专题9.2正弦定理与余弦定理的应用（B卷提升篇）-2021-2022学年高一数学必修第四册同步单元AB卷（新教材人教B版）

这是一份专题9.2正弦定理与余弦定理的应用（B卷提升篇）-2021-2022学年高一数学必修第四册同步单元AB卷（新教材人教B版），文件包含专题92正弦定理与余弦定理的应用B卷提升篇-2021-2022学年高一数学必修第四册同步单元AB卷新教材人教B版解析版doc、专题92正弦定理与余弦定理的应用B卷提升篇-2021-2022学年高一数学必修第四册同步单元AB卷新教材人教B版原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·全国高二（理））如图，一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距.此船的航速是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
设航速为
在中，，，，
由正弦定理得：，∴.
故选：C.
解三角形应用题的一般步骤：
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；
（3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；
（4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
2．（2020·江苏高一课时练习）如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（ ）
A．mB．mC．mD．m
【答案】A
【解析】
根据题中条件先求出，再由正弦定理，即可得出结果.
【详解】
∵中，，，
∴.
又∵中，m，
∴由正弦定理可得：，则m.
故选：A.
3．（2020·江苏高一课时练习）某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为（ ）
A．akmB．C．D．2akm
【答案】C
【解析】
根据余弦定理可求得结果.
【详解】
由题意知AC＝BC＝akm，∠ACB＝50°+70°＝120°，
由余弦定理得，
，
所以，
即门店A，B间的距离为.
故选：C.
4．（2020·重庆高三月考）《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个3丈高的标杆，之间距离为1000步，两标杆与海岛的底端在同一直线上.从第一个标杆M处后退123步，人眼贴地面，从地上A处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点共线；从后面的一个标杆N处后退127步，从地上B处仰望岛峰，人眼，标杆顶部和山顶三点也共线，则海岛的高为（3丈=5步）（ ）
A．1200步B．1300步C．1155步D．1255步
【答案】D
【解析】
设海岛的高为步，用表示和，列出方程即可求出.
【详解】
解：设海岛的高为步，由题意知，步，步，步，
步，则，即，
，所以，
则，解得，即海岛的高为步，
故选：D.
5．（2020·全国高二（理））如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若m，山坡对于地平面的坡角为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
先在中，利用正弦定理求得BC，再在中，利用正弦定理求得，然后由求解.
【详解】
在中，由正弦定理得：
，
在中，由正弦定理得：
，
因为，
所以，
故选：C
6．（2020·广东深圳市·明德学校高三月考）一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶到B处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
首先根据题意画出图形，设A处到山顶处下方的地面C距离为，则山高，再利用正弦定理即可得到答案.
【详解】
如图所示：
设A处到山顶处下方的地面C距离为，则山高，
在中，，，，
由正弦定理，得，
，
所以，.
故选：C
7．（2020·河南高三期中）如图，在离地面的热气球上，观察到山顶处的仰角为，在山脚处观察到山顶处的仰角为60°，若到热气球的距离，山的高度，，则（ ）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【答案】D
【解析】
首先根据直角三角形的性质得到，在中，由正弦定理得到，从而得到或，再分类讨论即可得到的值.
【详解】
在中，，，
∴
在中，由正弦定理知，
解得，∴或120°.
当时，则，，
所以，
当时，，，
.
∴.
故选：D
8．（2020·全国高三月考（理））如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为（塔顶大小和游客身高忽略不计）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】
由题意得，，．
故
在中，由正弦定理得
所以．
当游客甲到达处时，仰角为且．
因为为定长，所以当的长最小时，取最大值．
故当时，最大．
在中，
在中，，所以．
所以．
故选:A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．（2020·全国高三专题练习）已知在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出下列条件，其中使△ABC为等腰三角形的一个充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】
选项A，或或，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，该命题是必要条件，错误；
选项B，，即△ABC为等腰三角形，正确；
选项C，，即△ABC为直角三角形，错误；
选项D，，即△ABC为等腰三角形，正确.
