专题2.3-4平行线的性质与用尺规作角（讲练）-简单数学之2021-2022学年七年级下册同步讲练（北师大版）

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一、知识点
1.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。如图所示。性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2.尺规作图：做一个角等于已知角
二、考点点拨与训练考点1:应用平行线的性质求角度
典例：（2020·山西太原市·八年级期末）如图，，平分交于点E，若，则（ ）
A．B．
C．D．
方法或规律点拨
本题考查平角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线把角分成相等的两个小角，且都等于大角的一半．
巩固练习
1．（2019·甘肃庆阳市·七年级期中）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）
A．∠1+∠2−∠3=90°B．∠1−∠2+∠3=90°C．∠1+∠2+∠3=90°D．∠2+∠3−∠1=180°
2．（2020·成都市金牛实验中学校七年级月考）如图，将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若，则（ ）．
A．B．C．D．
3．（2020·沈阳市雨田实验中学八年级期末）如图，于点，，，则（ ）
A．112°B．122°C．132°D．142°
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，直线，点B在直线b上，且，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，直线a，b被直线c所截，，则的度数是（ ）
A．130°B．30°C．45°D．50°
6．（2020·四川攀枝花市·七年级期末）如图，某地域的江水经过B、C、D三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（ ）
A．20°B．25°C．35°D．50°
7．（2021·河南新乡市·七年级期末）如图，，若，则的度数为____．
8．（2020·浙江金华市·七年级期中）在一个平面内，已知的两边与的两边分别平行，若，则__．
9．（2021·保定市莲池区贺阳外国语学校八年级期末）如图，直线，直线与，均相交，若，则________．
10．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．
11．（2021·全国七年级）如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝42°，则∠ACD的度数为__．
12．（2020·河南濮阳市·油田十中八年级期中）一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为______．
13．（2020·成都市棕北中学）如图，，若，，则______．
14．（2020·宁波市惠贞书院七年级期中）如图，，，平分，，，为______°．
15．（2021·浙江宁波市·七年级期末）一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为（）．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，的度数为______．
考点2：平行线的性质与判定的综合应用
典例：．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期中）在三角形中，于点，是上一点，于点，点在上，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长、交于点，若，请直接写出图中与互余的角，不需要证明．
方法或规律点拨
本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·山东青岛市·八年级期末）已知：如图，直线，平分，．求：的度数．
2．（2021·和平区·天津一中八年级期末）如图，，点E是线段上一点，且，．求的大小．
3．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，点、分别为、上的点，点、为上的点，连接，连接、交于点．已知，，若，求的度数．
请你将下面解答过程填写完整．
解：∵
∴________
∴（________________________）
∵
∴_______
∴（____________________________）
∴
∵
∴
4．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知，．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若DE平分，，求的度数．
5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
6．（2021·重庆万州区·七年级期末）补全解答过程：
如图，EF∥AD，∠1=∠2，若∠BAC=70°，求∠AGD．
解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2= ，（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=∠3，（等量代换）
∴AB∥ ，（ ）
∴∠AGD＋∠BAC=180°．（ ）
∵∠BAC=70°，（已知）
∴∠AGD= ．
7．（2020·四川资阳市·七年级期末）如图，直线和直线相交于点，连接，点分别在、、上，连接、，是上一点，已知
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．（用表示）
8．（2020·黑龙江哈尔滨市·七年级期末）三角形ABC中，D是AB上一点，交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接BE，若，，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若，BE平分，求的度数．
9．（2021·全国七年级）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，∠A=30°，求∠B的度数．
10．（2021·全国七年级）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2
（1）求证：AB∥CD
（2）若∠D＝∠3+50°，∠CBD＝70°，求∠C的度数．
11．（2020·山东省青岛第五十九中学八年级期末）如图，已知，，．
（1）请你判断与的数量关系，并说明理由；
（2）若，平分，试求的度数．
12．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图所示，直线分别与直线是好点B、F，且，的平分线交直线于点E，的平分线交直线于点C．
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由
（2）请判断直线与的位置关系，并说明理由
（3）若，求的度数
13．（2020·哈尔滨市第四十七中学七年级月考）如图，，，， ，求：的度数．
请完成下面的推理和计算过程，并在括号内写明依据．
∵（已知）
∴ ① （ ② ）
∵（已知）
∴ ③
∵（已知）
∴
∴ ④
∴ ⑤
∴（ ⑥ ）
∴ ⑦
∵
∴ ⑧° ．
考点3：应用尺规作图作已知角
典例：（2020·惠州市第七中学八年级月考）如图，线段交于．
（1）尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，但保留作图痕迹并写出结论）
（2）判断与的位置关系并说明理由；
【答案】（1）作图见详解；（2）∥.理由见详解.
【分析】
(1)利用作一个角等于已知角的尺规作图可得；
(2)根据,得到∠B=∠1，由作图知∠B=∠F,得到∠1=∠F即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图所示，∠EFG即为所求；
(2) ∥.理由，如图，
∵,
∴∠B=∠1，
∵由作图知∠B=∠F,
∴∠1=∠F，
∴∥.
方法或规律点拨
本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图．
巩固练习
1．（2020·山西晋中市·七年级期末）下面出示的的尺规作图题，题中符号代表的内容正确的是（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB
作法：（1）以①为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点P、Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心②长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心③长为半径画弧交（2）步中所画弧于点F；
（4）作④，∠DEF即为所求作的角．
A．①表示点EB．②表示PQC．③表示OQD．④表示射线EF
2．（2021·安徽合肥市·七年级期末）作图题：已知∠α，线段m、n，请按下列步骤完成作图（不需要写作法，保留作图痕迹）
（1）作∠MON＝∠α
（2）在边OM上截取OA＝m，在边ON上截取OB＝n．
（3）作直线AB．
3．（2020·黑龙江绥化市·八年级期末）如图，已知中，，点在上．
（1）试用直尺和圆规在上找一点，使（不写作法，但需保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若；求证：．
4．（2020·全国）如图，在线段MN上求作一点P，使∠APM＝∠BPM，（保留作图痕迹，不必写出作法与证明）．
5．（2019·广东清远市·七年级期中）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，王师傅开车在一条公路上经过点B和点C处两次拐弯后继续前行，且前行方向和原来的方向AB相同．已知第一次的拐角为∠ABC，请借助圆规和直尺作出第二次拐弯后的拐角∠BCD．
6．（2020·全国单元测试）如图所示，已知和．
（1）以为一边在的外部画，；
（2）画出的平分线；
（3）量一量，的度数是多少？
考点4：与平行线有关的作图问题
典例：．（2021·南京外国语学校七年级期末）如图，所有小正方形的边长都是1个单位，A､B､C均在格点上仅用无刻度直尺画图：
（1）过点A画线段的平行线；
（2）过点B画线段的垂线，垂足为B；
（3）过点C画线段的垂线，垂足为E；
（4）线段的长度是点C到直线________的距离；
（5）线段､的大小关系是_________（用“