【期中知识大串讲】第三单元《圆柱和圆锥》章节复习巩固—2021-2022学年数学六年级下册重难点讲义精讲精练（原卷+解析）人教版

这是一份【期中知识大串讲】第三单元《圆柱和圆锥》章节复习巩固—2021-2022学年数学六年级下册重难点讲义精讲精练（原卷+解析）人教版，文件包含期中知识大串讲第三单元《圆柱和圆锥》章节复习巩固2021-2022学年数学六年级下册重难点讲义精讲精练解析人教版docx、期中知识大串讲第三单元《圆柱和圆锥》章节复习巩固2021-2022学年数学六年级下册重难点讲义精讲精练原卷人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年人教版六年级下册同步重难点讲义精讲精练
第三单元 圆柱和圆锥





知识点一：面的旋转、圆柱和圆锥的特征
1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。
2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。
3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。
圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。
4. 圆柱和圆锥的切面：
（1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。
知识点二：圆柱的表面积
1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为
S表=S侧+2S底 或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr2
2. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。
3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。
4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。
知识点三：圆柱的体积
1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。
2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。
（1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。
（2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h
（3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h
（4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h
3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。
应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。
利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。
知识点四：圆锥的体积
1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。
2.圆锥体积的计算方法：
（1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h；
（2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h；
（3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h
3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱。
=
考点1：圆柱的特征
【典例分析01】（2021•勃利县）如图，切完后的截面（截面垂直于底面）的形状是（　　）

A．圆 B．平行四边形 C．梯形 D．长方形
【思路引导】根据几何体（圆柱）的特征，进行截面或剪完后展开即可判断形状。
【完整解答】解：如图，切完后的截面（截面垂直于底面）的形状是长方形。
故选：D。

【考察注意点】此题主要考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法。
【典例分析02】（2021春•龙岗区期中）下面可以画出圆的物体是（　　）
A． B． C．
【思路引导】根据圆柱的特征，圆柱的上下底面是完全相同的两个圆，所以根据圆柱可以画出圆。据此解答即可。
【完整解答】解：根据圆柱可以画出圆。
故选：B。
【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握圆柱的特征及应用。
【变式训练01】（2020春•东台市期中）一个蛋糕盒（如图），底面半径15厘米，高20厘米。做这个盒子需硬纸　3297　平方厘米，如图用彩带捆扎这个盒子，需彩带　215　厘米。（打结处用去彩带15厘米）

【思路引导】要求做这样一个蛋糕盒至少需要硬纸多少平方厘米，就是求出这个圆柱体的表面积，根据圆柱体的表面积＝侧面积+底面积×2＝2πrh+2πr2，代入数据即可解答；
通过观察，捆扎这个盒子至少用彩带的长度是4个蛋糕盒底面直径和4个蛋糕盒高的和，再加上打结用去的绳长即可。
【完整解答】解：3.14×15×2×20+3.14×152×2
＝1884+1413
＝3297（平方厘米）
底面直径为：15×2＝30（厘米）
30×4+20×4+15
＝120+80+15
＝215（厘米）
答：做这个盒子需硬纸3297平方厘米，用彩带捆扎这个盒子，需彩带215厘米。
故答案为：3297，215。
【考察注意点】本题考查的是圆柱表面积计算公式的运用；计算需要彩带多少厘米时不要忘记加上打结处绳子的长度。
【变式训练02】指出下面各圆柱的底面、侧面和高．

【思路引导】根据圆柱的特征，圆柱的上下面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是长方形；两个底面之间的距离叫做圆柱的高；由此解答．
【完整解答】解：

【考察注意点】本题主要考查了圆柱的特征．
考点2：圆锥的特征
【典例分析03】（2021•佛山模拟）将圆锥的侧面展开，得到的图形是一个（　　）
A．扇形 B．梯形 C．三角形 D．长方形
【思路引导】根据圆锥的特征：圆锥的底面是个圆面，把圆锥的侧面展开后是一个扇形；据此解答即可。
【完整解答】解：圆锥的底面是个圆面，圆锥的侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。
故选：A。
【考察注意点】此题考查了圆锥的侧面展开图的特点，是对圆锥基础知识的掌握情况的了解，应注意平时基础知识的积累。
【典例分析04】下面图形以直线为轴快速旋转一周后会形成什么图形？连一连．

【思路引导】本题是一个平面图形围绕一条轴旋转一周，根据圆柱、圆锥以及圆台的侧面展开图的特点即可解答．
【完整解答】解：第一个三角形旋转一周，得到的是圆锥；
第二个长方形旋转一周，得到的是圆柱；
第三个三角形旋转一周，得到的是合起来的两个圆锥；
第四个梯形旋转一周，得到的是圆台．

【考察注意点】此题考查了点、线、面、体，重在体现面动成体：考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力．
【变式训练03】（2020•滕州市）如图所示长方形、半圆形、梯形、三角形快速旋转一周，能形成什么图形？请你连一连．

【思路引导】本题是一个平面图形围绕一条轴旋转一周，根据圆柱、圆锥以及圆台、球的侧面展开图的特点即可解答．
【完整解答】解：第一个长方形旋转一周，得到的是圆柱；
第二个半圆形旋转一周，得到的是球体
第三个梯形旋转一周，得到的是圆台；
第四个三角形旋转一周，得到的是圆锥；

【考察注意点】此题考查了点、线、面、体，重在体现面动成体：考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力．
【变式训练04】回家后，用红萝下削一个圆柱体和一个圆锥体。

（1）想一想：如果横着切或竖着切，所得到横截面分别是什么形状？动手切一切。
（2）如果斜着切呢？试一试。
【思路引导】（1）圆柱横截面是圆形，所以横着切开后截面是圆形；竖截面是长方形，所以竖着切是长方形；圆锥横截面是圆形，所以横着切开后截面是圆形；竖截面是三角形，所以竖着切是三角形；
（2）圆柱斜着切开后都是椭圆形；圆锥斜切方式不同，截面形状不同。
【完整解答】解：（1）圆柱横着切开后截面是圆形，竖着切是长方形；
圆锥横着切开后截面是圆形，竖着切是三角形；
（2）圆柱斜着切开后都是椭圆形；圆锥斜切方式不同，截面形状不同，如图所示：