故选：BD
10．（2020·山东省青岛第十七中学高一期中）下列说法正确的有（ ）
A．在△ABC中，a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A=sin 2B，则△ABC为等腰三角形
C．△ABC中，sin A＞sin B是A ＞B的充要条件
D．在△ABC中，若sin A=，则A=
【答案】AC
【解析】
由正弦定理，二倍角的正弦公式，逐一分析各个选项，即可求解.
【详解】
由正弦定理
可得：
即成立，
故选项A正确；
由可得或，
即或，
则是等腰三角形或直角三角形，
故选项B错误；
在中，由正弦定理可得
，
则是的充要条件，
故选项C正确；
在△ABC中，若sin A=，则或，
故选项D错误.
故选：AC.
11．（2019·胶州市实验中学高一期中）（多选题）如图，设的内角，，所对的边分别为，，，，且．若点是外一点，，，下列说法中，正确的命题是（ ）
A．的内角B．的内角
C．四边形面积的最大值为D．四边形面积无最大值
【答案】ABC
【解析】
先根据正弦定理化简条件得，再结合得，最后根据三角形面积公式表示四边形面积，利用余弦定理以及辅助角公式化为基本三角函数形式，根据三角函数性质求最值.
【详解】
,因此A,B正确；
四边形面积等于
因此C正确，D错误，
故选：ABC
12．（2020·江苏省清江中学高一期中）在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】
首先由正弦定理将条件化成边，然后由余弦定理求出，然后利用求出其范围即可.
【详解】
因为，由正弦定理可得：，
由余弦定理可得，所以.
由正弦定理得，，所以
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在处南偏西30°且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为______分钟.
【答案】
【解析】
利用余弦定理求出，即可求出该船到求助处的时间.
【详解】
解：由题意知：，，，
则在中，
利用余弦定理知：，
代入数据，得，
解得：，
则从到所用时间为，则，
即.
故答案为：.
14．（2020·河南新乡市·高二期中（文））如图，为测量小汽车的速度，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为，已知此山的高度为米，，则该小车的速度是__________千米/时.
【答案】
【解析】
在直角三角形中求出，然后由余弦定理求得后可得速度．
【详解】
由题意，，
在中，
∴速度为（千米/小时）．
故答案为：．
15．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，山高_______．
【答案】米
【解析】
设米，在直角三角形中表示出，利用的长求得，从而得．
【详解】
由，易得
，，
设，
则，
，
，
．
16．（2020·河南商丘市·高三月考（文））某中学组队到某村参加社会实践活动，村长让学生测量河流两岸与两点间的距离．同学们各抒己见，但李明想到一种测量方法，同学们一致认为很好．其方法是：在点处垂直底面竖立一根竹竿，在竹竿上取一点，使米，在处测得从看的俯角为．
①当和在同一水平面上时（如图1）．测得______米；
②当和不在同一水平面上（和，在同一水平面上）时（如图2），利用测角仪测得，此时，可测得______米．
【答案】
【解析】
①根据图示可知：，结合长度求解出结果；②根据条件先求解出的表示，然后在中根据正弦定理可得，化简此式可求解出的长度.
【详解】
①，由，得；
②，，
在中由正弦定理，得，解得．
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（2020·江苏高一课时练习）如图所示，高邮漫水公路AB一侧有一块空地OAB，其OA＝6km， km，∠AOB＝90°．市政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上
（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．
（1）若M在距离A点4km处，求点M，N之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使OMN的面积最小，并求出最小面积．
【答案】（1） ；（2）当时，三角形的面积最小，最小值为．
【解析】
（1）中，利用余弦定理可得，再利用余弦定理可得，中，利用正弦定理可得．
（2）设，中，利用正弦定理可得．在中，利用正弦定理可得．利用三角形面积计算公式及其正弦函数的性质即可得出．
【详解】
（1）OAB，其OA＝6km，km，∠AOB＝90°，
，
所以中，，
则，
在中，
中，，
所以．
（2）设
在中，得
在中，得 ．
，
因为，所以当时面积最小，最小值为．
此时中，则．
答：当时，三角形的面积最小，最小值为
方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
18．（2020·江苏高一课时练习）如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在△ADE区域内参观在AE上的点P处安装一可旋转的监控摄像头，∠MPN为监控角，其中M，N在线段D，E(含端点)上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=8米，AE=8米，AP=2米，.记∠EPM=θ，监控摄像头的可视区域△PMN的面积为S平方米.
