专题37 导数证明恒成立问题大题-2022年新高考数学高频考点 题型专项练习(新高考适用)

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专题37 导数证明恒成立问题大题必刷100题
1．已知函数．
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）若恒成立，求实数的值．
【答案】
（1） ；
（2）.
【分析】
（1）求出的解析式，，当时，，，，由的单调性即可得最小值；
（2）定义域为，，令，则，分别讨论，，和时的单调性，结合零点存在性定理以及即可求解.
（1）
当时，，
所以，
因为时，，，
所以时，，
所以在上是单调减函数，，
所以在上的最小值是．
（2）
定义域为，，
令，则，
若，由（1）知，则，在区间恒成立．
若，因为，，
，，，则，
所以即是增函数．
当时，，，
所以．又因为，
所以存在正数，使得，
当时，，是减函数，所以，不合题意．
若，因为，，
，，．则，
所以是增函数，当时，，
．又，
所以存在正数，使得，
当时，，是增函数，所以，不合题意．
若，因为，，
，，，
则，是增函数．因为，
所以当时，，不合题意．
综上所述，实数的值为．
2．已知函数．
（1）讨论的单调性：
（2）若对恒成立，求的取值范围．
【答案】
（1）答案不唯一，具体见解析
（2）
【分析】
（1）求导得，在分，两种情况讨论求解即可；
（2）根据题意将问题转化为对恒成立，进而构造函数，求解函数最值即可.
（1）
解：函数的定义域为，．
当时，令，得，令，得；
当时，令，得，令，得．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）
解：由（1）知，函数在上单调递增，
则，
所以对恒成立等价于对恒成立．
设函数，则，
设，则，则在上单调递减，
所以，则，
所以在上单调递减，
所以；
故，即的取值范围是．
3．已知函数，.
（1）若，证明：；
（2）若恒成立，求a的取值范围.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
【分析】
（1）由，求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；
（2）先由可得，再利用导数求出函数的最小值，再根据，不等式的性质证明最小值恒大于0即可求解.
（1）
当时，，，，
易知在单调递增，且，
所以时，，时，
∴在单调递减，单调递增，
∴.
（2）
∵，
∴，
∴，
，，易知在单调递增，
且，，
∴，且在单调递减，单调递增，
∴，且，
∴，
易证，
∴，∴，
∴，∴
∴.当时，，
∴实数a的取值范围是.
4．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】
（1）答案见解析
（2）
【分析】
（1）根据分类讨论，利用导数求出函数的单调区间；
（2）化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可.
（1）
，
.
当时，，在R上单调递增.
当时，令，得.
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
故当时，的单调递增区间是R；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）
，
，
，
∵，
∴，在上单调递增，
.
当，即时，
，在上单调递增，
则，，
故.
当，即时，
，
，，即或，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
则，
，
∴.
令函数，且，
，在上单调递增，
，
∵（），
∴.
综上，实数a的取值范围是.
5．已知，．
（1）求的单调区间；
（2）若时，恒成立，求m的取值范围．
【答案】
（1）在单调递减，在单调递增.
（2）
【分析】
(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；
(2)将问题转化为在恒成立，令，再利用（1）的结论进行求解，即可得到答案；
（1）
，，
①当时，，
在恒成立，，在单调递减，
②当时，令，则在恒成立，
在单调递增，且，在恒成立，
即在恒成立，
在单调递增，
综上所述：在单调递减，在单调递增.
（2）
当时，
在恒成立，令，
，令，
由（1）得，在单调递增，且，
在恒成立，在单调递增，，
.
6．已知曲线在点处的切线方程是.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，都有，求实数的取值范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求出和以及，利用点斜式求出切线方程再根据多项式相等可得答案；
（2）转化为对任意，都有，利用导数求出、可得答案.
（1）
，，，
所以在点处的切线方程是，
即，化简得：，
又切线方程是，故，
，，
所以的解析式为.
（2）
因为对任意，都有，
所以对任意，都有，
因为，
所以当时，，则是增函数，
当时，，则是减函数，
当时，，则是增函数，
所以，，
所以，实数的取值范围是.
7．已知函数.
（1）若，求函数在上的零点个数；
（2）当时都有，求实数的取值范围.
【答案】
（1）只有一个零点
（2）
【分析】
（1）首先利用导数确定函数的单调性，再利用零点存在定理即可判断函数的零点个数（2）可通过讨论在的最小值，使恒成立，来确定实数的取值范围
（1）
因为，所以，，
因为，所以，所以在上是单调增函数，
又因为，，
所以在上只有一个零点.
（2）
因为，所以，
令，，因为，
所以，为增函数，，
当时，即时，，即，
所以在上为增函数，，
所以时满足时都有；
当时，即时，，
又，
所以，使，
所以时，即，为减函数，，与矛盾，所以不成立，
综上实数的取值范围是
8．已知函数.
（1）若函数在时取极值，求的单调区间；
（2）若当时，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调增区间为和，单调减区间为；（2）
【分析】
（1）由可得的值，进而可得表达式，再分别解不等式和即可得单调递增和单调递减区间；
（2）根据题意可得对于恒成立，令，只需
，利用导数讨论、、时的单调性以及最值即可求解.
【详解】
（1），
因为函数在时取极值，所以，
可得：，所以，
，
由可得：或；由可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以在时取极大值，符合题意；
所以的单调增区间为和，单调减区间为；
（2），
若当时，可得对于恒成立，
令，只需，，
当时，恒成立，此时在上单调递增，
，所以不成立
当时，由可得，由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以只需，解得：，所以，
当时，恒成立，此时在上单调递减，
所以，所以恒成立，所以符合题意，
综上所述：，
所以实数的取值范围是，
9．已知函数在处取得极值，其中为常数.
（1）试确定的值；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）若对任意，不等式有解，求的取值范围.
【答案】（1）；；（2）单调递增区间为，的单调递减区间为；
（3）
【分析】
（1）由，求得，由，得;
（2）将(1)中得到的的值代入函数表达式，进而得到．判定导数的正负区间，进而得到单调区间；
（3）由（2）知，得到函数最大值，根据不等式有解得到的不等式求解即得.
【详解】
（1）由题意知，因此，从而．
由题意求导得，因此，解得；
（2）由（1）知．令，解得．


