专题1.3 简单逻辑连接词、全称量词与存在量词-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【命题趋势】
1. 含有逻辑联结词的命题的真假判断，常结合函数、不等式、三角形问题等知识考查．
2．全称命题或特称命题的否定．
3．常以不等式、函数为载体判断命题真假，或已知命题真假求参数的取值范围.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．
①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；
②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；
③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷
❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.
❷“命题的否定”与“否命题”的区别
(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．
(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．
(2)命题真值表：
命题真假的判断口诀
p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.
2．全称量词与存在量词
3.全称命题与特称命题
4．全称命题与特称命题的否定
【素养清单•常用结论】
含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．
(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．
(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．
(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．
【真题体验】
1.（2019·全国Ⅲ卷文11）记不等式组表示的平面区域为D.命题；命题.下面给出了四个命题
①②③④
这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）
A．①③B．①②C．②③D．③④
【答案】A
【解析】为真命题，为假命题，所以为真，为真，为假，为假。
2. （2017全国Ⅰ卷理3））设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；
p4：若复数z∈R，则∈R．
其中的真命题为（ ）
A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4
【答案】B
【解析】若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；
p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；
p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；
p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．
故选：B．
3. (2017·山东卷)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2A．p∧q B．p∧(¬q)
C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)
【答案】B
【解析】因为判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又二次函数y＝x2－x＋1，其图象开口向上，所以x2－x＋1>0恒成立，所以p为真命题．对于命题q，取a＝2，b＝－3,22<(－3)2，而2>－3，所以q为假命题，¬q为真命题．因此p∧(¬q)为真命题．故选B．
4. (2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
【答案】D
【解析】由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，n＜x2”．故选D
5.（2015·全国Ⅲ卷理3）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（ ）
A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2=2n
【答案】C
【解析】命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n.
6．(2019·广州调考)四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】A
【解析】 因为x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，所以当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，所以①为假命题；当且仅当x＝±eq \r(2)时，x2＝2，所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≠0，所以③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，所以④为假命题．
7．(2019·唐山八中期末)若命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【解析】 因为命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋(a－1)x0＋1<0”等价于xeq \\al(2,0)＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.
【考法拓展•题型解码】
考法一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
解题技巧：判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
【例1】 (1)(2017·山东卷)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2A．p∧q B．p∧(¬q)
C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)
【答案】B
【解析】因为判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又二次函数y＝x2－x＋1，其图象开口向上，所以x2－x＋1>0恒成立，所以p为真命题．对于命题q，取a＝2，b＝－3,22<(－3)2，而2>－3，所以q为假命题，¬q为真命题．因此p∧(¬q)为真命题．故选B．
(2)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2，q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
【答案】C
【解析】因为y＝2x在R上为增函数，y＝－2－x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上为增函数，故p1是真命题．y＝2x＋2－x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题．所以q1：p1∨p2是真命题，因此排除B项和D项，q2：p1∧p2是假命题，q3：(¬p1)∨p2是假命题，排除A项．故选C．
考法二 全称命题和特称命题
归纳总结
(1)全称命题和特称命题真假的判断方法：
(2)全称命题和特称命题的否定要注意以下两点：
①否定量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【例2】 (1)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln 2”的否定为( )
A．对任意x∈R，都有x2B．不存在x∈R，使得x2C．存在x0∈R，使得xeq \\al(2,0)≤ln 2
D．存在x0∈R，使得xeq \\al(2,0)【答案】D
【解析】按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，命题的否定为“存在x0∈R，使得xeq \\al(2,0)(2)下列四个命题：
p1：∃x0∈(0，＋∞)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x0＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x0；
p2：∃x0∈(0,1)， eq lg\s\d4(\f(1,2)) x0＞ eq lg\s\d4(\f(1,3)) x0；
p3：∀x∈(0，＋∞)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＞ eq lg\s\d4(\f(1,2)) x；
p4：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＜ eq lg\s\d4(\f(1,3)) x.