【考察注意点】本题主要考查圆柱和圆锥的特征，切的方式不同，截面形状不同。
考点3：圆柱的展开图
【典例分析05】（2021•庐江县）下面三幅图中，不可能是圆柱侧面展开图的是（　　）
A．B． C．
【思路引导】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，如果不沿高线剪，斜着剪开将会得到一个平行四边形，如果侧面不是规则来剪开的可以得到选项B的图形。据此解答。
【完整解答】解：根据圆柱侧面展开图的特征可知：圆柱的侧面展开图可能是长方形、也可能是平行四边形、或是不规则图形。不可能是梯形。
故选：C。
【考察注意点】本题考查了圆柱的侧面展开图，同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，熟记常见几何体的侧面展开图．圆柱的侧面展开图不仅可以是平行四边形，而且还可以是其它图形，这要取决于侧面展开时是如何剪开的。
【典例分析06】（2021•巨野县）圆柱的侧面沿高剪开如果是一个正方形，则圆柱的高与底面直径之间的比是1：n。 　×　（判断对错）
【思路引导】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个的圆柱的底面周长和高相等。据此判断。
【完整解答】解：如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形，那么这个的圆柱的底面周长和高相等。
由此可知，圆柱的侧面沿高剪开如果是一个正方形，则圆柱的高与底面直径之间的比是π：1。
因此，题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【考察注意点】此题考查的对目的是理解掌握圆柱侧面展开图的特征及应用。
【变式训练05】（2020•四子王旗）图中是一块长方形铁皮（每个方格的边长表示1分米），剪下图中的涂色部分可以围成一个圆柱．这个圆柱的底面积是　3.14　平方分米；侧面积是　12.56　平方分米；表面积是　18.84　平方分米；体积是　6.28　立方分米．

【思路引导】结合图形，找出底面半径和圆柱的高，利用底面积S＝πr2，侧面积S＝长×宽，V＝Sh即可解决问题．
【完整解答】解：底面积为：S＝πr2＝3.14×12＝3.14平方分米，
侧面积为：S＝长×宽＝6.28×2＝12.56平方分米，
表面积为：12.56+3.14×2＝12.56+6.28＝18.84平方分米，
体积为：V＝Sh＝3.14×2＝6.28立方分米
答：这个圆柱的底面积是3.14平方分米；侧面积是12.56平方分米；表面积是18.84平方分米；体积是6.28立方分米．
故答案为：3.14；12.56；18.84；6.28．
【考察注意点】此题考查了圆柱体的展开图与公式的综合应用．
【变式训练06】（2015春•潘集区月考）标出圆柱侧面展开图的数据（单位：厘米）．

【思路引导】圆柱的侧面积是一个长是3.14×8＝25.12厘米，宽是10厘米的长方形，据此解答．
【完整解答】解：长是3.14×8＝25.12（厘米），
宽是10厘米，
如图：

【考察注意点】解答此题的主要依据是：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高．
考点4：圆柱的侧面积和表面积
【典例分析07】（2021•徐州模拟）一个圆柱体木块切成四块（如图一），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图二），表面积增加50.24平方厘米，削成一个最大的圆锥体（如图三），体积减少了（　　）立方厘米。
A．2π B．6π C．8π D．4π
【思路引导】根据圆柱的切割特点可知，如图二切割成3块，则表面积是增加了4个圆柱的底面的面积，据此求出一个底面的面积，根据圆的面积公式可得：r2＝12.56÷3.14＝4，因为22＝4，所以这个圆的半径是2厘米，再根据图一的切割方法，沿底面直径切割后，表面积是增加了8个以底面半径和高为边长的长方形，据此可以求出这个长方形的面积是：48÷8＝6（平方厘米），因为半径是2厘米，所以利用长方形的面积公式可得，圆柱的高是：6÷2＝3（厘米），据此求出了圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的体积公式即可求出这个圆柱的体积，如图三，把这个圆柱先削成一个最大的圆锥，则削掉的部分的体积就是这个圆柱的体积的。
【完整解答】解：50.24÷4＝12.56（平方厘米）
12.56÷3.14＝4，因为22＝4
所以这个圆柱的底面半径是2厘米
48÷8÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
π×22×3×（1﹣）
＝π×4×3×
＝8π立方厘米）
答：体积减少了8π立方厘米。
故选：C。
【考察注意点】抓住圆柱的两种切割特点，根据增加的表面积分别求出这个圆柱的底面半径和高，是解决本题的关键。
【典例分析08】（2021•徐闻县校级模拟）把圆柱的侧面沿着一条高展开，展开后可得到一个长方形，它的长等于圆柱的 　 　，宽等于圆柱的 　 　，所以圆柱的侧面积＝　 　×　 　，用字母表示 　 　。
【思路引导】回忆圆柱侧面展开图，把圆柱的侧面沿它的一条高剪开，可得到一个长方形，这个长方形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高；据此解答。
【完整解答】解：把圆柱的侧面沿着一条高展开，展开后可得到一个长方形，它的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，所以圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示S＝ch。
故答案为：底面周长，高，底面周长，高，S＝ch。
【考察注意点】本题主要考查了学生对圆柱侧面特征的掌握情况。
【变式训练07】（2021•宁津县）如图：一个底面直径为4分米，高为5分米的圆柱，把它的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是 　6.28　分米，宽是 　2　分米，表面积比原来增加了 　20　平方分米。

