四川省巴中市巴南两校2021-2022学年高二上学期期中联考数学（理）试题（含答案）

巴中市巴南两校2021-2022学年高二上学期期中联考

数学试题（理科）

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．直线的倾斜角为（  ）

A． B． C． D．

2．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（  ）

A．        B． C．          D．

3．已知点和圆，则点与圆的位置关系为（  ）

  A．圆外          B．圆上

C．圆内且不是圆心  D．圆心

4．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，

B的任意一点，则下列关系不正确的是（  ）

 A．  B．平面PAC

C．  D．

5．两个球的表面积之差为，它们的大圆周长之和为，这两个球的半径之差为（  ）

   A．1 B．2 C．3 D．4

6．圆与圆的位置关系是（  ）

A．外切 B．外离 C．相交 D．内切　　             

7．已知m，n是不重合直线，是不重合平面，现有下列说法：

①若，则    ②，则

③若，则 ④若，则

   其中正确的是（  ）

  A．①③             B．①④           

C．②③           D．②④

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的

   三视图，则该几何体的体积为（  ）

  A．216  B．108

C．72  D．36

9．已知圆和，则这两个圆的公共弦长为                   （  ）

A．               B．             C．             D．

10．在三棱锥中，平面，，则三棱锥 的外接球表面积是（  ）

A． B． C． D．

11．已知直线与圆交于A，B两点，则弦长的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

12．四棱锥中，底面是边长为的菱形平面,且，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持．则动点的轨迹周长为（  ）

  A． B． C． D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13. 点到直线的距离为          ．

14．已知的三顶点为，则边上的中线所在的直线方程为             ．

15．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使

得，则m的最大值为             ．

16．点在正方体的面对角线（线段）上运动，给出下列五个命题：

①直线与直线为异面直线；

②平面；

③三棱锥的体积为定值；

④平面平面；

⑤直线与平面所成角的大小不变．

其中所有正确命题的序号是          ．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）

已知直线，.

(1)若，求的值；

(2)若，求与间的距离．

18．（12分）

已知圆C过点且与直线相切于点．

(1)求圆C的方程；

   (2)若直线过点A且与直线平行，求直线被圆C截得的线段的长．

19．（12分）如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，．求证：

(1)平面；

(2)平面．

20．（12分）

已知直线过点，直线过点垂直于直线且与轴交于点．

(1)求直线与的方程；

(2)求三角形的外接圆的方程；

(3)以轴为转轴将圆与三角形旋转一周，记圆和三角形旋转后所形成的几何体的体积分别为和，求的值．

21．（12分）

如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，侧面是菱形，，且平面平面，M为中点．

(1)求证：平面平面；

(2)求二面角平面角的正弦值．

22．（12分）

已知圆．

(1)若点在圆C上，当时，设，求的取值范围；

(2)当时，是否存在斜率为1的直线，使得被C截得的弦AB为直径的圆经过原点．若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．

巴中市巴南两校2021-2022学年高二上学期期中联考

答案（理科）

一、选择题

二．填空题

13.         14.          15. 8      16. ②③④

三、解答题

17.解：（1）因为，所以，所以                     4分

（2）当或重合时，，                 6分

      当时，，此时两直线重合，不符合。

当时，，此时两直线平行，满足条件 8分

     所以两直线间的距离为                                        10分

18. 解：（1）设圆的方程为，则················································1分

由已知得： 解得：····················································4分

        ∴　圆的方程为．·······················································6分

　另解：∵　圆过点和

　　　　∴　圆心在线段的中垂线上·············································1分

　　　　又　圆与直线相切于点

　　　　∴　圆心在过点直线的垂线上············································3分

　　　　由解得：···························································5分

　　　　∴　圆的方程为．····················································6分

　 （2）由直线过点且与直线平行，得直线的方程为：

，化简得：·························································8分

设点到直线的距离为，直线被圆截得的线段长为，则：

································································10分

　　　　∴　．···························································12分

19.证明：（1）因为四边形BB1C1C为正方形，B1C∩BC1=E，

所以E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC．

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C．                                                   5分

（2）因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AA1⊥底面ABC

所以CC1⊥平面ABC．因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1．                        

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，

所以AC⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC．            9分

因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C．

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C=C，所以BC1⊥平面AB1C．               12分

20解：（1）由直线过点得的方程为：，即     2分

　　　　∵　　　∴　                                          3分

　　　　又　过点

　　　　∴　的方程为，即                                 4分

　 （2）由（1）知：的方程为，故与轴交于点······································5分

　　　　∵　

　　　　∴　的外接圆是以为直径的圆，其圆心为的中点······························7分

　　　　∴　圆的方程为······················································8分

　 （3）圆绕轴旋转一周所形成的曲面围成的几何体为球体，其体积························9分

　　　　绕轴旋转一周所形成的曲面围成的几何体为为底面半径，分别以为高的两个圆锥的组合体，其体积              11分

　　　　∴　．···························································12分

21. （1）因为平面垂直平面，平面平面

   ,所以。                  2分

    又，所以。                               3分

    又是菱形，，所以三角形为等边三角形，

    为中点.，所以。                                4分

又，所以，

又,所以平面平面                          5分

（2）过点作垂线，垂足为（为中点），连接.由（1）可知       

    ，,所以,,所以

     又因为,所以,所以。      

     又因为,

     所以为二面角的平面角。                                      10分

    三角形中,所以     12分

22. 解：解：（1）法一：当时，圆C的标准方程为        1分

　　　　　　　由点在圆C上知，直线与圆C有公共点

　　　　　　　于是，有：，化简得：              3分

　　　　　　　解得：

　　　　　　　故　的取值范围为                                     5分

　　　　法二：当时，圆C的方程为                  1分

　　　　　　　由点在圆C上，得：

∵　的几何意义为圆C上的点到原点O的距离

又　原点O在圆内

∴　                     3分

　　　　　　　∴　

　　　　　　　∴　的取值范围为．                                    5分

　　　　法三：设点，O为原点，则                    1分

　　　　　　　由数量积的性质，知：

　　　　　　　当与同向共线时，取得最大值

当与反向共线时，取得最小值·········································2分

∴　

　　                              4分

　　　　　　　∴　的取值范围为                                       5分

　 （2）当时，圆C的方程为

        假设存在符合题意的直线

设其方程为，交圆C于                      6分

        ∵　以弦AB为直径的圆经过原点

        ∴　

        ∴　　①                 7分

        由消去并整理，得：

        ∴　　②                                    9分

　　　　　　，即　③

代②入①得：，化简得：            10分

解得：或                                       

当或时，③式成立                                            11分

∴　符合题意的直线存在，其方程为或．              12分