其中的真命题是( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
【答案】D
【解析】对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x0>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x0成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝eq \f(1,2)时，有1＝ eq lg\s\d4(\f(1,2)) eq \f(1,2)＝ eq lg\s\d4(\f(1,3)) eq \f(1,3)> eq lg\s\d4(\f(1,3)) eq \f(1,2)成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与对数函数y＝ eq lg\s\d4(\f(1,2)) x在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与对数函数y＝ eq lg\s\d4(\f(1,3)) x性质可知，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))时，0 eq lg\s\d4(\f(1,3)) eq \f(1,3)＝1，所以p4是真命题．故选D．
(3)已知命题p：∀x>0，x＋eq \f(4,x)≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝eq \f(1,2)，则下列判断正确的是( )
A．p是假命题
B．q是真命题
C．p∧(¬q)是真命题
D．(¬p)∧q是真命题
【答案】C
【解析】当x>0时，x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧(¬q)是真命题，(¬p)∧q是假命题．
考法三 根据命题的真假求参数的取值范围
解题技巧:根据命题的真假求参数取值范围的解题策略
(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．
(2)与全称命题或特称命题真假有关的参数的值或范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
【例3】 (1)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
【答案】A
【解析】当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝eq \f(1,4)－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥eq \f(1,4)－m，所以m≥eq \f(1,4).故选A
(2)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为__________．
【答案】(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))
【解析】当p为真命题时，对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0成立⇔a＝0或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ<0，))所以0≤a<4.当q为真命题时，关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根⇔Δ＝1－4a≥0，所以a≤eq \f(1,4).因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假．所以若p真q假，则0≤a<4，且a>eq \f(1,4)，所以eq \f(1,4)【易错警示】
易错点 混淆“存在”与“任意”的含义
【典例】 命题“存在x∈[1,3]，使ex－1－m≤0”是真命题，则m的取值范围是__________．
【错解】因为命题“存在x∈[1,3]，使ex－1－m≤0”是真命题，即m≥ex－1成立，可使m满足m≥(ex－1)max；又当x∈[1,3]，1≤ex－1≤e2，因此只需m≥e2.(混淆“存在”与“任意”的含义)．
【错因分析】“存在x∈[1,3]，使ex－1－m≤0”是真命题，即当x∈[1,3]时，m≥ex－1能成立，这与恒成立不同，这里只需m≥(ex－1)min即可．
【正解】【答案】[1，＋∞)
【解析】由题意，只需m≥(ex－1)min，当x∈[1,3]，1≤ex－1≤e2，因此只需m≥1.
【跟踪训练】 已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1<0为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[0,1) B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
【答案】B
【解析】 命题¬p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≥0.当a＝0时，显然命题¬p不真；a≠0时，命题¬p为真的充要条件是a>0且Δ＝4－4a≤0，即a≥1.故¬p为真时a的取值范围A＝[1，＋∞)，故p为真时a的取值范围为∁RA＝(－∞，1)．故选B．
【递进题组】
1．(2019·衡水中学月考)命题p：∀x∈R，sin x＜1；命题q：∃x∈R，cs x≤－1，则下列结论是真命题的是( )
A．p∧q B．(¬p)∧q
C．p∨(¬q) D．(¬p)∧(¬q)
【答案】B
【解析】 p是假命题，q是真命题，所以B项正确．
2．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为( )
A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)
B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)
C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)
D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)
【答案】A
【解析】 y＝f(x)(x∈M)是偶函数⇔∀x∈M，有f(－x)＝f(x)成立，故其否定为∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)．
3．已知命题q：∀x∈R，x2＞0，则( )
A．命题¬q：∀x∈R，x2≤0为假命题
B．命题¬q：∀x∈R，x2≤0为真命题
C．命题¬q：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)≤0为假命题
D．命题¬q：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)≤0为真命题
【答案】D
【解析】 ∀x∈R，x2>0的否定为：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)≤0，显然否定为真命题．
4．若命题“∃x0∈R，xeq \\al(2,0)－2x0＋m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是__________．
【答案】 (1，＋∞)
【解析】 由题意，知命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”是真命题，故Δ＝(－2)2－4m<0，即m>1.