【思路引导】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，这个长方体的长等于圆柱底面周长的一半，宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高。这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：长方体的长：3.14×4÷2＝6.28（分米）
长方体的宽：4÷2＝2（分米）
表面积增加：
2×5×2
＝10×2
＝20（平方分米）
答：这个长方体的长是6.28分米，宽是2分米，表面积增加20平方分米。
故答案为：6.28、2、20。
【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程及应用，以及圆柱的表面积、长方体的表面积的意义及应用。
【变式训练08】（2019•益阳模拟）一个圆柱形水池，水池内壁和底面都要镶上瓷砖，水池底面直径6米，池深1.2米．镶瓷砖的面积是多少平方米？

【思路引导】由题意知，镶瓷砖的部分是内侧面和底面，要求镶瓷砖的面积，可用内侧面积加上底面积即可．
【完整解答】解：3.14×6×1.2+3.14×（6÷2）2，
＝3.14×7.2+3.14×9，
＝3.14×16.2，
＝50.868（平方米）；
答：镶瓷砖的面积是50.868平方米．
【考察注意点】此题是考查圆柱形水池内表面积的计算，要注意是内侧面积加一个底面的面积．
18．（2018春•禹城市期中）一种没有盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径4分米、高6分米．做一个这样的水桶大约用铁皮多少平方分米？
【思路引导】首先分清制作没有盖的圆柱形铁皮水桶，需要计算几个面的面积：侧面面积与底面圆的面积两个面，由圆柱体侧面积和圆的面积计算方法列式解答即可．
【完整解答】解：水桶的侧面积：
3.14×4×6
＝3.14×24
＝75.36（平方分米）
水桶的底面积：
3.14×（4÷2）2
＝3.14×22
＝12.56（平方分米）
水桶的表面积：75.36+12.56＝87.92（平方分米）
答：做一个这样的水桶大约用铁皮87.92平方分米．
【考察注意点】解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或面积的问题，把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决．
考点5：圆柱的体积
【典例分析09】（2021春•卧龙区期中）两个完全一样的圆柱形钢材焊接成一个更大的圆柱体后，长是1m，表面积减少了50dm2，原来每个圆柱体的体积是　 。
【思路引导】根据题意可知，把两个完全一样的圆柱形钢材焊接成一个更大的圆柱体后，表面积减少了50平方分米，表面积减少的是两个底面的面积，据此可以求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：1米＝10分米
50÷2×（10÷2）
＝25×5
＝125（立方分米）
答：原来每个圆柱体的体积是125立方分米。
故答案为：125。
【考察注意点】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【典例分析10】021•承德）求下列各图形的体积。（单位：dm）

【思路引导】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：3.14×52×2
＝3.14×25×2
＝78.5×2
＝157（立方分米）
6×6×6＝216（立方分米）
答：圆柱的体积是157立方分米，正方体的体积是216立方分米。
【考察注意点】此题主要考查圆柱的体积公式、正方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【变式训练09】．（2021春•卧龙区期中）根据如图玻璃容器中水的变化，你知道大正方体的体积是多少？

【思路引导】根据题意，容器有水200立方厘米，一个大正方体和一个小正方体的体积共（630﹣200）立方厘米，一个大正方体和3个小正方体的体积共（850﹣200）立方厘米，首先求出1个小正方体的体积是多少立方厘米，进而求出大正方体的体积。
【完整解答】解：（850﹣200）﹣（630﹣200）
＝650﹣430
＝220（立方厘米）
220÷（3﹣1）
＝220÷2
＝110（立方厘米）
630﹣200﹣110
＝430﹣110
＝320（立方厘米）
答：大正方体的体积是320立方厘米。
【考察注意点】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，以及等量代换的方法及应用。
【变式训练10】（2021春•郑州期中）自来水管的内直径是2厘米，水管内水流速度是每秒8厘米，一位同学去洗手池洗手，走时忘了关水龙头，水白流了5分钟，你知道他浪费了多少水吗？
【思路引导】浪费水的体积是一个圆柱的体积，圆柱的底面积为水管道的横截面积，圆柱的高为水流过的距离，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数值计算即可。
【完整解答】解：5分钟＝300秒
3.14×（2÷2）2×8×300
＝3.14×8×300
＝25.12×300
＝7536（cm3）
答：他浪费了7536立方厘米的水。
【考察注意点】本题主要考查了圆柱体积的应用，熟记公式是本题解题的关键。
考点6：圆柱的侧面积、表面积和体积
【典例分析11】（2021秋•鼎城区期末）把一根1米长的圆柱形木料，平均截成3段，表面积增加了12平方分米，原来这根木料的体积是 　 立方分米。
【思路引导】根据题意可知，把这根圆柱形木料横截成3段，需要截2次，每截一次就增加2个截面的面积，由此可知，表面积增加的是4个截面的面积，据此可以求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：1米＝10分米
12÷4×10
＝3×10
＝30（立方分米）
答：原来这根木料的体积是30立方分米。
故答案为：30。
【考察注意点】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是求出圆柱的底面积。
【典例分析12】（2021•如东县）有圆柱体与正方体容器各一个。圆柱体的底面直径与正方体的棱长都是4分米。圆柱体里装有2分米高的水，这时水与圆柱体的接触面积是多少平方分米？把圆柱体中的水倒入正方体容器内，这时水面高多少分米？（计算结果保留π）
【思路引导】因为水与圆柱体的容器的接触面只有侧面和底面，根据圆柱的表面积公式S＝侧面积+底面积，将数据代入即可得出答案。
把圆柱体中的水倒入正方体容器内，水的体积不变，根据圆柱的体积公式V＝Sh，先求出水的体积，再根据h＝V÷S（正方形面积公式S＝棱长×棱长），将数据代入，即可得出水面高度
【完整解答】解：4π×2+（4÷2）²×π
＝8π+4π
＝12π（平方分米）
（4÷2）²×π×2÷（4×4）
＝8π÷16
＝0.5π（分米）
答：水与圆柱体的接触面积是12π平方分米，水面高0.5π分米。
【考察注意点】本题考查学生对圆柱表面公式和圆柱体积公式的掌握和运用，解答时要注意水从圆柱体中导入正方体容器内，水的体积不变。
【变式训练11】（2021秋•亭湖区校级期末）长方体体积可以用底面积乘高来计算。猜一猜，上、下底面都是等腰梯形的物体体积，怎么算？先把公式补充完整，再说说理由。
猜测：V＝　底面积×高　。
理由：　先求梯形面积S＝（上底十下底）×高÷2，四棱柱体积V则为梯形面积S×棱柱高h　。

