专题4.5 一元函数的导数及其应用（单元测试卷）-2022年新高考数学一轮复习讲练测

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专题4.5 一元函数的导数及其应用单元测试卷一、单选题1．（2020·四川内江�高二期末（理））如图所示为的图象，则函数的单调递减区间是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由导函数图象，知或时，，∴的减区间是，．故选：C．2．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知函数在处取得极值，则（    ）A．1 B．2 C． D．-2【答案】C【解析】，依题意，即.此时，所以在区间上递增，在区间上递减，所以在处取得极大值，符合题意.所以.故选：C3．（2020·河南宛城�南阳华龙高级中学高二月考（理））已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的导数为，可得在处的切线的斜率为，即，为倾斜角，可得.故选：A.4．（2020·运城市景胜中学高二月考（文））函数在处的切线如图所示，则（    ）A．0 B． C． D．【答案】A【解析】因为切线过和,所以,所以切线方程为,取,则,所以,所以.故选:A.5．（2020·重庆高二期末）已知函数的导函数为，若，则（    ）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【解析】由题意知：.因为，所以，解得.故选：B.6．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，故为上的增函数，所以即，故选：D.7．（2020·吴起高级中学高二期末（文））已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（   ）A．  B． C． D．【答案】A【解析】解：时，，则单调递减；时，，则单调递增；时，，则f（x）单调递减．则符合上述条件的只有选项A．故选A．8．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知函数，若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以即在是减函数，因为，所以，即.故选：A.9．（2016·福建连城�高三期中（理））设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于恒成立，则（   ）A.         B.C.         D.【答案】A【解析】由于，为减函数，故，同理.10．（2020·河南禹州市高级中学高三月考（文））已知函数，则方程实根的个数为（   ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由可得或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处取得极小值，极小值为，绘制函数的图象如图所示，观察可得，方程的实根个数为3，故选B二、多选题11．（2020·山东潍坊�高二期末）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】对于A选项，，则，当时，恒有，是凸函数；对于B选项，，则，当上，恒有，是凸函数；对于C选项，若，则在上恒成立，是凸函数；对于D选项，若，则，则在上恒成立，故不是凸函数.故选：ABC.12．（2019·山东五莲�高二期中）如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（    ）A．在处导函数有极大值 B．在，处导函数有极小值C．在处函数有极大值 D．在处函数有极小值【答案】ABCD【解析】根据导函数的图像可知：的两侧左减右增，所以在，处导函数有极小值；的两侧左增右减，所以在处导函数有极大值.根据导函数的图像可知：的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在处函数有极大值.的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在处函数有极小值.而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.故选：ABCD13．（2021·江苏清江浦�淮阴中学高三开学考试）已知函数，若，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．D．当时，【答案】AD【解析】设，函数单调递增，所以，所以，即有，故A正确；设，则不是恒大于零，所以不恒成立，故 B错误；，不是恒小于零，所以不恒成立，故C错误；当时，，故，函数单调递增，故，即，又，所以，所以，所以有，故 D正确.故选：AD.14．（2020·全国高三其他）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）A．当时，B．函数有2个零点C．的解集为D．，，都有【答案】CD【解析】当时，，由奇函数定义可知，，故A错误；对于B，当时，，可知是函数的一个零点．当时，令，解得，即是函数的一个零点．由奇函数的性质可知，是函数的一个零点，因此函数有3个零点，故B错误；对于C，当时，令，解得，当时，令，解得，综上可知，的解集为，故C正确；对于D，，，都有．当时，，当时，是增函数，当时，是减函数，且时，，根据奇函数图象的性质可知，时，，，可知，故D正确，故选:CD．三、填空题15．（2020·辽宁葫芦岛�高二期末）已知函数的导函数为，且满足﹐则________．【答案】【解析】由题可知：，则所以，则故答案为：16．