第7章 三角函数（章节压轴题解题思路分析）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）学案

第7章 三角函数章节压轴题解题思路分析

模块一：正弦函数和余弦函数的图像与性质

一、单选题

1．已知点，是函数上的两个不同点，且，则对于下列四个不等式：①；②；③；④. 其中正确不等式的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据斜率判断①正确，取计算得到②④错误；根据和的几何意义判断③正确得到答案.

【详解】如图所示：，根据图像知，①正确；

取计算得到，，故②④错误；

表示中点的纵坐标；表示中点的横坐标对应函数值.

根据函数为凸函数知正确，即③正确.故选：

【点睛】本题考查了三角函数不等式的判断，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用.

2．已知，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】抽象为一个函数的两个函数值，分析函数的性质，利用函数值的关系，求出自变量的关系，进而求解.

【详解】，，

，

为奇函数，，

，，.

故选:C

【点睛】本题考查利用函数思想解决实际问题，考查概括抽象能力，属于较难题.

二、填空题

3．函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________

【答案】

【分析】先去掉绝对值符号，得出函数的解析式，再做出的图像，由图像可得两个图像要有两个不同的交点时的范围.

【详解】由已知得，在坐标系中做出图像如下：由图像可知最高点值为，最低点值为，要使在部分的图像与有两个不同的交点，则需要，

故答案为：.

.

【点睛】本题主要考查分段函数的概念，正弦函数图象，先去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，结合图象确定参数的取值范围是解决此类题目的关键，属于中档题.

三、解答题

4．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.

(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；

(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

【答案】（1），； （2）或时，L取得最大值为米．.

【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．

（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．

所以当时，即 或 时，L取得最大值为米．

【详解】由题意可得，，，由于 ，，

所以，，

，

即，

设，则，由于，

由于在上是单调减函数，

当时，即或时，L取得最大值为米．

【点睛】三角函数值域得不同求法：

1.利用和的值域直接求

2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域

3.通过换元，转化成其他类型函数求值域

5．已知函数．

（1）试用周期函数的定义证明函数是周期函数，并指出该函数的一个周期；

（2）若函数在上取最大值、最小值时，所对应的x的值按从小到大依次记为，试求关于的函数关系式；

（3）在满足（2）的条件下，记，求证：．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【分析】（1）利用公式变形后借助于周期函数的定义来证明；

（2）利用正弦函数的最大值在，最小值在，来求解；

（3）利用等比数列的定义及通项公式，即可求证.

【详解】（1）∵

∴

∴为周期函数，为其一个周期

（2）取最大值时，令，则,即；

取最小值时，令，则,即.

∵函数在上取最大值、最小值时，所对应的的值按从小到大依次记为

∴依次为

∴

（3）证明：由（2）知，不是的整数倍.

∴

∵

∴

∴是以为首项，为公比的等比数列

∴

【点睛】本题考查周期函数的性质、正弦函数的性质、等比数列的定义及其通项公式的应用，是一道综合题.

6．已知函数为偶函数.

（1）求的取值集合；

（2）若，且在上，函数与的图像有且仅有8个交点，求实数m的取值范围；

（3）设集合，若含有10个元素，求的取值范围.

【答案】（1）（2）（3）

【分析】(1)由为偶函数，得一定具有的形式，运用辅助角公式化为,得;

 (2)直接得到函数解析式，做出图像运用数形结合的思想可得范围;

(3)由的点就是的点，得出满足题意的不等式组,解之可得范围.

【详解】（1）由已知得，因为为偶函数,故，所以；

所以的取值集合为;

（2）当时,，做出图像如下图所示,可得当其与有8个交点时,；

（3）当时,即,所以,所以，为偶函数，有5个元素分别是，故只需要，即.

【点睛】本题综合考查正弦型函数的性质,由其性质得出函数的解析式,运用数形结合的思想解决交点的个数,或由交点的个数求解参数的范围是常用的方法,属于中档题.

7．已知函数.

(1)当时,求函数的值域;

(2)当时,求函数的单调递增区间;

(3)当时,的反函数为,求的值.

【答案】(1);(2)和;(3)

【分析】（1）化简得到，根据得到，计算值域得到答案.

（2）计算得到单调区间为，取得到答案.

（3）根据反函数知识得到得到答案.

【详解】（1）

当时，，故

即函数的值域为

（2），

函数的单调增区间为

当时，区间满足；当时，满足；

故单调增区间为：和

（3）的反函数为,等于时的值.