【思路引导】根据棱柱的体积＝底面积×高，首先根据梯形的面积公式：S＝（ 上底+下底）×高÷2，求出这个棱柱的底面积，然后把数据代入棱柱的体积公式解答。
【完整解答】解：猜测：V＝底面积×高，
理由：先求梯形面积S＝（上底十下底）×高÷2，
四棱柱体积V则为梯形面积S×棱柱高h。
故答案为：底面积×高，先求梯形面积S＝（上底十下底）×高÷2，四棱柱体积V则为梯形面积S×棱柱高h。
【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握棱柱的体积公式及应用。
【变式训练12】（2021春•阳信县期中）你还记得圆的面积计算公式和圆柱体积计算公式的推导过程吗？请根据图回答问题。

（1）在研究圆的面积和圆柱体积公式的推导过程中，我们都用到了哪些数学思想方法？
（2）通过观察拼成后的长方体与原来的圆柱有怎样的关系？得到了什么结论？
（3）请进一步观察图二，圆柱的高是10厘米，拼成近似的长方体，表面积增加了60平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？（圆周率取3.14）
【思路引导】（1）圆的面积公式的推导和圆柱体积公式的推导都是用“转化”的思想方法，化曲为直，化圆为方的方法。
（2）根据圆柱体积公式的推导过程可知，把圆柱切拼成一个近似长方体，这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，因为长方体的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积＝底面积×高。
（3）把圆柱切拼成近似长方体后，长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，据此可以求出圆柱的底面半径，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：（1）在研究圆的面积和圆柱体积公式的推导过程中，我们都用到了“转化”的数学思想方法，即化曲为直，化圆为方的方法。
（2）把圆柱切拼成近似长方体后体积不变，拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，因为长方体的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积＝底面积×高。
（3）圆柱的底面半径：
60÷2÷10
＝30÷10
＝3（厘米）
3.14×32×10
＝3.14×9×10
＝28.26×10
＝282.6（立方厘米）
答：这个圆柱的体积是282.6立方厘米。
【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握“转化”的思想方法在 圆柱体积公式推导过程中的应用，以及圆柱体积公式的灵活运用。
考点7：圆锥的体积
【典例分析13】（2021•如东县）如图，把等腰三角形绕它的底边上的高旋转一周，得到的立体图形的体积是（　　）立方厘米（结果保留π）。

A．24π B．18π C．8π D．6π
【思路引导】由题意可知，得到的立体图形是一个圆锥，且圆锥的高是2厘米，底面半径是3厘米，代入圆锥的体积公式即可求解。
【完整解答】解：圆锥的体积：×π×32×2＝6π（立方厘米）
答：得到的立体图形的体积是6π立方厘米。
故选：D。
【考察注意点】解答此题的关键是明白，得到的立体图形是一个圆锥，且圆锥的高是2厘米，底面半径是3厘米。
【典例分析14】（2021春•隆回县期中）下面说法正确的有（　　）
A．圆柱体积比圆锥体积大
B．圆柱体积是圆锥体积的3倍
C．圆柱比与它等底等高的圆锥体积大2倍
【思路引导】A.在没有确定圆柱和圆锥是否等底等高的前提条件下，就无法确定圆柱和圆锥体积的大小。据此判断。
B.同理：在没有确定圆柱和圆锥是否等底等高的前提条件下，就无法确定圆柱和圆锥体积的大小。据此判断。
C.等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以圆柱比与它等底等高的圆锥体积大2倍。据此判断。
【完整解答】解：由分析得：
A.圆柱的体积比圆锥的体积大，此说法错误。
B.圆柱的体积是圆锥体积的3倍。此说法错误。
C.圆柱比与它等底等高的圆锥体积大2倍。此说法正确。
故选：C。
【考察注意点】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
【变式训练13】（2021•黔东南州）在一个盛满水的底面半径是20厘米的圆柱形容器里，有一个底面半径是10厘米的钢铸圆锥浸没在水中，取出圆锥后，容器里的水下降5厘米。这个圆锥的高是多少厘米？
【思路引导】根据题意可知，圆柱形容器内下降部分水的体积就等于这个圆锥的体积。根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷÷S，把数据代入公式求出圆锥的高。
【完整解答】解：3.14×202×5÷÷（3.14×102）
＝3.14×400×5×3÷314
＝1256×5×3÷314
＝6280×3÷314
＝18840÷314
＝60（厘米）
答：这个圆锥的高是60厘米。
【考察注意点】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是明白：当把圆锥从圆柱形容器中取出后，下降部分水的体积就等于这个圆锥的体积。
【变式训练14】（2021•潼关县）把三角形ABC沿着边AB、BC分别旋转一周，得到两个圆锥（如图1、图2），谁的体积大？大多少？（单位：厘米）

【思路引导】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，解答此题即可。
【完整解答】解：图1：3.14×3×3×6÷3＝56.52（立方厘米）
图2：3.14×6×6×3÷3＝113.04（立方厘米）
113.04﹣56.52＝56.52（立方厘米）
答：图2体积大，大56.52立方厘米。
【考察注意点】熟练掌握圆锥的体积公式，是解答此题的关键。

基础练
一．选择题
1．（2021•旌阳区）如图，把一个底面半径为4cm的圆柱切开，再像右图那样拼起来，得到一个近似长方体。长方体的表面积比圆柱增加了40cm2，这个圆柱的高是（　　）cm。