5．(2019·巴蜀中学月考)已知命题p：∀x∈[1,2]，x2≥a；命题q：∃x0∈R，xeq \\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0成立，若命题p∧q是真命题，则实数a的取值范围为__________．
【答案】 (－∞，－2]∪{1}
【解析】 若p是真命题，即a≤(x2)min，x∈[1,2]，所以a≤1；若q是真命题，即xeq \\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0有解，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命题p∧q是真命题，则p是真命题，q也是真命题，故有a≤－2或a＝1.
【考卷送检】
一、选择题
1．(2016·浙江卷)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
【答案】D
【解析】 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，n＜x2”．故选D．
2．(2019·北京朝阳期中)已知命题p：∀x∈R,2x＞0；命题q：在曲线y＝cs x上存在斜率为eq \r(2)的切线，则下列判断正确的是( )
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(¬q)是真命题 D．(¬p)∧q是真命题
【答案】C
【解析】 易知命题p是真命题，对于命题q，y′＝－sin x，设切点坐标为(x0，cs x0)，则切线斜率k＝－sin x0≠eq \r(2)，即不存在x0∈R，使得－sin x0＝eq \r(2)，所以命题q为假命题，所以¬q为真命题，所以p∧(¬q)是真命题，故C项正确．
3．(2019·忻州二中期末)已知命题p：x＞2是x2＞4的充要条件，命题q：若eq \f(a,c2)＞eq \f(b,c2)，则a＞b，那么( )
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．p真q假 D．p，q均为假
【答案】A
【解析】 由已知得命题p是假命题，命题q是真命题，根据真值表可知A项正确．
4．已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题q：∀x∈R，x2＞0.下列结论正确的是( )
A．命题p∧q是真命题
B．命题p∧(¬q)是假命题
C．命题(¬p)∨q是真命题
D．命题(¬p)∧(¬q)是假命题
【答案】D
【解析】 取x0＝eq \f(π,4)，有taneq \f(π,4)＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知D项正确．
5．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4]
B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
【答案】D
【解析】 命题p的否定是¬p：∃x∈R，ax2＋ax＋1<0成立，即不等式ax2＋ax＋1<0有解．当a＝0时，1<0，不等式无解；当a≠0时，要使不等式有解，则a2－4a>0，解得a>4或a<0，综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．故选D．
6．(2019·太原模拟)已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(¬q)为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]
C．R D．∅
【答案】B
【解析】 若p∨(¬q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m＜e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p∨(¬q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.
二、填空题
7．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
【答案】 0
【解析】 若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝0.
8．(2019·甘肃高台一中第三次检测)设p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，使函数g(x)＝lg2(tx2＋2x－2)有意义．若¬p为假命题，则实数t的取值范围为________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
【解析】 因为命题¬p为假命题，所以命题p为真命题．∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，使函数g(x)＝lg2(tx2＋2x－2)有意义等价于∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，使tx2＋2x－2＞0成立，即∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，使t＞eq \f(2,x2)－eq \f(2,x)成立．令h(x)＝eq \f(2,x2)－eq \f(2,x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，则∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，使t＞eq \f(2,x2)－eq \f(2,x)成立等价于t＞h(x)min.因为h(x)＝eq \f(2,x2)－eq \f(2,x)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,2)))2－eq \f(1,2)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))，所以当eq \f(1,x)＝eq \f(1,2)，即x＝2时，h(x)min＝－eq \f(1,2)，所以t＞－eq \f(1,2).
9．(2019·黄冈中学期中)下列结论：
①若命题p：∃x∈R，sin x＝－1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1＞0；则命题p∧(¬q)是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是eq \f(a,b)＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．
其中正确结论的序号为________．
【答案】 ①③
【解析】 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧(¬q)为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.