即

【点睛】本题考查了三角函数化简，函数值域，单调区间，反函数，意在考查学生的综合应用能力.

8．已知函数，满足关系.

（1）设，求的解析式；

（2）当时，存在、，对任意，恒成立，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角余弦公式可得出函数的解析式；

（2）根据，当时，代入并分象限化简函数的解析式，求出函数的最大值和最小值，即可得出的最小值.

【详解】

由.

（1）当，可得

.

因此，函数的解析式为；

（2）时，可得

，.

存在、，对任意，恒成立，

当或时，可得；

当时，可得.

那么：，

或者：，

因此，的最小值为.

【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，同时也考查了三角函数的基本性质以及分段函数最值的讨论，考查分类讨论思想的应用，属于难题.

9．已知集合，.

（1）判断与集合的关系，并说明理由；

（2）中的元素是否都是周期函数，证明结论；

（3）中的元素是否都是奇函数，证明你的结论.

【答案】（1）；详见解析（2）都是周期函数；证明见解析（3）不都是，证明见解析

【分析】（1）根据所给的函数解析式，把函数带入进行验证，得到.

（2）根据的周期为，猜想也是周期为的周期函数.由，得到，得到，得证的周期为.

（3）令，可证得：，所以，但为偶函数，故中的元素不都是奇函数.

【详解】（1）因为

所以.

（2）因为，

所以的周期为，猜想也是周期为的周期函数.

因为，得到：.

所以

即：.

所以.

所以的周期为.

（3）令，可证得：，

所以，但为偶函数，不是奇函数.

故中的元素不都是奇函数.

【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，考查了函数的周期性和奇偶性，解题关键是是对于所给的抽象函数的整理应用，属于难题.

10．已知函数，

（1）若，求；

（2）如果关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围

【答案】（1）或，；（2）

【分析】（1）化简得到，计算解得答案.

（2），画出函数图像，根据函数图像得到答案.

【详解】（1）

或，故或，

（2）设

则

画出函数图像，根据图像知：或或

即

【点睛】本题考查了三角函数求值，函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.

模块二：函数y=Asin (wx+φ)的函数的图像与性质

1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）对于定义域为R的函数，部分与的对应关系如表：

（1）求：

（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，求

（3）若，其中，求此函数的解析式，并求．

【答案】（1）2；（2）；（3）见解析

【分析】（1）由内往外计算即可；

（2）由已知，通过计算易得数列是以4为周期的周期数列，先计算的值，利用即可得到答案；

（3）代入表中数据即可得到的解析式，再分n为奇数、偶数讨论求和即可.

【详解】（1）由表中数据可得.

（2），由于，则，，

，，所以，依次递推可得数列

的周期为4，又，所以.

（3）由题意得，由，得，即

，又，则，从而，而，所以

，故，消，得

所以，解得，又，

所以，所以，

此函数有最小正周期6，且，，

当时，

；

当时，

.

【点睛】本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的和，是一道中档题.

2．（2016·上海市复兴高级中学高一月考）已知函数．

（1） 试说明函数的图象是由函数的图象经过怎样的变换得到的；

（2）若函数，试判断函数的奇偶性，并用反证法证明函数的最小正周期是；

（3）求函数的单调区间和值域.

【答案】（1）见解析；（2）偶函数，周期的证明见解析；（3）值域是，增区间为，减区间为．

【分析】（1）先由二倍角公式和两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后根据三角函数图象变换的规律求解；

（2）求出的表达式，由奇偶性定义判断奇偶性，用反证法证明周期性；

（3）根据（2）中得出的性质，在一个周期内求出函数的值域，即得函数在定义域内值域，求出一个周期内单调区间，根据函数的周期性可得所有单调区间（但要注意区间的连续性）．

【详解】

（1）由题意，

把图象向右平移个单位得的图象，再把所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图象，最后将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得的图象．

（2），

，∴是偶函数，

，是的一个周期，下面用反证法证明是最小正周期，

假设存在是的最小正周期，即恒成立，，

则，，

，

当时，，则，∴，即这与矛盾，∴假设错误，

∴是的最小正周期．

（3）由（2），当时，，

由得，，

∴，，

此时当时，，单调递增，当时，，单调递减，

∵的最小正周期是，∴时，函数的值域是．

增区间为，减区间为．

【点睛】本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，考查三角函数的图象变换，考查函数的周期性与单调性．三角函数图象变换时要注意先相位变换后周期变换与先周期变换后相位变换时平移的单位不相同.三角函数是周期函数，研究它的性质有时可以在一个周期内研究，如求值域、单调区间、零点等等，然后加上周期的整数倍即可扩充到整个实数集上．但有些性质在一个周期上研究还不能得出正确结论，如对称性（对称轴，对称中心），除在含有一个周期的区间内的对称性外还必须考虑区间的端点处有没有相应的对称性．

3．（2018·上海普陀区·曹杨二中高一期中）我们把平面直角坐标系中，函数上的点，若满足：，则称点为函数的“整格点”.

