棱相等，如【典例分析】
等边三角形与等腰直角三角形连接，如【变式训练】1
投影为矩形，如【变式训练】3
【变式演练】
1.四面体中，，且与所成角为，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.四面体中，，，，则该四面体的外接球表面积为__________．
3.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为
A．B．C．D．
【题型三】 直棱柱模板：线面垂直（重点）
【典例分析】
在三棱锥中，.平面平面，若球O是三棱锥的外接球，则球O的表面积为（ ）.
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
【变式演练】
1.已知三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，若三棱锥的最长棱为，直线SB与平面ABC所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.已知，，，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为（ ）．
A．B．C．D．
3.已知三棱锥中，，，平面平面、若三棱锥的外接球面积为，则三棱锥的体积最大值为__________．
【题型四】 垂面型
【典例分析】
在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为_________.
【提分秘籍】
基本规律
包含了面面垂直
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，如【典例分析】与【变式演练】1

【变式演练】
1.如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为
A．B．C．D．
2.已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
3.在四面体中，三角形为等边三角形，边长为，，，，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型五】 万能模板：外心垂线相交型（难点）
【典例分析】
已知菱形边长为3，，为对角线上一点，.将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______.
【提分秘籍】
基本规律
1.等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
2.直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
3.许多情况下，会和二面角结合。
【变式演练】
1.如图，二面角的平面角的大小为，，，，，则四面体的外接球表面积为________．
2.在三棱锥中，，，，二面角的平面角大小为，则此三棱锥的外接球表面积为________.
3.已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝PB＝PC＝，CA＝6，AB＝10，BC＝8，则球O的表面积是________．
【题型六】 特殊几何体：正三棱锥和正四面体
【典例分析】
已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
几个知识点要了解：
1.正三棱锥对棱垂直。
2.正三棱锥外接球球心可能在三棱锥内部，也可能不在。但一定在三棱锥定点向地面所做的垂线上
3.计算公式和图形：
4.正四面体，类比等边三角形外心和内心，可证：外心和内心重合，恰好位于高的四等分点处，
【变式演练】
1.已知正三棱锥中，为的中点，，，则（ ）.
A．B．
C．此正三棱锥的内切球半径为D．此正三棱锥的外接球表面积
2.在四棱锥中，若，四棱锥外接球表面积为__________.
3.已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则
A． B． C． D．
【题型七】 四棱锥
【典例分析】
已知四棱锥的底面是矩形，其中，，面面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
四棱锥的外接球有其特殊性，底面四边形是矩形。特殊情况下，还可以转化为“线面垂直-直棱柱模型”
【变式演练】
1.如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.底面为矩形的四棱锥的体积为8，若平面，且，则四棱锥的外接球体积最小值是（ ）
A．B．C．D．
【题型八】 组合体外接球
【典例分析】
如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为，则不正确的是（ ）
A．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为
B．
C．如果，则与重合．
D．如果，则圆柱的体积为．
【提分秘籍】
基本规律
因为图形所限制，一般其况下，两个组合体结合处的平面，恰好是外接圆一个小圆（或者大圆）上。
【变式演练】
1.已知三角形的三个内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，，分别以，，所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体的外接球表面积分别为，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心．若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为___．
【题型九】 球定义法
【典例分析】
如图，直三棱柱，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC.且AC=AA1=2，E，F分别是AC，A1C1的中点，D为AA1的中点，则四棱锥D-BB1FE的外接球表面积为___________.
【提分秘籍】
基本规律
当几何体不规则，或者所给的数量关系不特殊时，可以考虑直接用球的定义法。
1.定球心：外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
2.利用球心到截面小圆距离，与小圆半径和球的半径构成勾股数组
【变式演练】
1.如图，已知正方形的边长为4，若将沿翻折到的位置，使得平面平面，分别为和的中点，则直线被四面体的外接球所截得的线段长为（ ）
A．B．C．D．
2.在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是________.
3.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，平面与平面的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.
【题型十】 圆锥与圆柱外接球
【典例分析】
已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为___________.
【提分秘籍】
基本规律
1.圆锥外接球，可类比正三棱锥（任意正棱锥）求解
2.圆柱外接球，可类比直棱柱外接球求解
【变式演练】
1.设圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于、），若，三棱锥的外接球表面积为，则圆锥的体积为___________.
2.知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（ ）
A．B．C．D．
3.已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________.
1.（河南省郑州市第十一中学2020-2021学年）正方体的棱长为2，的中点分别是P，Q，直线与正方体的外接球O相交于M，N两点点G是球O上的动点则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年）已知菱形ABCD的边长为2，.现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'.设空间几何体ABCD'的外接球为球O，若球O的表面积为8π，则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为___________.
3.（江西省南昌市2021届高三二模数学）四面体中，，且与所成角为，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
4.（新疆2020-2021学年高三上学期第一次联考）已知三棱锥过三棱锥外接球心，点是线段的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥体积为B．截面面积的最小值是
C．三棱锥体积为D．截面面积的最小值是
5.（山西省运城市景胜中学2021届高三上学期1月月考）如图，将正四棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影四棱锥”.下列关于该“倒影四棱锥”的说法中，所有正确结论的编号是（ ）
①平面；
②平面；
③若在同一球面上，则也在该球面上；
④若该“倒影四棱锥”存在外接球，则
A．①③B．②④C．①②③D．①②④
6.（广东省广州市西关外国语学校2022届高三上学期8月月考）在三棱锥中，，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为_________．
7.（黑龙江省大庆市第二中学2020-2021学年）在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为__________.
8.（湖北省鄂东南省级示范高中教学改革联盟2020届高三下学期6月模拟）已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面BCD，若该三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
9.（四川省成都石室中学2019-2020学年上学期入学考试）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为
A．B．C．D．
10.（湖北省武汉市洪山高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考）“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularslid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过三点的截面面积为
C．该半正多面体有外接球，且它的的表面积为
D．该半正多面体有内切球，且它的的表面积为