1


＋
0
－


极大值

因此的单调递增区间为，而的单调递减区间为；
（3）由（2）知，在处取得极大值，此极大值也是最最值．
要使（）有解，只需．
即，从而．
解得．
所以的取值范围为.
10．已知函数，，其中，为自然对数的底数.
（1）判断函数的单调性；
（2）若不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
【答案】
（1）在单调递减；在上单调递增；
（2）.
【分析】
（1）的定义域为，求，分别解不等式，即可得单增区间和单减区间即可求解；
（2）求出的解析式以及，讨论时，在上单调递减，而不符合题意，当时，对再求导可判断在上单调递增， ，再讨论和时，的单调性和最值即可求解.
（1）
函数的定义域为，
由可得，
由可得，由可得，
所以在单调递减；在上单调递增；
（2）
由题意得，且，
当时，因为时，，所以在上单调递减，
又因为，故在上不可能恒成立；
当时，令，
则，
所以在上单调递增，则，
①当，即时，在上单调递增，
所以，故在上恒成立；
②当，即时，，，
故存在在使得，
此时函数在上单调递减，又，
故在上不可能恒成立，故不符合题意.
综上所述，的取值范围.
11．已知函数.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】
（1）单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值，极小值
（2）
【分析】
（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可；
（2）分情况讨论，利用导数研究函数的单调性和极值即可求解.
（1）
当时，函数，定义域为，
.
当时，或，
当时，，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值.
（2）
.
①当时，，，
令，解得，
则当时，，且，
所以函数恒成立，不符合题意，舍去；
②当时，令，解得，
令，解得，
则函数在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在处取得极大值，也是最大值，
要使得恒成立，则只需，
解得，故.
综上，的取值范围是.
12．已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
（1）为上的单调递减函数
（2）
【分析】
（1）根据题意得，再令，求导得，进而得函数为上的单调递减函数.
（2）根据题意，将问题转化为恒成立，再令，进而利用导数研究函数最值即可求解.
（1）
解：当时，，
所以，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，即，
所以函数为上的单调递减函数.
（2）
解：若恒成立，即恒成立，
显然，当时成立，
当时，不等式等价于恒成立，
令，则，
当时，得或，即函数在和上单调递增，
当时，得，即函数在上单调递减，
由于时，由正数趋近于，当时，
所以函数的草图如图，
所以恒成立，只需
所以实数的取值范围是