三、解答题
10．(2019·岳阳一中月考)已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若m＝5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 (1)设使命题p成立的集合为A，命题q成立的集合为B，则A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，所以A⊆B，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1＋m≥5，,1－m≤－1，))解得m≥4.故实数m的取值范围为[4，＋∞)．
(2)根据条件可知p，q一真一假．
当p真q假时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤5，,x>6或x<－4，))无解．
当p假q真时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>5或x<－1，,－4≤x≤6，))解得－4≤x<－1或5故实数x的取值范围为[－4，－1)∪(5,6]．
11．(2019·忻州二中期中)已知a＞0，命题p：函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减；命题q：∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0.若命题p∧q为真命题，求实数a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 若p为真，则对称轴x＝－eq \f(－4,2a)＝eq \f(2,a)在区间(－∞，2]的右侧，即eq \f(2,a)≥2，所以0＜a≤1.若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．所以Δ＝[－16(a－1)]2－4×16＜0，所以eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,2).因为命题p∧q为真命题，所以命题p，q都为真，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜a≤1，,\f(1,2)＜a＜\f(3,2)，))所以eq \f(1,2)＜a≤1.故实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
12．已知命题p：∃x∈[0,2]，lg2(x＋2)＜2m；命题q：关于x的方程3x2－2x＋m2＝0有两个相异实数根．
(1)若(¬p)∧q为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 令f(x)＝lg2(x＋2)，则f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，故当x∈[0,2]时，f(x)最小值为f(0)＝1，故若p为真，则2m＞1，m＞eq \f(1,2)；对于q：Δ＝4－12m2＞0，即m2＜eq \f(1,3)时，方程3x2－2x＋m2＝0有两相异实数根，所以－eq \f(\r(3),3)＜m＜eq \f(\r(3),3).
(1)若(¬p)∧q为真，则实数m满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤\f(1,2)，,－\f(\r(3),3)＜m＜\f(\r(3),3)，))故－eq \f(\r(3),3)＜m≤eq \f(1,2)，即实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(1,2))).
(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，若p真q假，则实数m满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞\f(1,2)，,m≤－\f(\r(3),3)或m≥\f(\r(3),3)，))即m≥eq \f(\r(3),3)；若p假q真，则实数m满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≤\f(1,2)，,－\f(\r(3),3)＜m＜\f(\r(3),3)，))即－eq \f(\r(3),3)＜m≤eq \f(1,2).综上所述，实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞)).
13．[选做题]命题p：f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时的最大值不超过2，命题q：正数x，y满足x＋2y＝8，且a≤eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)恒成立，若p∨(¬q)为假命题，求实数a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 当a≤0时，f(x)max＝f(0)＝1－a≤2，解得－1≤a≤0；
当0当a≥1时，f(x)max＝f(1)＝a≤2，解得1≤a≤2.
所以使命题p为真的a的取值范围是[－1,2]．
由x＋2y＝8得eq \f(x,8)＋eq \f(y,4)＝1，又x，y都是正数，
所以eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,8)＋\f(y,4)))＝eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,8y)＋\f(y,2x)))≥eq \f(1,2)＋2eq \r(\f(x,8y)·\f(y,2x))＝1，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,8y)＝\f(y,2x)，,x＋2y＝8，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝2))时，等号成立，
故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))min＝1.因为a≤eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)恒成立，所以a≤1，所以使命题q为真的a的取值范围是(－∞，1]．因为p∨(¬q)为假命题，所以p假q真，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－1或a>2，,a≤1，))
则a<－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1)．
p
q
p∧q
p∨q
非p
真
真
eq \a\vs4\al(真)
真
eq \a\vs4\al(假)
假
真
eq \a\vs4\al(假)
真
eq \a\vs4\al(真)
真
假
eq \a\vs4\al(假)
真
eq \a\vs4\al(假)
假
假
假
eq \a\vs4\al(假)
eq \a\vs4\al(真)
量词名称
常见量词
表示符号
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
命题名称
命题结构
命题简记
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，非p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，非p(x)
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
假
所有对象使命题假
否定为真