（全国通用）高考物理二轮热点题型归纳与变式演练 专题12 重力与万有引力的关系及变轨、宇宙速度问题（解析+原卷）学案

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳
\l "_Tc17993" 【题型一】 重力与万有引力的关系
\l "_Tc26924" 【题型二】 变轨问题
\l "_Tc12217" 【题型三】 宇宙速度问题
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练2
【题型一】 重力与万有引力的关系
【典例分析】宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为( )
A．Teq \r(\a\vs4\al(\f(F′,F))) B．Teq \r(\f(F,F′))
C．T eq \r(\a\vs4\al(\f(F－F′,F))) D．T eq \r(\f(F,F－F′))
【提分秘籍】
1、不考虑地球自转时，地球表面上的重力加速度g＝eq \f(GM,R2)
2、地球赤道上的物体随地球自转的向心力由万有引力与支持力的合力提供，而地球表面附近做匀速圆周运动的卫星由万有引力提供向心力
【变式演练】
1．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B．eq \f(GM,R＋h2)
C．eq \f(GMm,R＋h2) D．eq \f(GM,h2)
2．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－eq \f(d,R) B．1＋eq \f(d,R)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R)))2 D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R－d)))2
3．[多选]由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是( )
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C．地球的半径为eq \f(g0－gT2,4π2)
D．地球的密度为eq \f(3πg0,GT2g0－g)
【题型二】 变轨问题
【典例分析】[多选]如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
A．该卫星在P点的速度大于7.9 km/s，且小于11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
【提分秘籍】
1、开普勒行星运动定律既适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕地球运动。
2．卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
3．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1＜T2＜T3。
【变式演练】
1．开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T。月球的半径为R，引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求：
(1)月球的密度；
(2)在轨道Ⅱ上运行的时间。
2．我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )
A．飞行器在B点处点火后，动能增加
B．由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期
C．只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度
D．飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π eq \r(\f(R,g0))
3．我国神舟六号载人飞船圆满完成太空旅程，胜利而归。飞船的升空和返回特别令人关注，观察飞船运行环节的图片，下列说法正确的是( )
A．飞船抛助推器，使箭、船分离，其作用是让飞船获得平衡
B．飞船返回时要转向180°，让推进舱在前，返回舱在后，其作用是加速变轨
C．飞船与整流罩分离后打开帆板，其作用是让飞船飞得慢一些
D．飞船的变轨发动机点火工作，使得飞船由椭圆轨道变为圆轨道
【题型三】 宇宙速度
【典例分析】[多选]已知地球和火星的半径分别为r1、r2，绕太阳公转轨道可视为圆，轨道半径分别为r1′、r2′，公转线速度分别为v1′、v2′，地球和火星表面重力加速度分别为g1、g2，平均密度分别为ρ1、ρ2。地球第一宇宙速度为v1，飞船贴近火星表面环绕线速度为v2，则下列关系正确的是( )
A．eq \f(v1′,v2′)＝ eq \r(\f(r2′,r1′)) B．eq \f(v1,v2)＝ eq \r(\f(r2,r1))
C．ρ1r12v22＝ρ2r22v12 D．g1r12＝g2r22
【提分秘籍】
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v12,R)得
v1＝ eq \r(\f(GM,R))＝ eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s＝7.9×103 m/s。
方法二：由mg＝meq \f(v12,R)得
v1＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s＝7.9×103 m/s。
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π eq \r(\f(R,g))＝5 075 s≈85 min。
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
【变式演练】
1．(多选)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是( )
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
2．[多选]“嫦娥二号”卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km，周期为118 min的工作轨道，开始对月球进行探测，则( )
A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大
C．卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比在轨道Ⅰ上小
D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大
3．[多选]使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2＝eq \r(2)v1，已知某星球半径是地球半径R的eq \f(1,3)，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的eq \f(1,6)，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则( )
A．该星球上的第一宇宙速度为eq \f(\r(3gR),3)
B．该星球上的第二宇宙速度为eq \f(\r(gR),3)
C．该星球的平均密度为eq \f(ρ,2)
D．该星球的质量为eq \f(8πR3ρ,81)
1．（2021年全国乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000 AU（太阳到地球的距离为1 AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受
的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A.B.C.D.
