（全国通用）2022年中考数学一轮复习高频考点精讲精练 专题23 命题与证明（原卷版+解析版）学案

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【高频考点精讲】
1、判断一件事情的语句，叫做命题。许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
2、命题若写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论。
3、任何一个命题非真即假，说明命题是真命题，需要进行推理论证，而判断命题是假命题，只需举出反例即可。
4、由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知结论的思维过程，叫做推理。
（1）演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特殊。
（2）归纳推理是从许多个别事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般。
【热点题型精练】
1．（2021•盘锦中考）下列命题正确的是（ ）
A．同位角相等
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，符合题意；
答案：D．
2．（2021•岳阳中考）下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
答案：B．
3．（2021•嘉兴中考）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝+1C．x＝3D．x＝﹣
解：（﹣1）2＝3﹣2，是无理数，不符合题意；
（+1）2＝3+2，是无理数，不符合题意；
（3）2＝18，是有理数，符合题意；
（﹣）2＝5﹣2，是无理数，不符合题意；
答案：C．
4．（2020•宜昌中考）能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）
A．B．
C．D．
解：例如C选项图中：三角形三个内角都是锐角，则∠α+∠β＞90°．
答案：C．
5．（2021•湘潭中考）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．
2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是 辛丑 年．（用天干地支纪年法表示）
解：2021年，尾数1为辛，2021除以12余数为5，5为丑，那么2021年就是辛丑年．
答案：辛丑．
6．（2020•北京中考）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 丙、丁、甲、乙 ．
解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票，
此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，
即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，
①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，
即丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、甲（6，8）、乙（10，12，14），
或丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、乙（6，8，10）、甲（12，14）；
②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，
此时，四个人购买的票全在第一排，
即丙（3，1，2，4）、甲（5，7）、丁（6，8，10，12，14）、乙（9，11，13），
或丙（3，1，2，4）、乙（5，7，9）、丁（6，8，10，12，14）、甲（11，13），
因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，
答案：丙、丁、甲、乙．
考点02 反证法
【高频考点精讲】
对于命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是间接证法。
适合类型
（1）命题结论:否定型；（2）命题结论:无限型；（3）命题结论:“至多”或“至少”型。
3、反证法一般步骤
（1）假设命题结论不成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题结论正确。
【热点题型精练】
7．（2021•淄博模拟）利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
答案：A．
8．（2021•晋江模拟）若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设（ ）
A．B．C．a＜bD．
解：要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设，
答案：D．
9．（2021•衡水模拟）求证：两直线平行，内错角相等．
如图1，若AB∥CD，且AB、CD被EF所截，求证：∠AOF＝∠EO′D．
以下是打乱的用反证法证明的过程：
①如图2，过点O作直线A'B'，使∠A′OF＝∠EO′D，
②依据理论依据1，可得A'B'∥CD，
③假设∠AOF≠∠EO′D，
④∴∠AOF＝EO′D．
⑤与理论依据2矛盾，假设不成立．
证明步骤的正确顺序是 （ ）
A．①②③④⑤B．①③②⑤④C．③①④②⑤D．③①②⑤④
证明：1、假设∠AOF≠∠EO′D，
2、如图2，过点O作直线A'B'，使∠A′OF＝∠EO′D，
3、依据理论依据1，可得A'B'∥CD，
4、与理论依据2矛盾，假设不成立，
5、∴∠AOF＝EO′D，
答案：D．
10．（2021•金华模拟）用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b．”第一步应假设（ ）
A．a＜bB．a＝bC．a≤bD．a≥b
解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设a＞b不成立，即a≤b．
答案：C．
11．（2021•长春模拟）用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设 若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内 ．
解：用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，
首先应假设：若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内．
答案：若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内．
12．（2021•长春模拟）用反证方法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B必为锐角”的第一步是假设 ∠B一定不是锐角（是直角或钝角） ．
解：∠B与90°的大小关系有∠B＞90°，∠B＝90°，∠B＜90°三种情况，
因而∠B＝90°的反面是∠B＞90°或∠B＜90°．
因此用反证法证明“∠B＝90°”时，应先假设∠B＞90°或∠B＜90°．
即∠B一定不是锐角（是直角或钝角）
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
理论依据1：内错角相等，两直线平行；
理论依据2：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．