数学人教A版 (2019)8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题

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课时素养检测

三十　直线与平面垂直(一)

(30分钟　60分)

 一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c (　　)

A.一定平行     B.一定相交

C.一定是异面直线   D.一定垂直

【解析】选D.两条平行线中一条与第三条直线垂直,另一条直线也与第三条直线垂直.

2.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能 (　　)

A.平行   B.相交   C.异面   D.垂直

【解析】选A.若l∥m,l⊄α,m⊂α,则l∥α,这与已知l⊥α矛盾.所以直线l与m不可能平行.

3.若两直线l1与l2异面,则过l1且与l2垂直的平面 (　　)

A.有且只有一个

B.可能存在,也可能不存在

C.有无数多个

D.一定不存在

【解析】选B.当l1⊥l2时,过l1且与l2垂直的平面有一个,当l1与l2不垂直时,过l1且与l2垂直的平面不存在.

4.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两条对角线AC,BD的关系是 (　　)

A.垂直且相交    B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交    D.不垂直也不相交

【解析】选C.取BD中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,所以BD⊥平面AOC,BD⊥AC,又BD,AC异面,所以选C.

5.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,则PD与平面ABCD所成的角为图中的              (　　)

A.∠PAD    B.∠PDA

C.∠PDB    D.∠PDC

【解析】选B.因为PA⊥平面ABCD,所以AD是PD在平面ABCD上的射影,故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角.

6.(多选题)设l,m,n为三条不同的直线,α为一个平面,下列命题正确的有(　　)

A.若l⊥α,则l与α相交

B.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α

C.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α

D.若α∥β,l⊥α则l⊥β

【解析】选ACD.A显然正确;对B,只有当m,n相交时,才有l⊥α,故B错误;对C,由l∥m,m∥n⇒l∥n,由l⊥α,得n⊥α,故C正确;对D,α∥β,l⊥α则l⊥β正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA的长和两条对角线AC,BD都相等,且E为AD的中点,F为BC的中点,则直线BE和平面ADF所成的角的正弦值为________. 

【解析】连接EF,根据题意,BC⊥AF,BC⊥DF.因为AF∩DF=F,所以BC⊥平面ADF.

所以∠BEF是直线BE和平面ADF所成的角,

设BC=2,则BF=1,BE=,

所以sin∠BEF==.

答案:

8.(三空题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于________;AB1与平面ADD1A1所成的角等于________;AB1与平面DCC1D1所成的角等于________. 

【解析】∠B1AB为AB1与平面ABCD所成的角,即45°;∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1平行,即所成的角为0°.

答案:45°　45°　0°

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BC1D.

【证明】如图,连接AC,

所以AC⊥BD,又因为BD⊥A1A,AC∩AA1=A,AC,A1A⊂平面A1AC,

所以BD⊥平面A1AC,因为A1C⊂平面A1AC,所以BD⊥A1C.

同理可证BC1⊥A1C.又因为BD∩BC1=B,BD,BC1⊂平面BC1D,所以A1C⊥平面BC1D.

10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.

(1)证明:PB∥平面ACM;

(2)证明:AD⊥平面PAC;

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.

【解析】(1)如图,连接BD,MO.

在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,

所以O为BD的中点,又M为PD的中点,

所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,所以PB∥平面ACM.

(2)因为∠ADC=45°,且AD=AC=1,

所以∠DAC=90°,即AD⊥AC.

又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,

所以PO⊥AD,而AC∩PO=O,

所以AD⊥平面PAC.

(3)取DO的中点N,连接MN,AN.

因为M为PD的中点,所以MN∥PO,

且MN=PO=1.

由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,

所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.

在Rt△DAO中,AD=1,AO=,所以DO=,

从而AN=DO=.

在Rt△ANM中,tan∠MAN===,

即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.下列说法中正确的个数是 (　　)

①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α;

②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α;

③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;

④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.

A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3

【解析】选D.由直线和平面垂直的判定定理知①正确;由直线与平面垂直的定义知,②正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直,故③不对;④正确.