2、（2021年全国甲卷）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为。已知火星半径约为，火星表面处自由落体的加速度大小约为，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A.B.C.D.
3．据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星，假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(取g＝10 m/s2)( )
A．5∶2 B．2∶5
C．1∶10 D．10∶1
4．图甲所示为小球在一端固定于O点的轻弹簧的牵引下在光滑水平面上做椭圆运动的轨迹，图乙为某卫星绕地球做椭圆运动的轨迹，则下列说法中正确的是( )
甲
乙
A．小球由B经C到D点时间与由D经A到B点的时间相等
B．卫星由B′经C′到D′点时间与由D′经A′到B′点的时间相等
C．小球在A点的速度小于小球在B点的速度
D．若卫星在C′点的速度大小为v，则卫星在C′点的加速度大小为eq \f(v2,a′)
5．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍。那么，一个在地球表面能举起64 kg物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少(地球表面重力加速度g＝10 m/s2)( )
A．40 kg B．50 kg
C．60 kg D．30 kg
7.[多选]我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星­500”的模拟实验活动。假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的eq \f(1,2)，质量是地球质量的eq \f(1,9)。已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，王跃在地球表面能竖直向上跳起的最大高度为h，忽略自转的影响。下列说法正确的是( )
A．火星的密度为eq \f(2g,3πGR)
B．火星表面的重力加速度为eq \f(4g,9)
C．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相等
D．王跃在火星表面能竖直向上跳起的最大高度为eq \f(9h,4)
8．[多选]质量为m的人造卫星在地面上未发射时的重力为G0，它在离地面的距离等于地球半径R的圆形轨道上运行时的( )
A．周期为4π eq \r(\f(2mR,G0)) B．速度为 eq \r(\f(2G0R,m))
C．动能为eq \f(1,4)G0R D．重力为eq \f(1,2)G0
9.[多选]如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
10．(多选)某航天飞机在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
11．嫦娥工程分为三期，简称“绕、落、回”三步走．我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，经变轨成功落月．若该卫星在某次变轨前，在距月球表面高度为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其运行的周期为T.若以R表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则( )
A．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为eq \f(2πR,T)
B．物体在月球表面自由下落的加速度大小为eq \f(4π2R＋h3,R2T2)
C．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为eq \f(2πR,T) eq \r(\f(R＋h,R))
D．月球的平均密度为eq \f(2π,GT2)
参考答案
【题型一】 重力与万有引力的关系
【典例分析】宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为M的砝码所受重力为F，在赤道测得该砝码所受重力为F′。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为( )
A．Teq \r(\a\vs4\al(\f(F′,F))) B．Teq \r(\f(F,F′))
C．T eq \r(\a\vs4\al(\f(F－F′,F))) D．T eq \r(\f(F,F－F′))
解析：选D 设星球和探测器质量分别为m、m′
在两极点，有：Geq \f(Mm,R2)＝F，
在赤道，有：Geq \f(Mm,R2)－F′＝MReq \f(4π2,T自2)，
探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为T，则有：Geq \f(mm′,R2)＝m′ Req \f(4π2,T2)；联立以上三式解得T自＝Teq \r(\f(F,F－F′))。故D正确，A、B、C错误。
【提分秘籍】
1、不考虑地球自转时，地球表面上的重力加速度g＝eq \f(GM,R2)
2、地球赤道上的物体随地球自转的向心力由万有引力与支持力的合力提供，而地球表面附近做匀速圆周运动的卫星由万有引力提供向心力
【变式演练】
1．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B．eq \f(GM,R＋h2)
C．eq \f(GMm,R＋h2) D．eq \f(GM,h2)
[解析] 飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即Geq \f(Mm,R＋h2)＝mg，得g＝eq \f(GM,R＋h2)，选项B正确。
[答案] B
2．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－eq \f(d,R) B．1＋eq \f(d,R)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R)))2 D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,R－d)))2
[解析] 如图所示，
根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝Geq \f(Mm,R2)；设矿井底部处的重力加速度为g′，等效“地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部处的物体m受到的重力mg′＝Geq \f(M′m,r2)，又M＝ρV＝ρ·eq \f(4,3)πR3，M′＝ρV′＝ρ·eq \f(4,3)π(R－d)3，联立解得eq \f(g′,g)＝1－eq \f(d,R)，A对。
[答案] A
3．[多选]由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法正确的是( )
