(新高考专用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题11 立体几何中的向量方法（解析+原卷）学案

这是一份(新高考专用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题11 立体几何中的向量方法（解析+原卷）学案，文件包含新高考专用高考数学二轮热点题型归纳与变式演练专题11立体几何中的向量方法解析版docx、新高考专用高考数学二轮热点题型归纳与变式演练专题11立体几何中的向量方法原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共33页， 欢迎下载使用。
一．考情分析
二．热点题型归纳
【题型一】利用空间向量求空间角
【题型二】利用空间向量求空间距离
【题型三】利用空间向量解决探索型问题
三．最新模考题组练
【考情分析】
1.考查特点:高考对此部分内容主要以解答题的形式考查,难度为中档,有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第(1)问为主,常以多面体为载体;线面角和二面角是高考的热点,解答题中第(2)问必考.有时也与折叠问题、探索问题相结合命题.
2.关键能力:运算求解能力、空间想象能力、逻辑思维能力.
3.学科素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.
【题型一】利用空间向量求空间角
【典例分析】
【例1】(2021·枣庄市第三中学高三模拟)如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的正弦值.
【提分秘籍】
1.利用空间向量求空间角的一般步骤
(1)建立恰当的空间直角坐标系;
(2)求出相关点的坐标,写出相关向量的坐标;
(3)结合公式进行论证、计算;
(4)转化为几何结论.
2.求空间角应注意的3个问题
(1)两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β,即cs α=|cs β|.
(2)直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值,注意函数名称的变化.
(3)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,有可能为两法向量夹角的补角.
【变式演练】
1.（2021·天津南开中学高三三模）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D，E分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点P，使得平面PAB与平面所成二面角为？若存在，求出线段CP的长；若不存在，请说明理由.
【题型二】利用空间向量求空间距离
【典例分析】
【例2】（2021·安徽马鞍山市·高三二模）如图，六面体中，面且面，，，.
（1）求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求点到面的距离.
【提分秘籍】
点到平面的距离(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过A点的斜线段).
【变式演练】
1.（2021·上海交大附中高三模拟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC=4，BD=2，且侧棱AA1=3.其中O1为A1C1与B1D1的交点.
（1）求点B1到平面D1AC的距离；
（2）在线段BO1上，是否存在一个点P，使得直线AP与CD1垂直？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.
【题型三】利用空间向量解决探索型问题
【典例分析】
【例3】（2021•甲卷T19）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？
【提分秘籍】
利用空间向量巧解探索性问题的策略
(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题,它无须进行复杂的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断.
(2)解题时,把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等问题,所以为使问题的解决更简单、有效,应善于运用这一方法解题.
[提醒]探索线段上是否存在点时,注意三点共线条件的应用.
【变式演练】
1.（2021·湖北宜昌市·高三一模）如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上一动点.
（Ⅰ）求证：当点为线段的中点时，平面；
（Ⅱ）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.
1.（2021·山东潍坊高三模拟）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1⊥平面AA1C1C，D是AA1的中点，是边长为1的等边三角形.
（1）求证：CD⊥B1D；
（2）若BC=，求二面角B—C1D—B1的大小.
2．（2021·山东省实验中学高三一模）如图，已知长方体中，，，，，分别为，的中点.
（1）求过，，三点的截面的面积；
（2）一只小虫从点经上一点到达点，求小虫所经过路程最短时，直线与平面所成的角的正弦值.
3．（2021·济南市·山东省实验中学高三二模）如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，点，分别是和的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
4．（2021·山东滨州市·高三二模）如图，在四棱锥中，O是BD的中点，平面ABCD，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设，若二面角的余弦值为，求的值.
5．（2021·重庆一中高三模拟）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.
（1）求证：直线l⊥平面PAC；
（2）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF､直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由.
6.．（2021·山东德州市·高三一模）如图，四边形为梯形，，于，于，，，，现沿将折起，使为正三角形，且平面平面，过的平面与线段、分别交于、．
（1）求证：；
（2）在棱上（不含端点）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，说明理由．