A．4 B．5 C．10
【思路引导】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把圆柱切拼成一个近似长方体，体积不变，拼成长方体的表面积比圆柱的表面积增加了以圆柱的高为长．圆柱的底面半径为宽的两个长方形的面积，已知长方体的表面积比圆柱增加了40平方厘米，由此可以求出圆柱的高。
【完整解答】解：40÷2÷4＝5（厘米）
答：圆柱的高是5厘米。
故答案为：5。
故选：B。
2．（2021•满城区）把一张长25.12cm、宽18.84cm的长方形纸卷成一个圆柱形纸筒（接头处刚好对接，没有重叠）。这个纸筒的底面直径不可能是（　　）厘米。
A．8 B．7 C．6
【思路引导】圆柱的侧面积＝底面周长×高，所以这个圆柱的底面周长为25.12cm或18.84cm，那么可根据圆的周长公式C＝πd进行计算即可得到答案。
【完整解答】解：25.12÷3.14＝8（cm）
18.84÷3.14＝6（cm）
答：这个纸筒的底面直径可能是8cm或6cm，不可能是7cm。
故选：B。
3．（2021•南开区）一根圆柱形木料，如果沿着底面直径劈成两半，表面积增加120平方厘米。如果拦腰平均截成两个小圆柱，表面积增加157平方厘米。这根圆柱形木料原来的高是（　　）厘米。
A．2.4 B．6 C．12 D．24
【思路引导】截成两个小圆柱，表面积增加了两个圆柱的底面积，先根据表面积增加157平方厘米，求出这个圆柱的底面半径。沿着底面直径劈成两半，表面积是增加了两个以底面直径和高为边长的长方形的面积；代入上面求出的底面半径，即可求出这个圆柱的高。据此解答。
【完整解答】解：157÷2÷3.14
＝78.5÷3.14
＝25（平方厘米）
因为5×5＝25，所以说这个圆柱形的木料的底面半径是5厘米。
120÷2÷（5×2）
＝60÷10
＝6（厘米）
答：这根圆柱形木料的高是6厘米。
故选：B。
4．（2021•杭州）一个圆锥底面半径是6厘米，高是12厘米，熔铸成一个圆柱。下列四个圆柱中，（　　）是由该圆锥熔铸而成的。
A．圆柱底面半径6厘米，高3厘米
B．圆柱底面直径4厘米，高4厘米
C．圆柱底面面积36π平方厘米，高4厘米
D．圆柱底面周长12π厘米，高12厘米
【思路引导】因为熔铸前后的体积不变，所以先根据圆锥的体积公式可得：圆锥的体积＝Sh，即得出圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：圆柱的高＝圆柱体体积÷底面积，求出这圆柱的高，据此计算即可解答。
【完整解答】解：①当圆柱的底面半径为6厘米时，即底面积为36π平方厘米，
则圆柱的高为：×π×36×12÷36π
＝144π÷36π
＝4（厘米）
②当圆柱的底面半径为4厘米时，即底面积为16π平方厘米，
则圆柱的高为：×π×36×12÷16π
＝144π÷16π
＝9（厘米）
答：当圆柱的底面半径为6厘米时，圆柱的高为4厘米；当圆柱的底面半径为4厘米时，圆柱的高为9厘米。
所以圆柱底面面积36π平方厘米，高4厘米是由该圆锥熔铸而成。
故选：C。
二．填空题
5．（2021春•阳信县期中）将一个底面直径是8分米、高是10分米的圆柱，沿底面直径垂直割开（如图），它的表面积会增加 　160　平方分米；如果将它按右边那样横切成两段，那么它的表面积会增加 　100.48　平方分米。

【思路引导】沿圆柱底面直径切成相等的两半，则切割后表面积增加了两个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面积，根据长方形的面积公式解答即可；把一个圆柱沿着横截面切成两段后，表面积增加两个底面的面积，根据圆的面积公式解答即可。
【完整解答】解：8×10×2
＝80×2
＝160（平方分米）
3.14×（8÷2）2×2
＝3.14×42×2
＝3.14×16×2
＝100.48（平方分米）
答：沿底面直径垂直割开（如图），它的表面积会增加160平方分米；如果将它按右边那样横切成两段，那么它的表面积会增加100.48平方分米。
故答案为：160，100.48。
6．（2021•如东县）如图长方形长3分米，宽2分米。以宽边的中点连线（如图）为轴旋转一周所形成的立体图形的表面积是 　8π　平方分米，以宽边为轴旋转一周所形成的立体图形的体积是 　18π　立方分米（计算结果保留π）。

【思路引导】根据圆柱的定义：一个长方形长3分米，宽2分米，以宽边的中点连线为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，这个圆柱的底面半径是（2÷2）分米，高是3分米，根据圆柱的表面积＝侧面积+底面积×2，求出表面积；以宽为轴旋转一周，形成的圆柱的底面半径是3分米，高是2分米，由此根据圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答即可。
【完整解答】解：表面积：2×π×3+π×（2÷2）2×2
＝6π+2π
＝8π（平方分米）
体积：π×32×2
＝π×9×2
＝18π（立方分米）；
答：以宽边的中点连线为轴旋转一周，形成的图形的表面积是8π平方分米，以宽为轴旋转一周，形成的图形的体积是18π立方分米。
故答案为：8π；18π。
7．（2021•永年区）一个圆柱的底面直径是10厘米，高是6厘米，这个圆柱的表面积是 　345.4　平方厘米，体积是 　471　立方厘米。
【思路引导】首先明确条件，已知“圆柱的底面直径是10厘米，高是6厘米”，再分别根据公式解答，圆柱表面积S＝2πr²+Ch，圆柱体积V＝Sh，列式解答即可。
【完整解答】解：圆柱的表面积：
3.14×（10÷2）2×2+2×3.14×（10÷2）×6
＝157+188.4
＝345.4（平方厘米）
圆柱的体积：
3.14×（10÷2）2×6
＝3.14×25×6
＝471（立方厘米）
答：这个圆柱的表面积是345.4平方厘米，体积是471立方厘米。
故答案为：345.4，471。
8．（2021•邹城市开学）把如图中的直角三角形以12cm的边为轴，旋转一周，会得到一个 　圆锥　，它的体积是 　314　cm3；与它等底等高的圆柱的体积是 　942　cm3。