13．己知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，若恒成立，求a的取值范围．
【答案】
（1）答案见解析．
（2）
【分析】
（1）求导函数，分类讨论确定导函数的正负得单调性；
（2）利用（1）的结论，在时，由函数的最小值不小于1得结论，时，，题设不等式不可能成立．由此即得．
（1）
解：函数定义域是，
，
时，或时，，时，，
的增区间是，减区间是和．
同理可得时，的减区间是，增区间是和．
（2）
由（1）知，若，则时，，恒成立，
则，，
若，时，，不合题意．
综上，的取值范围是．
14．已知函数，
（1）若，求函数的极值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若存在，使得成立，求a的取值范围．
【答案】
（1）极小值为，无极大值
（2）单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）
【分析】
（1）研究的单调区间，进而求出的极值；（2）先求，再解不等式与，求出单调区间，注意题干中的的条件；（3）先把题干中的问题转化为在上有，再结合第二问研究的的单调区间，对a进行分类讨论，求出不同范围下的，求出最后结果
（1）
当时，，定义域为，
令得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是函数的极小值点，的极小值为，无极大值
（2）
，定义域为

因为，所以，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减.
综上：单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）
存在，使得成立，等价于存在，使得，即在上有
由（2）知，单调递增区间为，单调递减区间为，所以
当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，由得：，因为，故.
当，即时，由（2）知：在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为
令
因为，所以，则，即，不满足题意，舍去
综上所述：a的取值范围为
15．已知函数()．
（1）求函数的单调区间；
（2）是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）答案见解析
（2）存在，a的取值集合为
【分析】
(1)对求导得，然后结合的定义域，通过判别式讨论的零点分布，进而得到的单调区间；(2)通过构造新函数，将不等式恒成立问题转化为最值和极值问题，进而求出的值，然后利用导函数检验的值满足题意即可求解.
（1）
()，
令，其中，
①当时，即时，在上恒成立，故在上单调递增．
②当时，即或时，
的两根分别为，，，
由韦达定理可知，，，
(i)当时，可知在上恒成立，故在上单调递增．
(ii)当时，由得或；由得．
故在，上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）
设，则，
依题意，函数恒成立，又由，进而条件转化为不等式对恒成立，
所以是函数的最大值，也是函数的极大值，
故，解得，
下面证明当时，满足题意，
()，
令可得；令可得，
故在上递增，在上递减．
因此，即不等式恒成立．
综上所述，存在且a的取值集合为．
16．已知函数.
（1）设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：；
（3）设函数的两个零点、，求证：.
【答案】
（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【分析】
（1）利用参变量分离法得出，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围；
（2）证明出，即可证得结论成立；
（3）分析可得，证得，利用基本不等式可得出，构造函数，分析看可知函数在上为增函数，分析得出，结合函数的单调性可证得结论成立.
（1）
解：由可得，可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，所以，；
（2）
解：要证，即证，
由（1）可知，，当且仅当时，等号成立，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
因为和取等的条件不同，故，即；
（3）
解：由题知①，②，
①②得③，
②①得④.
③④得，
不妨设，记.
令，则，
所以在上单调递增，
所以，则，即，
所以.
因为
，
所以，即.
令，，则在上单调递增.
又，
所以，即，所以.
17．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；（2）由（1）所求的单调性，结合，分别求出的范围再求并集即可.
【详解】
解：（1）由已知定义域为，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.
所以时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；
当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；
若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.
所以综上所述：.
18．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）设，当时，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）当时，，求导函数，求得，根据直线的点斜式方程可求得切线方程；
（2）由题意得需，对求导函数，设，再对求导函数，研究导函数的符号，得出函数的单调性，继而得的单调性和函数值的符号，由此得函数的单调性和值域，由此可求得的取值范围.
【详解】
解：（1）当时，，，，且定义域为，，
所以，在处的切线为，即.
（2）由题，当时，，则只需，又，因为，所以，有，
设，则，有，设，则，
因为，所以，所以，则有在上单调递增，即在上单调递增，
当时，即时，，此时，在上，
所以在上单调递增，即在上单调递增，有，可得在上单调递增，所以符合题意；
当时，即时，，，
因为在上单调递增，所以存在，使得，此时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上，，
此时在上单调递减，所以当，，不满足当时，，
综上所述，的取值范围为.
19．已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数的极小值点为，且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）依题意求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而利于点斜式求出切线方程；
（2）依题意可得，再对参数分类讨论，当不满足条件，当或时，令，设方程的两根为和，则，，，则，，令，利于导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1）由，函数可化为，所以，当时，所以在点处切线的斜率为.又即切点为，所以切线方程为，即所求切线方程为.
（2）因为，当，即时，函数单调递增，无极值点，不满足条件；当即或时，令，设方程的两根为和，因为为极小值点，所以，又因为，，所以，，所以，所以则.因为，，令，，所以，所以，，当时，，为减函数，所以，所以在区间上单调递减，所以.又恒成立，所以，即实数的取值范围为.
20．已知函数，．
（1）当时，求函数最大值的表达式；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围：
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）讨论对称轴与动区间的位置关系，即分，，然后简单计算即可.
（2）通过构建函数，利用导数研究函数的性质，并分类讨论，计算结果，最后进行判断即可.
【详解】
解：（1），
①当即时，，
②当即时，，

