专题10.3 用样本估计总体-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．
2.理解样本数据标准差的意义和作用并会计算．
3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．
4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本数字特征估计总体的数字特征，理解用样本估计总体的思想.
【命题趋势】
根据样本数据求基本的数字特征，利用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
【核心素养】
本讲内容体现对数学运算，数据分析，数学建模核心素养的考查.
【素养清单•基础知识】
1．频率分布直方图
(1)纵轴表示eq \f(频率,组距)，即小长方形的高＝eq \f(频率,组距)；
(2)小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率；
(3)各个小方形的面积总和等于1 .
2．频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝eq \f(极差,组数)；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
3．茎叶图
茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，
茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁
边生长出来的数．
4．中位数、众数、平均数的定义
(1)中位数
将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
(2)众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
(3)平均数
一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
5．样本的数字特征
如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的
(1)平均数eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(2)标准差s＝ eq \r(\f(1,n)[(x1－\x\t(x))2＋(x2－\x\t(x))2＋…＋(xn－\x\t(x))2]).
(3)方差s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
【素养清单•常用结论】
1．频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为eq \x\t(x)，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq \x\t(x)＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
3．【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
4.【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．
5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．
6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．
【考法拓展•题型解码】
考法一 频率分布直方图及其应用
归纳总结
(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．
(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及已知范围结合求解．
【例1】 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；
(3)估计居民月均用水量的中位数．
考法二 茎叶图及其应用
归纳总结
由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示；其缺点是当样本容量较大时，作图较繁琐．
【例2】 在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩(百分制)制成如图所示的茎叶图.
(1)若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
(2)若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
考法三 样本的数字特征及其应用
归纳总结
平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的阐述．平均数、中位数、众数描述总体的集中趋势，方差和标准差描述波动大小．
【例3】 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算两组数据的平均数；
(2)分别计算两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些．
【易错警示】
易错点 利用直方图求中位数出错
【典例】 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数．
【错解】：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，所以直方图中x的值是0.007 5.
(2)由众数的定义知，月平均用电量的众数是220～240，因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45SB B.eq \x\t(x)ASB
C.eq \x\t(x)A>eq \x\t(x)B，SA