【思路引导】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，圆柱的体积＝底面积×高，解答此题即可。
【完整解答】解：图中的直角三角形以12cm的边为轴，旋转一周，会得到一个圆锥；
圆锥的体积：3.14×5×5×12÷3＝314（立方厘米）
圆柱的体积：3.14×5×5×12＝942（立方厘米）
答：会得到一个圆锥，它的体积是314cm3；与它等底等高的圆柱的体积是942cm3。
故答案为：圆锥；314；942。
三．判断题
9．（2021•曹县）两个高相等的圆柱体底面半径之比是3：2，那么体积之比也是3：2。 　×　（判断对错）
【思路引导】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，再根据因数与积的变化规律，两个圆柱底面半径的比是3：2，那么这两个圆柱底面积的比是9：4，圆柱的高相等，所以两个圆柱体积的比的9：4；据此判断。
【完整解答】解：设两个圆柱的高为h，底面半径分别为3、2，
（π×32h）：（π×22h）
＝（9πh）：（4πh）
＝9：4
所以两个高相等的圆柱体底面半径之比是3：2，那么体积之比是9：4；
因此，原题说法是错误的。
故答案为：×。
10．（2021•兰山区）把绕轴旋转一周所形成的图形是圆锥。 　√　（判断对错）
【思路引导】根据圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，据此解答。
【完整解答】解：把绕轴旋转一周所形成的图形是圆锥，原题说法正确。
故答案为：√。
11．（2021春•未央区月考）用一张长方形纸能围成不同的两个圆柱，它们的侧面积一定相等。　√　（判断对错）
【思路引导】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；据此判断。
【完整解答】解：根据圆柱侧面展开图的特征可知，用一张长方形纸能围成不同的两个圆柱，它们的侧面积一定相等；原题说法正确。
故答案为：√。
四．计算题
12．（2021春•天全县期中）如图是圆柱体的表面展开图，计算它的侧面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？

【思路引导】据圆柱体的特征，它的上下底面是完全相同的两个圆，侧面是曲面，沿高展开得到长方形，这个长方形的长等于圆柱体的底面周长，宽等于圆柱体的高，求圆柱的侧面积，用长方形的长乘长方形的宽即可；圆柱体的底面积＝πr2，圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的体积＝底面积×高，将数据代入公式进行计算即可得到答案。
【完整解答】解：6.28×3＝18.84（平方厘米）
3.14×（6.28÷3.14÷2）2×3
＝3.14×3
＝9.42（立方厘米）
答：这个立体图形的侧面积是18.84平方厘米，体积是9.42立方厘米。
13．（2021春•虎林市期中）（1）计算圆柱的表面积和体积。

（2）计算圆锥的体积。

【思路引导】（1）根据圆柱的表面积＝侧面积+2个底面积＝底面周长×高+π×半径的平方×2，以及圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h，代入数据解答即可；
（2）根据圆锥的体积公式：圆锥的体积＝底面积×高÷3＝πr2h÷3，代入数据解答即可。
【完整解答】解：（1）2×3.14×10×20+3.14×102×2
＝3.14×400+3.14×200
＝3.14×600
＝1884（平方厘米）
3.14×102×20
＝314×20
＝6280（立方厘米）
（2）3.14×（10÷2）2×12÷3
＝3.14×25×4
＝3.14×（25×4）
＝3.14×100
＝314（立方厘米）
五．应用题
14．（2021•永年区）王师傅把一个底面半径是20cm，高是27cm的圆锥形铝块熔铸成一个底面半径是15cm的圆柱形铝块。这个圆柱形铝块的高是多少厘米？
【思路引导】熔铸前后的体积不变，先根据圆锥的体积公式（V＝Sh）求出铝块的体积，再利用圆柱的高＝体积÷底面积即可解答。
【完整解答】解：×3.14×20²×27
＝×3.14×400×27
＝×33912
＝11304（cm²）
11304÷3.14÷15²
＝3600÷225
＝16（cm）
答：这个圆柱形铝块的高是16厘米。
15．（2021•海州区）如图，一根长1米，横截面直径为4分米的圆柱形木头浮在水面上，这根木头恰好有一半露出水面。
（1）这根木头的体积是多少立方分米？
（2）这根木头露出水面的面积是多少平方分米？

【思路引导】（1）根据圆柱的体积公式：v＝sh，把数据代入公式解答。
（2）这根木头与水接触的面的面积是圆柱侧面积的一半加上底面两个半圆（一个圆）的面积，据此列式解答。
【完整解答】解：（1）1米＝10分米
3.14×（4÷2）²×10
＝3.14×4×10
＝125.6（立方分米）
答：这根木头的体积是125.6立方分米。
（2）3.14×4×10÷2+3.14×（4÷2）²
＝125.6÷2+12.56
＝62.8+12.56
＝75.36（平方分米）
答：这根木头露出水面的面积是75.36平方分米。
16．（2021•铁西区）如图，一个内直径是6cm的瓶子里，水的高度是12cm。把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是8cm。这个瓶子的容积是多少毫升？