A．质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg
B．质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg0
C．地球的半径为eq \f(g0－gT2,4π2)
D．地球的密度为eq \f(3πg0,GT2g0－g)
解析：选BCD 因地球表面两极处的重力加速度大小为g0，则质量为m的物体在地球北极受到的重力大小为mg0，选项A错误；因在地球的两极Geq \f(Mm,R2)＝mg0，则质量为m的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为F＝Geq \f(Mm,R2)＝mg0，选项B正确；在赤道上：Geq \f(Mm,R2)－mg＝meq \f(4π2,T2)R；联立解得：R＝eq \f(g0－gT2,4π2)，选项C正确；地球的密度为ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，联立解得：ρ＝eq \f(3πg0,GT2g0－g)，选项D正确。
【题型二】 变轨问题
【典例分析】[多选]如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )
A．该卫星在P点的速度大于7.9 km/s，且小于11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
解析：选ACD 地球卫星的发射速度应大于7.9 km/s且小于11.2 km/s，故A正确；环绕地球做圆周运动的人造卫星，最大的运行速度是7.9 km/s，故B错误；P点比Q点离地球近些，故在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度，C正确；卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故D正确。
【提分秘籍】
1、开普勒行星运动定律既适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕地球运动。
2．卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
3．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1＜T2＜T3。
【变式演练】
1．开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T。月球的半径为R，引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求：
(1)月球的密度；
(2)在轨道Ⅱ上运行的时间。
解析：(1)由万有引力充当向心力：eq \f(GMm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r，
解得M＝eq \f(4π2r3,GT2)
月球的密度：ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，解得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
(2)椭圆轨道的半长轴：a＝eq \f(R＋r,2)，
设椭圆轨道上运行周期为T1，
由开普勒第三定律有：eq \f(a3,T12)＝eq \f(r3,T2)，
在轨道Ⅱ上运行的时间为t＝eq \f(T1,2)，
解得t＝eq \f(R＋rT,4r) eq \r(\f(R＋r,2r))。
答案：(1)eq \f(3πr3,GT2R3) (2)eq \f(R＋rT,4r) eq \r(\f(R＋r,2r))
2．我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )
A．飞行器在B点处点火后，动能增加
B．由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期
C．只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度
D．飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π eq \r(\f(R,g0))
[解析] 在椭圆轨道近月点变轨成为圆轨道，要实现变轨应给飞行器点火减速，减小所需的向心力，故点火后动能减小，故A错误；设飞行器在近月轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T3，则：mg0＝mReq \f(4π2,T32)，解得：T3＝2π eq \r(\f(R,g0))，根据几何关系可知，轨道Ⅱ的半长轴a＝2.5R，根据开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k以及轨道Ⅲ的周期，可求出在轨道Ⅱ上的运行周期，故B错误，D正确；只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度与在轨道Ⅲ上通过B点的加速度相等，故C错误。
[答案] D
3．我国神舟六号载人飞船圆满完成太空旅程，胜利而归。飞船的升空和返回特别令人关注，观察飞船运行环节的图片，下列说法正确的是( )
A．飞船抛助推器，使箭、船分离，其作用是让飞船获得平衡
B．飞船返回时要转向180°，让推进舱在前，返回舱在后，其作用是加速变轨
C．飞船与整流罩分离后打开帆板，其作用是让飞船飞得慢一些
D．飞船的变轨发动机点火工作，使得飞船由椭圆轨道变为圆轨道
解析：选D 飞船抛助推器，使箭船分离，其作用是减小组合体的质量，减小惯性便于飞船变轨操作，故A错误；飞船返回时要减速降低轨道，所以飞船返回时要转向180°，让推进舱在前，使返回舱减速降低轨道以接近地球，故B错误；飞船与整流罩分离后打开帆板，其作用是利用太阳能提供飞船能量，飞船在太空飞行，近乎真空的环境下，飞船几乎不受阻力作用，故C错误；飞船的变轨发动机工作目的使飞船由椭圆轨道变成圆轨道运动，根据圆周运动和椭圆轨道运动知，在远地点开动发动机加速使卫星在高轨道上做圆周运动，在近地点椭圆轨道上开动发动机减速，使卫星在半径较小轨道上做圆周运动，故D正确。
【题型三】 宇宙速度
【典例分析】[多选]已知地球和火星的半径分别为r1、r2，绕太阳公转轨道可视为圆，轨道半径分别为r1′、r2′，公转线速度分别为v1′、v2′，地球和火星表面重力加速度分别为g1、g2，平均密度分别为ρ1、ρ2。地球第一宇宙速度为v1，飞船贴近火星表面环绕线速度为v2，则下列关系正确的是( )
A．eq \f(v1′,v2′)＝ eq \r(\f(r2′,r1′)) B．eq \f(v1,v2)＝ eq \r(\f(r2,r1))
C．ρ1r12v22＝ρ2r22v12 D．g1r12＝g2r22