（2）对于任意的恒成立，
则，
解法一：，两边同除以，
即对于任意的恒成立，
设，，
，
①当，即时，，为增函数，
，即，满足．
②当，即时，，为减函数，
，即，满足
③当时，即时，
当时，，当时，，
只需，
即，
设，其中，
为递减函数，，
，
故，，
综上：．
解法二：设，，则，
令，则，
在上为增函数，则．
当时，，即，为增函数．
则只需，得，故时成立；
当时，，即，为减函数．
则只需，得，
故时成立；
当时，


时成立．
综上：的取值范围是．
21．已知函数，，其中．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程；
（2）将不等式对于任意的恒成立转化为任意的，恒成立，设，，求导，分，，讨论，通过求求实数的取值范围．
【详解】
解：（1）由题意知：，，即切点为，
，，
故切线方程为：，即．
（2）由题意知：不等式对于任意的恒成立，
任意的，恒成立，
设，，
，
①当，即时，，为增函数，
，即，满足．
②当，即时，，为减函数，
，即，满足
③当时，即时，
当时，，当时，，
只需，
即，
设，其中，
为递减函数，，
故，，
综上：．
22．已知函数．
（1）若存在极值，求实数的取值范围；
（2）若，当时，恒成立，且有且只有一个实数解，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）分析可知在上有零点，且，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围；
（2）分析可知，函数在上有唯一零点，可得出，消去可得，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，分析得出，由函数在上的单调性可证得结论成立.
【详解】
（1）的定义域为，则，
则，设，
则在上有零点，且，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围为；
（2）由题意可得，，
令，解得．
因为，所以，，
所以在上有唯一零点．
当时,，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
所以．
因为在上恒成立，且有且只有一个实数解，
所以，即，
消去并整理得．
令，则，，
在上恒成立，所以在上单调递增，
又，，所以．
又，且函数在上单调递增，所以．
23．已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）若，，证明：有且仅有一个零点.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题可知等价于，构造函数利用导数可证；
（2）利用导数判断函数单调性，可求函数的极值，再结合零点存在性定理可证.
【详解】
（1）当时，等价于.
设，当时，，单调递增，
故，，即.
于是当时，.
（2）定义域为，.
若，当或时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，在单调递增.
，
所以函数在上没有零点；
因为，，所以，
∴，
当满足且时，由（1）可知，
∴函数在上有一个零点；
综上所述，有且仅有一个零点.
24．已知函数.
（1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2），.
【分析】
（1）根据导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，再与题设中切线方程比较对应项系数得到两个方程，即可解出；
（2）由同构思想将整理变形为，构造函数，问题转化为，由于函数在其定义域内为增函数，可得，再分参得，求出函数的最大值，即解出．
【详解】
（1）由题意，，，，
则曲线在处的切线斜率，，
故曲线在处的切线方程为：，
结合题意从而有，，，所以.
所以，．
（2）因为，即，
即，
构造函数，问题转化为
注意到函数在其定义域内为增函数，
故，即，所以.
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取极大值，即为最大值，所以的最大值为，
所以，则，故实数的取值范围为，.
25．已知函数f（x）=ex﹣alnx（a∈R且为常数）.
（1）讨论函数f（x）的极值点个数；
（2）若f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）当a≤0时，f（x）无极值点，当a>0时，函数f（x）只有1个极值点；（2）（﹣∞，1].
【分析】
（1）求出导函数f'（x），再对a分情况讨论，根据导函数f'（x）的正负得到函数f（x）的单调性，进而得到函数f（x）极值点的个数.
（2）不等式f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，对任意的x∈（0，+∞）恒成立，记，通过求F（x）的最小值得结论.
【详解】
（1）由题设知：f（x）的定义域为（0，+∞），，
令g（x）=xex，∵（xex）′=ex+xex>0在（0，+∞）上恒成立，
∴函数g（x）=xex在（0，+∞）上单调递增，且值域为（0，+∞），
①当a≤0时，xex﹣a>0在（0，+∞）上恒成立，即f′（x）>0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点；
②当a>0时，方程xex﹣a=0有唯一解为x0（x0>0），
当0 当x>x0时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，
∴x0是函数f（x）的极小值点，没有极大值点.
综上，当a≤0时，f（x）无极值点，
当a>0时，函数f（x）只有1个极值点；
（2）不等式f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
即xex﹣lnx﹣1≥bx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，
∴对任意的x∈（0，+∞）恒成立
记，则，
记h（x）=x2ex+lnx，则，易知h'（x）>0在（0，+∞）上恒成立，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，且，h（1）=e>0，
∴存在，使得h（x0）=0，且当x∈（0，x0）时h（x）<0，即F'（x）<0，
∴函数F（x）在（0，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时h（x）>0，即F'（x）>0，故F（x）在（x0，+∞）上单调递增，
∴F（x）min=F（x0），即，
又h（x0）=0，故，即，即，
由（1）知函数g（x）=xex在（0，+∞）上单调递增，
∴，，
∴b≤1.
综上，实数b的取值范围是（﹣∞，1].
26．已知函数，．
（1）求函数的最值；
（2）若不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1），无最小值；（2），.
【分析】
（1）先求导，根据导函数得符号求出函数的单调区间，从而可求得函数得最值；
（2）分离参数，再构造函数，再求导，利用导数求出函数的最大值，即可得出答案.
【详解】
解：（1），，故其定义域为，
，
令，得，
令，得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，无最小值；
（2），
，
令，