【思路引导】瓶子不管怎么放置，瓶子空余部分的容积不变，先把瓶子倒置把空余部分转化为规则图形，不管是有水的圆柱还是空余部分的圆柱，它们的内直径都是6cm，有水的圆柱的高是12cm，空余部分的圆柱的高是8cm，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，进行解答即可。
【完整解答】解：6÷2＝3（厘米）
3.14×32×12+3.14×32×8
＝339.12+226.08
＝565.2（平方厘米）
565.2立方厘米＝565.2毫升
答：这个瓶子的容积是565.2毫升。
提高练
一．选择题
1．（2020秋•常熟市期末）四个完全相同的水杯，分别往里面注水，水量如图中的涂色部分。如果再往每个水杯中分别放入大小相同、数量不同的方糖，完全溶解后，（　　）杯中溶液的甜度最高。
A． B． C． D．
【思路引导】根据题意可知，4个水杯完全相同，每块方糖的大小完全相同，A水杯是2块方糖溶解在2份的水中；B水杯是1块方糖溶解在3份水中；C水杯是3块方糖溶解在4份水中；D水杯是4块方糖溶解在5份水中；根据求一个数是另一个数的几分之几，分别求出糖与水的比值，然后进行比较。
【完整解答】解：2÷2＝1
1÷3＝
3÷4＝
4÷5＝
1＞＞＞
答：A杯中溶液的甜度最高。
故选：A。
2．（2020秋•江宁区期末）一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的（　　）

A． B． C． D．
【思路引导】根据题意，瓶子容积可以看作是正放时水的体积+倒放时无水部分圆柱的体积，这两部分合起来正好是一个圆柱，这部分圆柱的高包括两部分，水的高度+无水圆柱的高度，底面积相同，可以求出水的高度占圆柱高度的几分之几，也就是瓶中水的体积占瓶子容积的几分之几。据此解答即可。
【完整解答】解：倒放时无水部分的高：21﹣15＝6（厘米）
12÷（12+6）
＝12÷18
＝
答：瓶中水的体积占瓶子容积的。
故选：C。
3．（2021•赣州）把一个长为4厘米，宽为3厘米的长方形，沿宽旋转一周得到一个立体图形的体积是（　　）立方厘米。
A．150.72 B．37.68 C．113.04
【思路引导】根据题意可知，以长方形的宽为轴旋转一周得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：3.14×42×3
＝3.14×16×3
＝50.24×3
＝150.72（立方厘米）
答：这个立体图形的体积是150.72立方厘米。
故选：A。
二．填空题
4．（2021•淮安）一个圆锥高为8分米，把这个圆锥从顶点处沿底面直径切成两个半圆锥后，表面积比原来增加48平方分米，这个圆锥的体积是 　75.36　立方分米。
【思路引导】根据题意，把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分，结果表面积之和比原来增加了48平方分米，增加了两个截面，每个截面都是高为8分米，底为圆锥的底面直径的三角形，根据三角形的面积计算方法求出三角形的底（圆锥的底面直径），再由圆锥的体积公式V＝Sh，列式解答即可。
【完整解答】解：圆锥的底面直径：
48÷2×2÷8＝6（分米）
圆锥的体积：
×3.14×（6÷2）2×8
＝×3.14×9×8
＝75.36（立方分米）
答：这个圆锥的体积是75.36立方分米。
故答案为：75.36。
5．（2021•思明区）如图所示，把底面半径是4厘米，高是20厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个近似长方体的长是 　12.56　厘米，体积是 　1004.8　立方厘米。

【思路引导】根据圆柱体积公式的推导过程可知，把圆柱切拼成一个近似长方体后体积不变，这个近似长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：3.14×4＝12.56（厘米）
3.14×42×20
＝3.14×16×20
＝50.24×20
＝1004.8（立方厘米）
答：这个近似长方体的长是12.56厘米，体积是1004.8立方厘米。
故答案为：12.56，1004.8。
6．（2021•会同县）把2.4m的圆柱形钢材截成三段，表面积比原来增加56平方厘米，则这圆柱形钢材的体积 　3360　立方厘米。
【思路引导】根据题意可知，把这根圆柱形钢材截成三段，表面积比原来增加了4个截面的面积，据此可以求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：2.4米＝240厘米
56÷4×240
＝14×240
＝3360（立方厘米）
答：这根圆柱形钢材的体积是3360立方厘米。
故答案为：3360。
7．（2021•杏花岭区）如图，一根圆柱形木料从中间切开后，表面积增加了12.56平方厘米，原来这个木料的体积是 　37.68　立方厘米。

【思路引导】根据题意可知，把这根圆柱形木料横截成两段，表面积比原来增加了两个截面的面积，据此可以求出圆柱的底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：12.56÷2×6
＝6.28×6
＝37.68（立方厘米）
答：原来圆柱的体积是37.68立方厘米。
故答案为：37.68。
三．判断题
8．（2018•江北区）长方体和圆柱的体积都可以用底面积乘以高的方法计算．　√　（判断对错）
【思路引导】因为长方体的长×宽＝长方体的底面积，所以长方体和圆柱的体积都可以用底面积乘以高的方法计算．据此判断．
【完整解答】解：因为长方体的长×宽＝长方体的底面积，所以长方体和圆柱的体积都可以用底面积乘以高的方法计算．
故答案为：√．
9．（2021•南山区）一张长8cm、宽6cm的硬纸板，横着和竖着卷成两个圆柱，这两个圆柱的体积一样大。 　×　（判断对错）
【思路引导】根据圆柱侧面展开图的特征可知，如果把这张纸横着卷成圆柱，底面周长是8厘米，高是6厘米；如果把这张纸竖着卷成圆柱，底面周长是6厘米，高是8厘米，根据圆柱的体积公式：把数据代入公式求出它们的体积，然后进行比较，据此判断。
【完整解答】解：①横着卷成圆柱的体积：
π×（）2×6
＝π××6
＝（立方厘米）
②竖着卷成圆柱的体积：
π×（）2×8
＝π××8
＝（立方厘米）
所以体积的体积不相等。
因此，题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
10．（2021•盐田区）底面积和高都相等的长方体、正方体、圆柱体，它们的体积也一定相等。 　√　（判断对错）
【思路引导】因为长方体、正方体和圆柱的体积公式都是：V＝Sh，如果长方体、正方体、圆柱体的底面积和高都分别相等，那么它们的体积也相等．据此判断。
【完整解答】解：由分析得：如果长方体、正方体、圆柱体的底面积和高都分别相等，那么它们的体积也相等。
因此，题干中的说法是正确的。
故答案为：√。
四．计算题
11．（2021•太原）计算下面图形的表面积。