解析：选AC 根据万有引力提供向心力得：Geq \f(Mm,r′2)＝meq \f(v′2,r′)，得v′＝ eq \r(\f(GM,r′))，r′是行星公转半径，地球和火星的公转半径之比为r1′∶r2′，所以公转线速度之比eq \f(v1′,v2′)＝ eq \r(\f(r2′,r1′))，故A正确。与行星公转相似，对于卫星，线速度表达式为v＝ eq \r(\f(GM,r))，由于不知道地球和火星的质量之比，所以无法求出eq \f(v1,v2)，故B错误。卫星贴近星球表面运行时，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得：M＝eq \f(rv2,G)，行星的密度为：ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πr3)＝eq \f(3v2,4πGr2)(其中v为星球表面卫星运行速度，r为星球半径)，故eq \f(ρr2,v2)＝eq \f(3,4πG)为定值，故ρ1r12v22＝ρ2r22v12，故C正确。在星球表面，由重力等于万有引力，有Geq \f(Mm,r2)＝mg，r是星球的半径，得：GM＝gr2，由于地球与火星的质量不等，则g1r12≠g2r22，故D错误。
【提分秘籍】
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v12,R)得
v1＝ eq \r(\f(GM,R))＝ eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s＝7.9×103 m/s。
方法二：由mg＝meq \f(v12,R)得
v1＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s＝7.9×103 m/s。
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π eq \r(\f(R,g))＝5 075 s≈85 min。
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
【变式演练】
1．(多选)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气，下面说法正确的是( )
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
答案 BC
解析 地球所有卫星的运行速度都小于第一宇宙速度，故A错误．轨道处的稀薄大气会对天宫一号产生阻力，如不加干预，其轨道会缓慢降低，天宫一号的重力势能一部分转化为动能，故天宫一号的动能可能会增加，B、C正确；航天员受到地球引力作用，此时引力充当向心力，产生向心加速度，航天员处于失重状态，D错误．
2．[多选]“嫦娥二号”卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km，周期为118 min的工作轨道，开始对月球进行探测，则( )
A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大
C．卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比在轨道Ⅰ上小
D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大
解析：选ACD 月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，卫星在轨道Ⅲ上的半径大于月球半径，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，得卫星的速度v＝ eq \r(\f(GM,r))，可知卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，故A正确。卫星在轨道Ⅰ上经过P点若要进入轨道Ⅲ，需减速，即知卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时小，故B错误。根据开普勒第三定律：eq \f(a3,T2)＝k，可知卫星在轨道Ⅲ上运动的周期比在轨道Ⅰ上小，故C正确。卫星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，在P点需减速，动能减小，而它们在各自的轨道上机械能守恒，所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上大，故D正确。
3．[多选]使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2＝eq \r(2)v1，已知某星球半径是地球半径R的eq \f(1,3)，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的eq \f(1,6)，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则( )
A．该星球上的第一宇宙速度为eq \f(\r(3gR),3)
B．该星球上的第二宇宙速度为eq \f(\r(gR),3)
C．该星球的平均密度为eq \f(ρ,2)
D．该星球的质量为eq \f(8πR3ρ,81)
解析：选BC 设地球的质量为M，使质量为m的物体成为其卫星的第一宇宙速度满足：mg＝Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v12,R)，解得：GM＝gR2，v1＝ eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(gR)，某星球的质量为M′，半径为R′，表面的重力加速度为g′，同理有：GM′＝g′R′2＝eq \f(gR2,54)，解得：M′＝eq \f(1,54)M，该星球上的第一宇宙速度为：v1′＝ eq \r(\f(GM′,R′))＝eq \r(g′R′)＝eq \f(\r(2gR),6)，故选项A错误；该星球上的第二宇宙速度为：v2′＝eq \r(2)v1′＝eq \f(\r(gR),3)，故选项B正确；由球体体积公式V＝eq \f(4,3)πR3和质量与密度的关系式ρ＝eq \f(M,V)可知，ρ＝eq \f(3M,4πR3)，ρ′＝eq \f(3M′,4πR′3)＝eq \f(3M,4πR3)×eq \f(27,54)＝eq \f(ρ,2)，M＝eq \f(4,3)πρR3，解得：M′＝eq \f(2,81)πρR3，故选项C正确，D错误。
1．（2021年全国乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000 AU（太阳到地球的距离为1 AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受
的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：本题考查万有引力定律的应用。根据开普勒定律可得，其中是中心天体的质量。根据题图，S2的公转周期约为16年，设黑洞的质量为，则有，求得，B项正确。
2、（2021年全国甲卷）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为。已知火星半径约为，火星表面处自由落体的加速度大小约为，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为( )
A.B.C.D.
