新高考数学实战演练仿真模拟卷3（带答案）

新高考数学实战演练仿真模拟卷3

一．选择题（共9小题）

1．设集合，，，，则　　

A．， B． C．， D．，

【解析】解：，，，，

．

故选：．

2．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有　　

A．20种 B．50种 C．80种 D．100种

【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：

①从5人中选4人参加活动，先在5人中选出2人，安排到图书馆做志愿者，有种分法，

再从剩下的3人中选出2人，安排在食堂做志愿者，有种分法，

此时有种安排方法，

②5人全部参加志愿活动，先在5人中选出3人，安排到图书馆或食堂做志愿者，有种分法，

再把剩下的2人安排在剩下场所做志愿者，有1种情况，

此时有种安排方法，

此时有种安排方法，

故选：．

3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是　　

A．80里 B．86里 C．90里 D．96里

【解析】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，

由题意和等比数列的求和公式可得，

解得，此人第二天走里，

第二天走了96里，

故选：．

4．若正数是一个不等于1的常数，则函数与函数在同一个坐标系中的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：若，幂函数为上凸的增函数，对数函数为减函数，四个选项均不适合，

若，幂函数为下凹的增函数，对数函数为增函数，故图象可能是；

综上可知，选．

故选：．

5．设，，，，则，，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【解析】解：，，，，

．

故选：．

6．在平面直角坐标系中，已知圆及圆内的一点，圆的过点的直径为，若线段是圆的所有过点的弦中最短的弦，则的值为　　

A．8 B．16 C．4 D．

【解析】解：由题意可知，圆的半径为，，

，，

．

故选：．

7．设是定义在上的函数，．若函数满足下列条件：

①是偶函数；

②在区间，上是增函数；

③有一个零点为2．

则不等式的解集是　　

A． B． 

C．，， D．，，

【解析】解：已知是偶函数，在区间，上是增函数，且（2），

可得在上是减函数，且，

因为是定义在上的函数，．

所以是函数的图象向右平移1个单位长度得到的函数，

所以关于对称，在，上是增函数，在上是减函数，

且（3），

所以当或时，，当时，，

则不等式可转化为或，

即或，

解得，

即不等式的解集为．

故选：．

8．已知向量，且，则实数　　

A．1 B． C． D．

【解析】解：向量，，且，

，

则实数，

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．已知复数为虚数单位），则下列说法错误的是　　

A．的实部为2 B．的虚部为1 C． D．

【解析】解：．

所以，的实部为1，的虚部为1，．

观察选项，、选项符合题意．

故选：．

10．给出下列命题，其中正确命题为　　

A．若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为，则回归直线的方程为 

B．随机变量，若，，则 

C．随机变量服从正态分布，，则 

D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

【解析】解：：由回归直线的斜率估计值0.25，样本点中心为，

得回归直线的方程为，即．故正确；

：随机变量，若，，

则，解得，，故正确；

：随机变量服从正态分布，，

则，故错误；

：对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，

则“两变量有关系”的把握程度越小，

则判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故正确．

故选：．

11．在平行四边形中，，，，交于且，则下列说法正确的有　　

A．   B． C．， D．

【解析】解：

对于选项，故选项不正确；

对于选项：易证明，所以，所以，故选项正确；

对于选项，即，

所以，

所以，解得，

，，

因为，，，

所以，，故选项正确．

对于选项，

，

，故选项正确．

故选：．

12．已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解析】解：选项，，正确；

选项，因为，所以当时，单增，

所以（1），

因为，所以，所以，正确；

选项，因为，所以，错误；

选项，令，，

所以在单调递增，所以（1），

所以，则，

所以，即，

所以，所以错误．

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点作斜率为1的直线，与抛物线交于，两点．若弦的长为6，则实数的值为　　．

【解析】解：抛物线上的焦点，，设，，，

则可设直线的方程为，

联立方程，整理得，

由韦达定理可得：，，

，

解得；

故答案为：．

14．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是　367209　元．（四舍五入，精确到整数）

【解析】解：设每次还款额为元，

则：，

，

（元，

所以每次还款额为367209元．

15．数学家研究发现，对于任意的，，称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数，可以用这个展开式来求的近似值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心的仰角，气球的视角，则该气球的高约为　86　米．（精确到1米）