（1）求S关于θ的函数关系式，并写出csθ的取值范围；
（2）求可视区域△PMN的面积的最小值.
【答案】（1）S=，csθ∈[，1]；（2）18(﹣1)平方米.
【解析】
（1）利用正弦定理，求出，即可求关于的函数关系式，当与重合时，θ=0，N与D重合时，cs∠APD=，求出，即可写出csθ的取值范围；
（2）当当2θ+=，即θ=时，求出取得最小值.
【详解】
（1）在△PME中，∠EPM=θ，PE=8﹣2=6(米)，∠PEM=，∠PME=﹣θ，
由正弦定理可得PM==，
同理，在△PNE中，PN=，
∴△PMN的面积为S=•PM•PN•sin∠MPN
=
=
=，
当M与E重合时，θ=0，
N与D重合时，cs∠APD=，
即θ=﹣arccs，
∴0≤θ≤﹣arccs，
∴≤csθ≤1，
综上所述，S=，csθ∈[，1]；
（2）由（1）知当2θ+=，即θ=时，
S取得最小值为=18(﹣1)平方米.
19．（2020·宁夏固原市·固原一中高三月考（理））如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度.
【答案】
【解析】
先根据题目条件确定出的长度，确定，的度数，然后在中利用正弦定理可求得的长度，然后在直角三角形中确定的长度．
【详解】
解：由题意可知，则,
又,所以,,
在中，由正弦定理得,即
解得：,
则，即山的高度为.
20．（2020·长垣市第十中学高二月考（理））如图，已知两条公路，的交汇点处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂，在两公路旁，（异于点）处设两个销售点，且满足，（千米），（千米），设．（注：）
（1）试用表示，并写出的范围；
（2）当为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）．
【答案】（1），；（2）时，工厂产生的噪声对学校的影响最小．
【解析】
（1）利用正弦定理可得的表达式；
（2）根据余弦定理表示出，结合三角函数最值可得的最大值，进而可求.
【详解】
（1）因为，在中，
因为，所以，
（2）在中，
，
当且仅当，即时，取得最大值36，即取得最大值6．
所以当时，工厂产生的噪声对学校的影响最小．
21．（2020·河南高二月考（文））某中学高二甲乙两名学生在学习了解三角形知识后决定利用所学知识去测量学校附近的一个高灯的高度，已知高灯在一立柱的最上方，甲在立柱正前方，站立测得眼睛观察立柱底端B与灯的顶端A的俯角与仰角分别为，，且，已知甲的眼睛到地面距离为1.6m.
（1）求灯的顶端A到地面的距离；
（2）若乙（身高忽略不计）在地面上选两点P，Q，，且在点P处观察A的仰角为，在点Q处观察A的仰角为，且，，求P，Q两点之间的距离（精确到0.1m）.参考数据：
【答案】（1）13.6m；（2）5.8m.
【解析】
（1）作出图形，从点C向作垂线，垂足为E，解三角形求出和，根据可得结果；
（2）求出，，利用余弦定理可得结果.
【详解】
（1）如图所示，甲的眼睛到地面距离，
，，
从点C向作垂线，垂足为E，
，所以，
，
所以，
即灯的顶端A到地面的距离为13.6m.
（2）由，可得，
所以，
因为，
所以.
所以P，Q两点之间的距离约为5.8m.
22．（2012·江苏盐城市·高三月考）如图所示，一科学考察船从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在离港口（为正常数）海里的北偏东角的处有一个供给科考船物资的小岛，其中,现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口正东已知，海里处的补给船，速往小岛装运物资供给科考船，该船方向全速追赶科考船，并在处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线围成的三角形的面积最时，这种补给最宜．
⑴ 求关于的函数关系；
⑵ 应征调为何值处的船只，补给最适宜．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析：⑴以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则直线方程为． 可求得，又，所以直线的方程为．与联立得点；
⑵，根据等号成立的条件可得结果.
详解：⑴以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则直线OZ方程为．
设点， 则，，
即，又，所以直线AB的方程为．
上面的方程与联立得点

⑵
当且仅当时，即时取等号，
⑵ 应征调为何值处的船只，补给最适宜．