答案：C
解析：本题考查开普勒第三定律、万有引力作用下的天体运动。对火星表面的物体有，卫星绕火星表面做圆周运动，卫星有，根据开普勒第三定律可知，“天问一号”在停泊轨道对应的长半轴a的三次方跟周期的平方比值为常数，即，联立以上各式可得，代入题给数据可得，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为,C项正确。
3．据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星，假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(取g＝10 m/s2)( )
A．5∶2 B．2∶5
C．1∶10 D．10∶1
[解析] 根据h＝eq \f(v02,2g)和g＝eq \f(GM,R2)可得，M＝eq \f(R2v02,2Gh)，即ρeq \f(4,3)πR3＝eq \f(R2v02,2Gh)，行星平均密度ρ＝eq \f(3v02,8πGRh)∝eq \f(1,Rh)，在地球表面以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地＝eq \f(v02,2g地)＝5 m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为10∶1，选项D正确。
[答案] D
4．图甲所示为小球在一端固定于O点的轻弹簧的牵引下在光滑水平面上做椭圆运动的轨迹，图乙为某卫星绕地球做椭圆运动的轨迹，则下列说法中正确的是( )
甲
乙
A．小球由B经C到D点时间与由D经A到B点的时间相等
B．卫星由B′经C′到D′点时间与由D′经A′到B′点的时间相等
C．小球在A点的速度小于小球在B点的速度
D．若卫星在C′点的速度大小为v，则卫星在C′点的加速度大小为eq \f(v2,a′)
答案 AC
解析 根据运动的对称性可知小球由B经C到D点时间与由D经A到B点的时间相等，A项正确；由于卫星受到的引力充当向心力，在距离中心天体越近的地方，引力越大，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，可得v＝ eq \r(\f(GM,r))，所以距离中心天体越近，速度越大，故D′到A′到B′点过程中的速度大于由B′经C′到D′点过程中速度，两个过程中的路程相同，所以时间不等，B项错误；根据胡克定律可知，小球受到的弹力指向O点，从A到B过程中力与速度方向夹角为锐角，即弹力做正功，动能增大，故小球在A点的速度小于小球在B点的速度，C项正确；由于卫星在C′点时，运动半径大于a′，故加速度小于eq \f(v2,a′)，D项错误．
5．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍。那么，一个在地球表面能举起64 kg物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少(地球表面重力加速度g＝10 m/s2)( )
A．40 kg B．50 kg
C．60 kg D．30 kg
解析：选A 在地球表面，万有引力等于重力eq \f(GMm,R2)＝mg，得g＝eq \f(GM,R2)，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径是地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量为：m＝eq \f(m0,1.6)＝eq \f(64,1.6) kg＝40 kg，故A正确。
7.[多选]我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星­500”的模拟实验活动。假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的eq \f(1,2)，质量是地球质量的eq \f(1,9)。已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，王跃在地球表面能竖直向上跳起的最大高度为h，忽略自转的影响。下列说法正确的是( )
A．火星的密度为eq \f(2g,3πGR)
B．火星表面的重力加速度为eq \f(4g,9)
C．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相等
D．王跃在火星表面能竖直向上跳起的最大高度为eq \f(9h,4)
解析：选ABD 由Geq \f(mM,R2)＝mg，得到：g＝eq \f(GM,R2)，已知火星半径是地球半径的eq \f(1,2)，质量是地球质量的eq \f(1,9)，
则火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的eq \f(4,9)，即为g′＝eq \f(4,9)g，故B正确；
设火星质量为M′，由万有引力提供向心力可得：
Geq \f(M′m,R′2)＝mg′，解得：M′＝eq \f(gR2,9G)，
密度为：ρ＝eq \f(M′,V′)＝eq \f(2g,3πGR)，故A正确；
由Geq \f(mM,R2)＝meq \f(v2,R)，得到v＝ eq \r(\f(GM,R))，火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的eq \f(\r(2),3)倍，故C错误；
