2022年数学中考数学二轮专题 ：反比例函数综合问题 学案（无答案）

这是一份2022年数学中考数学二轮专题 ：反比例函数综合问题 学案（无答案），共12页。学案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3.1，变式3.2等内容，欢迎下载使用。

典例剖析
【考点1】反比例函数的图象与性质
【例1】（2020•无锡）反比例函数y=kx与一次函数y=815x+1615的图象有一个交点B（12，m），则k的值为（ ）
A．1B．2C．23D．43
【变式1-1】（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a−1b的值为（ ）
A．−12B．12C．−14D．14
【变式1-2】（2020•淮阴区模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则关于x的不等式kx+b＞mx的解集是（ ）
A．x＞﹣6 B．﹣6＜x＜0 C．﹣6＜x＜0且x＞2 D．﹣6＜x＜0或x＞2
【变式1-3】（2020•太仓市二模）若函数y=kx与y＝x2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx+c的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【考点2】反比例函数的k值与面积问题
【例2】（2020•常州）如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=2，∠ADB＝135°，S△ABD＝2．若反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过A、D两点，则k的值是（ ）
A．22B．4C．32D．6
【变式2-1】（2020•泰兴市校级二模）如图，已知点A是反比例函数y=6x（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y=kx（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（ ）
A．4B．2C．3D．1
【变式2-2】（2020•亭湖区校级三模）如图所示为反比例函数y=kx的部分图象，AB⊥OA，AB交反比例函数的图象于点D，且AD：BD＝1：3，若S△AOB＝8，则k的值为（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
【变式2-3】（2020•高邮市二模）如图，矩形OCBA的两条边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，另两条边AB、BC分别与函数y=kx（x＞0）的图象交于E，F两点，且E是AB的中点，连接OE，OF，若△OEF的面积为3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点3】利用反比例函数的性质求k值问题
【例3】（2020•泰州模拟）若反比例函数y=1−3kx的图象经过第一、三象限，则 k的取值范围是 ．
【变式3.1】（2019•相城区一模）已知反比例函数y=k−3x（k为常数），当x＜0时，y随x的增大而减小，k的取值范围是（ ）
A．k＜0B．k＞0C．k＜3D．k＞3
【变式3.2】（2020•宿迁模拟）如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）图象上一点，B是y轴正半轴上一点，以OA、AB为邻边作▱ABCO．若点C及BC中点D都在反比例函数y=−4x（x＜0）图象上，则k的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【变式3.3】（2020•海安市一模）在反比例函数y=k−3x图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
【考点4】反比例函数与点的变化规律问题
【例4】（2020•高邮市二模）我们定义：在平面直角坐标系xOy中，经过点P（m，n），且平行于直线y＝x或y＝﹣x，叫过该点的“二维线”，例如，点P（1，﹣2）的“二维线”有：y＝﹣x﹣1，y＝x﹣3．
（1）写出点P（2，3）的“二维线” ．
（2）若点P（m，n）的“二维线”是y＝﹣x﹣13，y＝x+3，求m、n的值；
（3）若反比例函数y=−28x图象上的一个点P（m，n）有一条“二维线”是y＝﹣x+12，求点P（m，n）的另一条“二维线”．
【变式4-1】（2020•新北区模拟）根据完全平方公式可以作如下推导（a、b都为非负数）：
∵a﹣2ab+b＝（a−b）2≥0，
∴a﹣2ab+b≥0．
∴a+b≥2ab∴a+b2≥ab．
其实，这个不等关系可以推广，
a1+a22≥a1a2；
a1+a2+a33≥3a1a2a3；
a1+a2+a3+a44≥4a1a2a3a4；
…
a1+a2+⋯+ann≥na1a2⋯an（以上an都是非负数）．
我们把这种关系称为：算术﹣几何均值不等式．
例如：x为非负数时，x+1x≥2x⋅1x=2，则x+1x有最小值．
再如：x为非负数时，x+x+1x2≥33x⋅x⋅1x2=3．
我们来研究函数：y=2x+x2．
（1）这个函数的自变量x的取值范围是 ；
（2）完成表格并在坐标系中画出这个函数的大致图象；
（3）根据算术﹣几何均值不等式，该函数在第一象限有最 值，是 ；
（4）某同学在研究这个函数时提出这样一个结论：当x＞a时，y随x增大而增大，则a的取值范围是 ．
【变式4-2】（2020•海安市一模）定义：若实数x，y，x'，y'满足x＝kx'+2，y＝ky'+2（k为常数，k≠0），则在平面直角坐标系xOy中，称点（x，y）为点（x'，y'）的“k值关联点”．例如，点（3，0）是点（1，﹣2）的“1值关联点”．
（1）在A（2，3），B（1，3）两点中，点 是P（1，﹣1）的“k值关联点”；
（2）若点C （8，5）是双曲线y=tx（t≠0）上点D的“3值关联点”，求t的值和点D的坐标；
（3）设两个不相等的非零实数m，n满足点E（m2+mn，2n2）是点F（m，n）的“k值关联点”，求点F到原点O的距离的最小值．
【考点5】反比例函数与一次函数综合问题
【例5】（2020•南通）将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝ ．
【变式5-1】（2020•泰州）如图，点P在反比例函数y=3x的图象上，且横坐标为1，过点P作两条坐标轴的平行线，与反比例函数y=kx（k＜0）的图象相交于点A、B，则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为 ．
【变式5-2】（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．
【变式5-3】（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【考点6】反比例函数的综合问题
【例6】（2019•徐州）如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y=9x的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2020•镇江）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y=−8x的图象交于点A（n，2）和点B．
（1）n＝ ，k＝ ；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．
【变式6-2】（2020•扬州）如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”
（1）当n＝1时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．
【变式6-3】（2019•泰州）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2=mx（m＞0，x＞0）．