令，解得，
当在内变化时，，变化如下表



，


0





由表知，当时函数有最大值，且最大值为，
所以实数的取值范围，.
27．已知函数，设在点处的切线为
（1）求直线的方程；
（2）求证：除切点之外，函数的图像在直线的下方；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围
【答案】（1）y＝x﹣1；（2）见详解；（3）（﹣∞，1）.
【分析】
（1）求导得，由导数的几何意义k切＝f′（1），进而可得答案．
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，求导得h′（x），分析h（x）的单调性，最值，进而可得f（x）﹣（x﹣1）≤0，则除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，令g（x）＝，x＞1，只需a＜g（x）max．
【详解】
（1），
由导数的几何意义k切＝f′（1）＝1，
所以直线m的方程为y＝x﹣1．
（2）证明：设函数h（x）＝f（x）﹣（x﹣1）＝﹣x+1，
，
函数定义域为（0，+∞），
令p（x）＝1﹣lnx﹣x2，x＞0，
p′（x）＝﹣﹣2x＜0，
所以p（x）在（0，+∞）上单调递减，
又p（1）＝0，
所以在（0，1）上，p（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在（1，+∞）上，p（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）max＝h（1）＝0，
所以h（x）≤h（1）＝0，
所以f（x）﹣（x﹣1）≤0，
若除切点（1，0）之外，f（x）﹣（x﹣1）＜0，
所以除切点（1，0）之外，函数f（x）的图象在直线的下方．
（3）若存在x∈（1，+∞），使得不等式f（x）＞a（x﹣1）成立，
则若存在x∈（1，+∞），使得不等式＞a成立，
即若存在x∈（1，+∞），使得不等式a＜成立，
令g（x）＝，x＞1，
g′（x）＝
＝ ，
令s（x）＝x﹣1﹣（2x﹣1）lnx，x＞1
s′（x）＝1﹣2lnx﹣（2x﹣1）•，
令q（x）＝﹣x﹣2xlnx+1，x＞1
q′（x）＝﹣1﹣2lnx﹣2＝﹣3﹣2lnx＜0，
所以在（1，+∞）上，q（x）单调递减，
又q（1）＝0，
所以在（1，+∞）上，q（x）＜0，s′（x）＜0，s（x）单调递减，
所以s（x）≤s（1）＝0，即g′（x）≤0，g（x）单调递减，
又，
所以a＜1，
所以a的取值范围为（﹣∞，1）．
28．已知函数，，其中.
（1）证明：当时，；当时，；
（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【分析】
（1）对求导，得到，对x分讨论即可获得证明；
（2）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，易得单增，分与两种情况讨论，结合的单调性及零点存在性定理可得到满足题意的a.
【详解】
（1），,
当时，，，则；
当时，，，则，
当时，．
所以当时，，在上是增函数，
又，
所以当时，；
当时，．
（2）函数的定义域为，
由（1）得，当时，，又，
所以当时，恒成立．
由于当时，恒成立，
故等价于：当时，恒成立．
，．
当时，，，故；
当时，，，故．
从而当时，，单调递增．
①若，即，则当时，，单调递减，
故当时，，不符合题意；
②若，即，取，
则，且，
故存在唯一，满足，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
若，则当时，单调递增，，不符合题意；
若，则，符合题意，此时由得；
若，则当时，单调递减，，不符合题意．
综上可知：存在唯一实数满足题意．
29．已知函数，，
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，使成立，求m的取值范围.
（3）当时，若关于x的方程有两个实数根，，且，求实数k的取值范围，并且证明：.
【答案】（1）f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；（2）（0，）；（3）k＞1﹣ln2，证明见解析.
【分析】
（1）求导得，分析的正负，进而可得f（x）的单调性，即可得出答案．
（2）求出f（x）min，令h（x）＝，求出h（x）min，只需f（x）min＞g（x）min，即可得出答案．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，分析f（x）的单调性，进而可得f（x）min，若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，则k＞1﹣ln2，且lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，推出lnx1＝lnx2+﹣，f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣，令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，求导分析F（x）的单调性，进而可得f（x1）＜f（1﹣x2），再结合f（x）在（0，）上单调递减，即可得出答案．
【详解】
解：（1），
令f′（x）＞0，得x＞，
令f′（x）＜0，得0＜x＜，
所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知，f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣lnm，
令h（x）＝＝＝，x∈（0，3），
h′（x）＝＝，
在x∈（2，3）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
在x∈（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）min＝h（2）＝＝，
所以1﹣lnm＞，
所以0＜m＜，
所以m的取值范围是（0，）．
（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，
由（1）可知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣ln2＞0，
若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，
则k＞1﹣ln2，
所以lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，
得lnx1+＝lnx2+，
所以lnx1＝lnx2+﹣，
f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx1+﹣ln（1﹣x2）﹣
＝（lnx2+﹣）+﹣ln（1﹣x2）﹣
＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣
令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，