王跃以v0在地球起跳时，根据竖直上抛的运动规律得出可跳的最大高度是：h＝eq \f(v02,2g)，由于火星表面的重力加速度是eq \f(4,9)g，王跃以相同的初速度在火星上起跳时，向上跳起的最大高度h′＝eq \f(9,4)h，D正确。
8．[多选]质量为m的人造卫星在地面上未发射时的重力为G0，它在离地面的距离等于地球半径R的圆形轨道上运行时的( )
A．周期为4π eq \r(\f(2mR,G0)) B．速度为 eq \r(\f(2G0R,m))
C．动能为eq \f(1,4)G0R D．重力为eq \f(1,2)G0
解析：选AC 由万有引力提供向心力，则有
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r＝ma①
由题意可知，r＝2R。②
质量为m的人造卫星在地面上未发射时的重力为G0，
根据万有引力等于重力得：
GM＝gR2＝eq \f(G0,m)R2③
由①②③解得：周期T＝4π eq \r(\f(2mR,G0))，则A正确；
由①②③解得速度v＝ eq \r(\f(G0R,2m))，则B错误；
动能为Ek＝eq \f(1,4)G0R，则C正确；
由a＝eq \f(GM,r2)，则重力为ma＝eq \f(G0,4)，则D错误。
9.[多选]如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于eq \f(T0,4)
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
解析：选CD 在海王星从P到Q的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速度越来越小，C项正确；海王星从P到M的时间小于从M到Q的时间，因此从P到M的时间小于eq \f(T0,4)，A项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B项错误；从M到Q的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q到N的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功，D项正确。
10．(多选)某航天飞机在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
答案 ABC
解析 轨道Ⅱ为椭圆轨道，根据开普勒第二定律，航天飞机与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，可知近地点的速度大于远地点的速度，故A正确．根据开普勒第三定律，航天飞机在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上满足eq \f(R3,T\\al( 2,Ⅰ))＝eq \f(a3,T\\al( 2,Ⅱ))，又R>a，可知TⅠ>TⅡ，故C正确．航天飞机在A点变轨时，主动减小速度，所需要的向心力小于此时的万有引力，做近心运动，从轨道Ⅰ变换到轨道Ⅱ，又Ek＝eq \f(1,2)mv2，故B正确．无论在轨道Ⅰ上还是在轨道Ⅱ上，A点到地球的距离不变，航天飞机受到的万有引力一样，由牛顿第二定律可知向心加速度相同，故D错误.
11．嫦娥工程分为三期，简称“绕、落、回”三步走．我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，经变轨成功落月．若该卫星在某次变轨前，在距月球表面高度为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其运行的周期为T.若以R表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则( )
A．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为eq \f(2πR,T)
B．物体在月球表面自由下落的加速度大小为eq \f(4π2R＋h3,R2T2)
C．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为eq \f(2πR,T) eq \r(\f(R＋h,R))
D．月球的平均密度为eq \f(2π,GT2)
答案 B
解析 “嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径r＝R＋h，则线速度v＝eq \f(2πR＋h,T)，A错误．由eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，eq \f(GMm,R2)＝mg月，可得物体在月球表面自由下落的加速度g月＝eq \f(4π2R＋h3,R2T2)，B正确．因月球上卫星的最小发射速度为最大环绕速度，有eq \f(GMm卫,R2)＝eq \f(m卫v2,R)，又eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，可得v＝eq \f(2πR＋h,T) eq \r(\f(R＋h,R))，C错误．由eq \f(GMm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，ρ＝eq \f(M,V)，V＝eq \f(4,3)πR3，可得月球的平均密度ρ＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)，D错误．