（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．
①求m，k的值；
②直接写出当y1＞y2时x的范围；
（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3=nx（x＞0）的图象相交于点C．
①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；
②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．
压轴精练
一．选择题（共7小题）
1．（2020•惠山区校级二模）下列关于反比例函数y=3x的说法中，错误的是（ ）
A．当x＜0时，y随x的增大而减小B．双曲线在第一三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＞0时，函数值y＞0
2．（2019•扬州）若反比例函数y=−2x的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y＝﹣x+m的图象上，则m的取值范围是（ ）
A．m＞22 B．m＜﹣22 C．m＞22或m＜﹣22 D．﹣22＜m＜22
3．（2019•无锡）如图，已知A为反比例函数y=kx（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
4．（2020•苏州）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是152，则点B的坐标为（ ）
A．（4，83）B．（92，3）C．（5，103）D．（245，165）
5．（2019•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，则ACBD的值为（ ）
A．2B．3C．2D．5
6．（2020•射阳县二模）如图，矩形OABC的一个顶点与坐标原点重合，OC、OA分别在x轴和y轴上，正方形CDEF的一条边在x轴上，另一条边CD在BC上，反比例函数y=−20x的图象经过B、E两点，已知OA＝5，则正方形的边长是（ ）
A．46−2B．4﹣26C．26−2D．6
7．（2020•锡山区校级模拟）如图，A，B两点在反比例函数y=k1x的图象上，C，D两点在反比例函数y=k2x的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝6，BD＝3，EF＝8，则k1﹣k2的值是（ ）
A．10B．18C．12D．16
二．填空题（共5小题）
8．（2020•镇江模拟）点A（m，2），B（n，3）在反比例函数y=−3x的图象上，则m n（用“＜”或“＞”填空）．
9．（2020•宿迁）如图，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若ACBC=12，△AOB的面积为6，则k的值为 ．
10．（2019•南通）如图，过点C（3，4）的直线y＝2x+b交x轴于点A，∠ABC＝90°，AB＝CB，曲线y=kx（x＞0）过点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 ．
11．（2020•盐城）如图，已知点A（5，2）、B（5，4）、C（8，1）．直线l⊥x轴，垂足为点M（m，0）．其中m＜52，若△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，且△A′B′C′有两个顶点在函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值为 ．
12．（2020•淮安）如图，等腰△ABC的两个顶点A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1）在反比例函数y=k1x（x＜0）的图象上，AC＝BC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y=k1x（x＜0）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动32个单位长度，到达反比例函数y=k2x（x＞0）图象上一点，则k2＝ ．
三．解答题（共8小题）
13．（2020•南京）已知反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，﹣1）．
（1）求k的值．
（2）完成下面的解答．
解不等式组2−x＞1，①kx＞1．②
解：解不等式①，得 ．
根据函数y=kx的图象，得不等式②的解集 ．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
14．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝ ，点C的坐标为 ；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．
15．（2019•常州）如图，在▱OABC中，OA＝22，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点A、D．
（1）求k的值；
（2）求点D的坐标．
16．（2019•苏州）如图，A为反比例函数y=kx（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝210．
（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=kx（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求ADDB的值．
17．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y=kx（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．
（1）k＝ ，b＝ ；
（2）求点D的坐标；
（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y=kx（x＜0）的图象上，并说明理由．
18．（2019•盐城）如图，一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点B（m，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积．
19．（2020•姑苏区校级二模）已知反比例函数y=k−8x（k≠8）的图象经过点A（﹣1，6）．
（1）求k的值；
（2）如图，过点A作直线AC与函数y=k−8x的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，求直线AC的解析式；
（3）在（2）的条件下，连接OA，过y轴的正半轴上的一点D作直线DE∥x轴，分别交线段AC、OA于点E、F，若△AEF的面积为43，求点D的坐标．
20．（2020•宜兴市一模）如图1，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，3），反比例函数y=kx（k＜0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，BC于E，F（E，F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A，D重合．
（1）①如图2，当点D恰好在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长；
②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．
（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
14
12
1
2
3
…
y
…
813
3

8116
414

5
923
…