（2020·四川南充�高二期末（理））如果曲线在点处的切线垂直于直线，那么点的坐标为___________．【答案】(1,0)【解析】曲线在点P处的切线垂直于直线,曲线在点P处的切线的斜率,函数的导数为,设,,解得,,17．（2020·全国高三课时练习（理））若函数对任意的，恒成立，则x的取值范围为             .【答案】【解析】∵是上的奇函数，，则在定义域内为增函数，∴可变形为，∴，将其看作关于的一次函数，可得当时，恒成立，若，，若，，解得．四、双空题18．（2020·全国高二单元测试）已知函数，设x=1是的极值点，则a=___，的单调增区间为___.【答案】        【解析】由题意可得：是的极值点    即    令，可得的单调递增区间为19．（2020·辽宁高二期末）已知函数在处取得最小值m，函数，则________，曲线在点处的切线的斜率为________.【答案】        【解析】，因为，所以，当时，单调递减；当时，，单调递增.从而时，.因为，所以，故曲线在点处的切线的斜率为.故答案为：；.20．（2020·湖北荆门�高二期末）设是奇函数的导函数，，且对任意都有，则_________，使得成立的x的取值范围是_________．【答案】3        【解析】∵是奇函数，∴，设，则，，∴在上单调递减，由得，即，∴，得，故答案为：3；．21．（2020·北京海淀�人大附中高三其他）已知函数.（1）的零点是______；（2）若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是______.【答案】1和         【解析】 (1)由,当时,.当时,令有(2)画出的图象有因为过定点(0,−1),要使的图象与直线有且只有三个公共点,则,当时,函数的导数,函数在点(0,−1)处的切线斜率,此时直线和只有一个交点.当时,因为当时,,此时直线与的图象仍有三个交点.由图象知要使的图象与直线有且只有三个公共点,则满足,故答案为：(1). 或 (2). (0,2)五、解答题22．（2020·辽宁葫芦岛�高二期末）已知函数.（1）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）当时，，因为，所以，所以曲线函数在点处的切线方程为：．（2）定义域为．因为，，①当时，恒成立．所以函数在上单调递增．②当时，令，则或．所以当时，或；当时，，所以函数在和，上单调递增，在，上单调递减．综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和，上单调递增，在，上单调递减．23．（2020·四川内江�高二期末（理））已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若是函数的导函数，且在定义域内恒成立，求整数a的最小值.【答案】（1）减区间是，增区间；（2）2．【解析】（1）由已知，当时，，当时，，∴的减区间是，增区间；（2）函数的定义域是，定义域是，不等式为，∴不等式在上恒成立，∴在上恒成立，设，则，时，，，又在上是增函数，，，∴存在，使得，时，，时，，，即在上递增，在上递减，，，，∴，∵，∴，∴整数的最小值为2．24．（2020·四川南充�高二期末（理））已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）【解析】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）又当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，所以：令（a＞0）所以：在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，故：a的取值范围为[1，+∞）25．（2020·四川德阳�高三其他（理））已知函数，．（1）求函数的极值；（2）当时，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）∵，，∴，当时，恒成立，函数单调递减，函数无极值；当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；故函数的极小值为，无极大值.（2）证明：令，，故 ，令的根为，即 ，两边求对数得：，即 ，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴，∴，即原不等式成立.26．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））已知函数．（1）设是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．【答案】(1) 在和上单调递增，在上单调递减. (2) 【解析】（1）由题意，函数，则，因为是函数的极值点，所以，故，即，令，解得或.令，解得,所以在和上单调递增，在上单调递减.（2）由，当时，，则在上单调递增，又，所以恒成立；当时，易知在上单调递增，故存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，则，这与恒成立矛盾.综上，.27．（2020·河北石家庄�高二期末）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，是方程的两个不同的实数根，求证：．【答案】（Ⅰ）单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（1）依题意，，故当时，，当时， ，∴单调递减区间是，单调递增区间是 ；（2）因为，是方程的两个不同的实数根，∴，两式相减得，解得 ，要证：，即证：，即证：，即证，不妨设，令，只需证， 设，∴，令，∴， ∴在上单调递减，∴，∴，∴在为减函数，         ∴．即在恒成立，∴原不等式成立，即．