【解析】解：如图所示，

由题意知，中，，所以；

在中，，

所以，

解得，

所以（米，

即该气球的高约为86米．

故答案为：86．

16．如图所示，多面体中对角面是边长为6的正方形，，，且，到平面的距离都是3，则该多面体的体积为　108　．

【解析】解：，，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面，

又四边形为平行四边形，平面，平面，平面，

又，平面平面，

再由，可得为三棱柱；

同理可证为三棱柱．

在三棱柱中，连接，，，

到平面的距离都是3，到平面的距离为3，

又是边长为6的正方形，，

，则；

同理可得．

该多面体的体积为．

故答案为：108．

四．解答题（共6小题）

17．已知数列满足，再从①等差数列满足，；②数列的前项和为；③公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列，这三个条件中任选一个，完成下列问题．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，求证：数列的前项和．

【解析】解：（Ⅰ）若选①，等差数列满足，，

设等差数列的公差为，则，解得，

则，

若选②数列的前项和为，，

显然时，也成立，所以；

若选③公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列．

设等差数列的公差为，则，

即有，因为，所以，即，

因为，

当时，；当时，，

所以；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，；

当时，，

则，

，

两式相减可得

，

所以．

18．设函数．

（1）求的最小正周期和值域；

（2）在锐角中，设角，，的对边长分别为，，．若（A），，求周长的取值范围．

【解析】解：（1）因为

所以的最小正周期，值域为，．

（2）因为（A），

可得，

因为为锐角，可得，，可得，解得，

又因为，

所以由正弦定理可得，

所以，

又为锐角三角形，则，解得，，

，，

故，，

则，，

即周长的取值范围为，．

19．在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如表所示．

（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为，试写出的分布律；

（2）是否有把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？请说明理由．

附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类，类和Ⅱ（有两类取值：类1，类统计数据的一个列联表：

有，其中．

临界值表（部分）为

【解析】解：（1）使用血清的人数为，1，2，3，

，

，

，

，

于是的分布列为：

（2）根据题目所给的数据，得到的列联表如下；

提出假设，是否使用这种血清与感冒没有关系，

由表中数据，

因为当成立时，的概率约为，的概率约为，

所以有把握认为，是否使用这种血清与感冒有关系，即使用该种血清能预防感冒，得到这个结论的把握不到，

由于得到这个结论的把握低于，因为我们的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒，也不能说明使用这种血清不能预防感冒．

20．如图，在等腰直角三角形中，已知，，，分别是，上的点，是的中点，且．现将沿折起，使得点在平面上的射影为点．

（1）若，分别是、的中点，求证：平面平面．

（2）请判断是否存在一种折法，使得直线与平面所成角的余弦值是直线与平面所成角的正弦值的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）证明：点在平面上的射影为点，

平面，

平面，，

等腰，且为的中点，

，

，、平面，

平面，

又平面，平面平面．

（2）解：平面，

为直线与平面所成的角，设其大小为，则，

过点作，交于点，连接，

平面，，

又，、平面，

平面，

为直线与平面所成的角，设其大小为，则，

直线与平面所成角的余弦值是直线与平面所成角的正弦值的倍，

，即，

设，则，，

设，

在中，由正弦定理知，，

，得，

，且，

，

，

又，

，化简整理得，，解得或（舍负），

故当时，直线与平面所成角的余弦值是直线与平面所成角的正弦值的倍．

21．已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）已知直线的方程为，过直线上一点作（Ⅰ）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，求面积的最小值．

【解析】解：（Ⅰ）设点的坐标为，，则点到直线的距离，

经过点作圆的切线，切线长为，

因此，整理可得，

即点的轨迹方程为：；

（Ⅱ）对抛物线，求导可得，

故在，处的切线方程为：，整理可得：，

同理在，处的切线方程为：，

设直线上一点，

，故，在直线上，

即直线的方程为．

联立可得．

，，

点到直线的距离，

面积，

当且仅当时取等号，故面积的最小值为4．

22．设是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足”．

（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；

（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，，都存在，，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

（Ⅲ）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的、，当，且时，．

【解析】解：因为，

又因为当时，，

所以方程有实数根0．

所以函数是的集合中的元素．（3分）

假设方程存在两个实数根，，

则，不妨设，根据题意存在数

使得等式（c）成立．

因为，，且，

所以（c），

与已知矛盾，

所以方程只有一个实数根；（8分）

不妨设，因为，

所以为增函数，

所以，

又因为，

所以函数为减函数，

所以，

所以，

即，

所以（13分）