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 (　　)

A.    B.    C.    D.

【解析】选D.画出图形,如图所示,BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角,在三棱锥D-ACD1中,由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的垂心即中心H,则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角,设正方体的棱长为a,则cos∠DD1H==.

3.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线 (　　)

A.平行    B.相交

C.异面    D.以上皆有可能

【解析】选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A,B1B与底面ABCD所成的角相等,此时两直线平行;A1B1,B1C1与底面ABCD所成的角相等,此时两直线相交;A1B1,BC与底面ABCD所成的角相等,此时两直线异面.

4.(多选题)下列说法中错误的是 (　　)

A.若直线m∥平面α,直线l⊥m,则l⊥α

B.若直线l和平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α必相交

C.过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直

D.过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直

【解析】选AB.A错误.若直线m∥平面α,直线l⊥m,则l与α平行、相交或l在α内都有可能.B错误.若直线l和平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能,C.D正确.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.在三棱锥S-ABC中,SA=SB=SC,则点S在平面ABC上的射影一定在________. 

①BC边的中线上

②BC边的高线上

③BC边的中垂线上

④∠BAC的平分线上

【解析】设点S在平面ABC上的射影为O,连接OA,OB,OC,

因为SA=SB=SC,所以OA=OB=OC,

所以O是△ABC的外心,所以点S在平面ABC上的射影一定在BC边的中垂线上.

答案:③

6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形ABCD的面积为16,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为________. 

【解析】因为正方形ABCD的面积为16,

所以AB=BC=4,因为AB⊥平面BB1C1C,故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,即

∠AC1B=30°,

所以BC1=4,所以CC1==4.

所以长方体的体积V=16×4=64.

答案:64

7.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有AC1⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种即可,不必考虑所有可能的情形) 

【解析】要找底面四边形ABCD所满足的条件,

使AC1⊥B1D1,可从结论AC1⊥B1D1入手.

因为AC1⊥B1D1,BD∥B1D1,所以AC1⊥BD.

又因为CC1⊥BD,而CC1∩AC1=C1,CC1⊂平面ACC1,AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥平面ACC1,

所以BD⊥AC.此题答案不唯一.

答案:BD⊥AC(答案不唯一)

8.如图所示,E是正方形ABCD所在平面外一点,E在平面ABCD上的正投影F恰在AC上,FG∥BC,AB=AE=2,∠EAB=60°,则以下结论中正确的有__________(填序号). 

(1)CD⊥平面GEF.

(2)AG=1.

(3)以AC,AE作为邻边的平行四边形面积是8.

(4)∠EAD=60°.

【解析】连接EG,由EF⊥平面ABCD得EF⊥CD,

又FG∥BC,所以FG⊥AB,所以CD⊥FG.即得CD⊥平面GEF,故(1)正确;

因为∠EAB=60°,所以AG=AE=1,故(2)正确;

由题意得AF=,所以EF=,所以以AC,AE作为邻边的平行四边形面积是×2=4,故(3)不正确;

根据对称性可得∠EAD=∠EAB=60°,故(4)正确.

答案:(1)(2)(4)

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,PC=2,E,F分别是PA和AB的中点,求PA与平面PBC所成角的正弦值.

【解析】过A作AH⊥BC于H,连接PH,因为PC⊥平面ABCD,AH⊂平面ABCD,

所以PC⊥AH,又PC∩BC=C,所以AH⊥平面PBC.所以∠APH为PA与平面PBC所成的角,

因为在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,

所以△ABC为正三角形,又AH⊥BC,

所以H为BC中点, AH=,

因为PC=AC=2,所以PA=2,

所以sin∠APH==.

故PA与平面PBC所成角的正弦值为.

10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点.

(1)求证C1D⊥平面AA1B1B.

(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.

【解析】(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.

又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1.

因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,

所以AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B.

(2)作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F为所求.

因为C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,

所以AB1⊥平面C1DF.因为AA1=A1B1=,所以四边形AA1B1B为正方形.

又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,所以F为BB1的中点,所以当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.

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