【思路引导】通过观察图形可知，由于上面的圆柱与下面的长方体粘合在一起，所以上面的圆柱只求它的侧面积，下面的长方体求它的表面积，然后合并起来。根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：3.14×4×6+（10×4+10×5+4×5）×2
＝12.56×6+（40+50+20）×2
＝75.36+110×2
＝75.36+220
＝295.36（dm2）
答：它的表面积是295.36dm2。
12．（2021•清丰县）求如图中杯子的容积。（数据是从杯子里面测量得到的）

【思路引导】根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：3.14×（8÷2）2×10
＝3.14×16×10
＝50.24×10
＝502.4（立方厘米）
502.4立方厘米＝502.4毫升
答：这个杯子的容积是502.4毫升。
五．应用题
13．（2021•如东县）有圆柱体与正方体容器各一个。圆柱体的底面直径与正方体的棱长都是4分米。圆柱体里装有2分米高的水，这时水与圆柱体的接触面积是多少平方分米？把圆柱体中的水倒入正方体容器内，这时水面高多少分米？（计算结果保留π）
【思路引导】因为水与圆柱体的容器的接触面只有侧面和底面，根据圆柱的表面积公式S＝侧面积+底面积，将数据代入即可得出答案。
把圆柱体中的水倒入正方体容器内，水的体积不变，根据圆柱的体积公式V＝Sh，先求出水的体积，再根据h＝V÷S（正方形面积公式S＝棱长×棱长），将数据代入，即可得出水面高度
【完整解答】解：4π×2+（4÷2）²×π
＝8π+4π
＝12π（平方分米）
（4÷2）²×π×2÷（4×4）
＝8π÷16
＝0.5π（分米）
答：水与圆柱体的接触面积是12π平方分米，水面高0.5π分米。
14．（2021春•高青县期末）如图，一个圆柱体木材被截去5cm后，圆柱的表面积减少了47.1cm2，求原来圆柱体的表面积是多少平方厘米？

【思路引导】通过观察图形可知，把这个圆柱体木材截去5厘米，圆柱的表面积减少了47.1平方厘米，表面积减少的是高5厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝2πrh，据此可以求出圆柱的底面周长，再根据圆柱的表面积公式：S表＝S侧+S底×2，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：47.1÷5＝9.42（厘米）
9.42×20+3.14×（9.42÷3.14÷2）2×2
＝188.4+3.14×2.25×2
＝188.4+14.13
＝202.53（平方厘米）
答：原来圆柱体的表面积是202.53平方厘米。
15．（2020•太谷区）在一节数学活动课上，同学们进行实践操作。先往一个长方体的容器中注水，水深4.4厘米，如图（1），然后将一根圆柱形冰柱垂直放入其中，水的高度上升到5.5厘米，这时刚好有冰柱浸没在水中，如图（2）。

（1）整根冰柱的体积是多少立方厘米？
（2）已知冰化成水，体积会减少，这根冰柱融化后将变成多少毫升的水？
【思路引导】（1）原来水柱只有4.4厘米，因为“水面上升到5.5厘米处”说明了冰柱插入水中水面上升了（5.5﹣4.4）厘米，用底面积乘以上升的水1.1厘米的高度，就是冰柱的体积，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。
（2）根据冰化成水，体积减少，把冰柱的体积看作单位“1”，化成水的体积相当于冰柱体积的（1），再根据求一个数的几分之几是多少用乘法解答。
【完整解答】解：（1）10×10×（5.5﹣4.4）÷
＝100×1.1÷
＝110×3
＝330（立方厘米）
答：整根冰柱的体积是330立方厘米。
（2）330×（1﹣）
＝330×
＝297（立方厘米）
297立方厘米＝297毫升
答：这根冰柱融化后将变成297毫升的水。
16．（2021春•阳信县期中）你还记得圆的面积计算公式和圆柱体积计算公式的推导过程吗？请根据图回答问题。

（1）在研究圆的面积和圆柱体积公式的推导过程中，我们都用到了哪些数学思想方法？
（2）通过观察拼成后的长方体与原来的圆柱有怎样的关系？得到了什么结论？
（3）请进一步观察图二，圆柱的高是10厘米，拼成近似的长方体，表面积增加了60平方厘米。圆柱的体积是多少立方厘米？（圆周率取3.14）
【思路引导】（1）圆的面积公式的推导和圆柱体积公式的推导都是用“转化”的思想方法，化曲为直，化圆为方的方法。
（2）根据圆柱体积公式的推导过程可知，把圆柱切拼成一个近似长方体，这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，因为长方体的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积＝底面积×高。
（3）把圆柱切拼成近似长方体后，长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径，据此可以求出圆柱的底面半径，然后根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：（1）在研究圆的面积和圆柱体积公式的推导过程中，我们都用到了“转化”的数学思想方法，即化曲为直，化圆为方的方法。
（2）把圆柱切拼成近似长方体后体积不变，拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，因为长方体的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积＝底面积×高。
（3）圆柱的底面半径：
60÷2÷10
＝30÷10
＝3（厘米）
3.14×32×10
＝3.14×9×10
＝28.26×10
＝282.6（立方厘米）
答：这个圆柱的体积是282.6立方厘米。
17．（2021•讷河市）把一块棱长10cm的正方体铁块熔铸成一个底面直径是20cm的圆锥铁块．这个圆锥铁块的高约是多少？（得数保留整厘米）
【思路引导】熔铸成圆锥体，体积没变，等于正方体的体积，由此可以求出圆锥的体积，知道底面直径，可求出圆锥的底面积，然后利用圆锥的体积公式V＝Sh＝πr2h可以计算得出圆锥的高．
【完整解答】解：20÷2＝10（cm）
10×10×10×3÷（3.14×102）
＝1000×3÷314
≈10（厘米）
答：这个圆锥最高约10厘米．