＝，
因为x＞，
所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，
所以F（x）在（，+∞）单调递减，
所以F（x）＜F（）＝
所以f（x1）＜f（1﹣x2），
因为0＜x1＜＜x2，
所以﹣＞﹣x2，即1﹣＞1﹣x2，
所以0＜1﹣x2＜，
因为f（x）在（0，）上单调递减，
所以x1＞1﹣x2，
所以x1+x2＞1，得证．
30．已知函数，．
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，证明：；
（2）设，若对，均有，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）利用条件求出，然后研究函数的最值即可证明不等式；
（2）原不等式等价于，分类讨论研究函数的单调性，结合极值即可得到实数的取值范围．
【详解】
（1）证明：因为，所以切线的斜率．
又因为切线与直线平行，所以，解得，
所以．
，
由得，则函数的单调递增区间为；
由得，则函数的单调递减区间为，
所以在处取极大值，也为最大值，
且．所以；
（2）证明：由得，
整理得．
设，则在上

恒成立，
①当时，，在上单调递增，依题意得．满足题意；
②当时，
由得，则函数在上单调递减，
由得，则函数在上单调递增，
所以在处取极小值，也为最小值．

．
依题意得．可得，解得．
综上可得实数的取值范围为．
31．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求的导函数，讨论参数判断的符号，进而确定的单调性；
（2）由题设可知在上恒成立，构造并利用导数研究单调性，即可求的取值范围.
【详解】
（1）∵，
当时，，由得；由得.
当时，令，令得，.
当时，由得；由得.
当，即时，由得；由得.
当，即时，恒成立.
当，即时，由得，由得.
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由，故在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，
令，则，
，则，
在上单调递减，则，
，则在上单调递减，有，

的取值范围是.
32．已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）设，若恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）单调性见解析；（2）．
【分析】
（1）求得，分和两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调性；
（2）当时，根据， 构造函数，求得，令，利用导数求得单调性，结合，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域为，且，
（ⅰ）当时，，则在上单调递增；
（ⅱ）当时，令得到，
当时，单调递增，当时，单调递减；
综上可得，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由，令，则，故，
证明：时符合题意，
当时，，
以下证明：，
构造函数，
则．
令，则，
令，可得；令，可得，
于是在上递减，在上递增，于是，
可得当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，故，
综上可知，实数a的取值范围．
33．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若对恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）的极大值为，极小值为；（2）．
【分析】
（1）利用导数求解函数的极值即可.
（2）首先利用导数求出函数的最小值，从而得到，再解不等式即可.
【详解】
（1）当时，，
，
令，解得或．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的极大值为，极小值为．
（2）．
令，即，解得或．
因为，所以当x变化，，的变化情况如下表：