（1）请你选取一个m的值，使函数的图像上有整格点，并写出函数的一个整格点坐标；

（2）若函数与函数的图像有整格点交点，求m的值，并写出两个函数图像的交点总个数；

（3）对于（2）中的m值，则函数时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1），(1,1)，(5,1)，(9,1)等（答案不唯一）；（2），交点个数为5个；（3）.

【分析】（1）取时，即可得到整格点坐标；

（2）作出两个函数图象，利用图象可知整格点交点只有一个点为(10,1)，则，求出m并根据函数图像可知交点个数；

（3）结合（2）的图象，分a>1、0<a<1进行讨论，当0<a<1时，求解即可得到结果.

【详解】（1）取时，整格点坐标为(1,1)，(5,1)，(9,1)等（答案不唯一）；

（2）作出两个函数的图象如图，

根据图像分析可知，函数与函数的图像有整格点交点且只有一个点为(10,1)，

则，解得，其中k∈Z，m∈(1,2)，

取k=2，则，根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为5个.

（注意：最后两个点非常接近，几乎粘合在一起）；

（3）由（2）知，，

∴①当a>1时，不等式在上不能成立；

②当0<a<1时，如图，

由上图可知，即，

解得，.

【点睛】本题考查新定义问题，考查数形结合的思想运用，正确理解新定义是解决本题的关键，属难题.

4．（2018·上海市七宝中学高一期中）已知函数，其中常数.

（1）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数，求函数的解析式；

（2）若在上单调递增，求的取值范围；

（3）在（1）的条件下的函数的图像，区间且满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.

【答案】（1）；（2）；（3）

【分析】（1）根据正弦函数平移“左加右减、上加下减”的法则即可求得；

（2）利用范围可求得的范围，根据单调性可得不等式组，解不等式组求得；由可求得，两个范围取交集得到最终结果；

（3）令可求得零点，进而得到相邻零点之间的距离；若最小，知均为零点，此时在恰有个零点，从而得到在至少有一个零点；根据相邻零点之间距离即可得到满足的条件，进而求得所求的最小值.

【详解】（1）   

，即

（2）    当时，

，，解得：，

又       

即的取值范围为

（3）令得：

或，

解得：或，

相邻两个零点之间的距离为或

若最小，则均为的零点，此时在区间，，…，分别恰有个零点

在区间恰有个零点    至少有一个零点

，即

检验可知，在恰有个零点，满足题意

的最小值为

【点睛】本题考查三角函数值知识的综合应用，涉及到三角函数的平移变换、根据三角函数在区间内的单调性求解参数范围、根据零点个数求解参数范围的问题；难点在于求解最小值时，能够通过确定临界状态，即至少有一个零点的区间，进而根据相邻零点之间的距离得到所求参数所满足的关系式，进而得到结果，属于较难题.

5．（2017·上海）已知函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象.

（1）求函数与的解析式；

（2）求实数与正整数，使得在内恰有2017个零点.

【答案】（1），；    （2），.

【详解】（1），，所以

模块三：正切函数的图像与性质

1．（2019·宝山区·上海交大附中高一期末）如图中，，，，M为AB边上的动点，，D为垂足，则 的最小值为______；

【答案】

【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出的值，然后利用换元法求解出对应的最小值即可.

【详解】如图所示，设，所以，

根据条件可知：，所以，

设，，，

所以，所以，

所以，

所以当时，有最小值，最小值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用坐标法以及换元法求解最值，着重考查逻辑推理和运算求解的能力，属于较难题

(1)利用换元法求解最值时注意，换元后新元的取值范围；

(2)三角函数中的一组“万能公式”：，.

2．（2019·上海宝山区·高一期末）若，则实数的值为_______.

【答案】

【分析】由得，代入方程即可求解.

【详解】,

.

,

,

,即，

故填.

【点睛】本题主要考查了反三角函数的定义及运算性质，属于中档题.