1


+
0
-
0
+

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
当时，有，，，
所以，从而．
又函数在处取得极小值，
所以为函数在R上的最小值．
因为不等式对恒成立，
所以，解得．
所以a的取值范围是．
34．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）．
【分析】
（1）两次求导可判断的单调性，进而得出的单调性；
（2）转化为成立，构造函数，通过导数求出函数的单调性可判断.
【详解】
（1）当时，，
设，
∵，∴在上递增，即在上递增，
又，∴当时，；当时，，
∴的增区间为，减区间为.
（2）当时，恒成立，
①当时，不等式恒成立，可得；
②当时，可得恒成立，
设，则，
设，可得，，
由，可得恒成立，可得在递增，
∴，
∴恒成立，即在递增，∴，
再令，可得，
当时，，在递增；
当时，，在递减，
∴，即，
综上：的取值范围是.
35．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求使在区间上恒成立的的所有值.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.
【分析】
（1）求导，分，讨论求解即可得答案；
（2）根据题意得，进而得在区间上单调递减，在区间上单调递增，故根据题意得，即，再令，研究函数最值即可得答案.
【详解】
（1）由题意得，
①当时，，则在区间上单调递增；
②当时，令，解得，令，解得，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）时，，
∵在区间上恒成立，
∴，∴.
令，解得，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴.
∴，即.
设，则，
令，得，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴，
∴在区间上恒成立，当且仅当时，，
∴满足不等式的的值为．
综上，使在区间上恒成立的的所有值为．
36．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）当时，求得，得到，，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）由题意得到，，求得，分和类讨论，分别求得函数的单调性和最小值，即可求解.
【详解】
（1）当时，的定义域为，
可得，所以，又由，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）对任意的，要使成立，只需任意的，.
又由，
当时，即时，在上是增函数，所以只要，从而，所以满足题意；
当时，即时，，
所以在上是减函数，上是增函数，
从而时，与矛盾，故不满足题意.
综上所述，实数的取值范围是.
37．已知函数，，…为自然对数的底数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求，分别讨论、、以及时，求不等式和的解集即可求解；
（2）结合（1）中的结论，分四类、、以及时讨论时的范围，前三类只需举反例说明不成立，当时，分和两种情况讨论即可求解.
【详解】
（1）由可得
①若，，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
②若，由得：或，且，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
③若，由得：，
恒成立，所以在上单调递增，
④若，由得：或，且，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增；在上单调递减；
（2）由（1）知，
当时，，不满足题意，
当时，，，不满足题意，
当时，，不满足题意，所以，
当时，，在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增；
所以对恒成立，则，所以，
当时，，在上单调递增；在上单调递减；
所以，所以，
综上可知：.
38．已知函数，其中.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.
【分析】
（1）求导可得，分析正负即得解；
（2）转化为，当时有，，只需证明当时，不等式成立即可，当可转化为，令函数，即对恒成立，求导分析单调性，证明即可.
【详解】
（1）依题意，，故，
令，解得，故当时，，
当时，，
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）依题意，，
令，得，
①当时，不等式显然成立，
②当时，两边取对数，即恒成立，
令函数，即对恒成立，
由，得，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
因此
令函数，其中，则，得，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
又，故当时，恒成立，
因此恒成立，即当时，对任意的，均有成立，
综上所述，实数的取值范围为.
39．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
（1）求f(x)的极值点；
（2）若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）极大值点为，极小值点为；（2）；（3）.
【分析】
（1）求导，讨论导函数的正负得出函数的单调性，根据函数的单调性可求得其极值点；
（2）由（1）可知函数的单调性及极值，结合数形结合分析可得的范围；
（3）由题意分离参数即在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，求出其在上的最小值即可得到答案.
【详解】
（1），令，
得，
当时，f′(x)>0，当，f′(x)<0，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
所以，分别为的极大值点，极小值点.
(2)当时，，当时，，
，
要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点，则
则方程f(x)＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为.
（3）当时，由f(x)≥k(x－1)，即，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，
所以在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以g(x)>g(1)＝－3，所以所求k的取值范围是为(－∞，－3].
40．已知函数．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）0；（2）.
【分析】
（1）时，利用导数研究的单调性，由此求得的最小值.
（2）利用二次求导的方法研究的单调区间，通过的最小值来求得的取值范围.
【详解】
（1）当 时，，
，
令，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以.
（2），
，，
设因为，
故存在，有，
且在时，在时，
则在单调递减，在单调递增，
所以函数在处取到最小值，，
又因为，要使得恒成立，
只有才能满足.
故代入，得，
故所求.
41．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有最大值，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】
（1）求出函数的定义域与 ，讨论时、 时，判断导函数的符号，即可求解；
（2）根据（1）可得，得，设，利用导数求出函数的单调性，结合即可求解．
【详解】
（1）的定义域为，
由可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，无最大值，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，取得最大值，
即，
因此有，得，
设，则，所以在内单调递增，
又，所以，得，
故实数的取值范围是．
42．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.
【答案】（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或
【分析】
（1）求出函数导数，由题可得即可求出；
（2）求出在的最大值即可建立关系求解.
【详解】
（1），，
在与时都取得极值，
，解得，
，
令可解得或；令可解得，
的单调递增区间为和 ，单调递减区间为；
（2），
由（1）可得当时，为极大值，而，
所以，
要使对恒成立，则，解得或.
43．已知函数
（1）当时，求在区间中的最大值
（2）若对恒成立，求的取值范围
【答案】（1）最大值为；（2）.
【分析】
（1）求出，解方程得其根，列表得出的正负与的单调性，求出极值，并求出区间端点处函数值，从而得出最大值；
（2）不等式分离参数，引入新函数，，由导数求得的最大值，从而得的取值范围．
【详解】
解：（1）当时，，
，
令，得，，
因为，
所以与的情况如下：





负
0
正

减
极小值
减
又，，
所以，
所以在区间中的最大值为.
（2）当时，“”等价于“”，
设，，
则.
因为与在上都是减函数，
所以在上是减函数，
所以时，，
所以在上增函数，
所以，
所以的取值范围是.
44．已知函数.
(1)若函数存在两个极值点，，求的取值范围；
(2)在(1)的条件下，若不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；(2) .
【分析】
(1)通过已知条件可转化为在由两个解，进而转化为两个函数的交点问题即可求解；(2)首先结合(1)中条件求出，之间的关系，然后对不等式进行参数分离，并构造新函数，利用导数求最值的方法对新函数求最值即可求解.
【详解】
(1)由题意知，的定义域为，

则在上的两个根为，，
即在上有两个不等实根，，
即与在上有两个交点，
易知的对称轴为：，且的图像开口向下，
又因为，，
又由与在上有两个交点，
从而的取值范围为.
(2)由(1)知，在上有两个不等实根，，
即有两个不等实根，，
所以，，则，，
由得，
即，
令，，
则，
因为当时，，，
所以对于恒成立，
故在上单调递减，从而，
故的取值范围为：.
45．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求实数的值并判断的单调性;
（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值.
【答案】（1）在上单调递增， 在上单调递减；（2）最大值是．
【分析】
（1）求导，利用可得实数的值，进而通过导函数的正负值可判断的单调性;
（2）将不等式恒成立转化为，令，利用导数求的最小值即可.
【详解】
解:由题意得，的定义域为，
，

切线与直线平行，
，
故

由得，
此时在上单调递增;
由得，在上单调递减;
所以，在上单调递增， 在上单调递减.
，



在上恒成立，
令.
则
令，
，
在上单调递增.且，
所以方程在上存在唯一的实数根，且，
则，
所以①，
当时，，即;
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以
把①代入得，，，
所以，
故整数的最大值是．
46．已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若在上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值，无极大值；（2）.
【分析】
（1）利用导数求得的单调区间，由此求得的极值.
（2）将转化为，采用分离常数法，通过构造函数，结合导数求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，，所以，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值.
（2）因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则，
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以，
综上可知，实数的取值范围是.
47．已知函数的图象与直线相切.
（1）求实数的值；
（2）若，且恒成立，求实数的最小值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【分析】
（1）求导，通过切线，即可求出参数.
（2）设，再通过导函数得到函数单调性，求出最小值，即可求解.
【详解】
解：
若，则，
的图象不存在斜率为的切线.
若，令可得，
由题意，
得.
（2）设，
则

令，可得
易知单调递增，
在上，单调递减；
在上，单调递增.

根据题意知恒成立，

故
当时，
即的最小值为.
48．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的，都有恒成立，求实数的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为.
【分析】
（1）求导函数，分，，，，，分别讨论导函数的符号，可得出原函数的单调区间；
（2）由（1）所得的函数单调区间，讨论，，，的情况，验证是否满足题意，可得的最小值.
【详解】
解：（1），定义域为，，
当，，所以；，
所以的单增区间；单减区间；
当，令，得.
当，则，所以当；，
所以的单增区间；单减区间
当，则，
若，，所以单增区间为；
当，，
所以当；；
所以单增区间，；单减区间；
当，，
所以当；；
所以单增区间，；单减区间；
综述：当，单增区间；单减区间；
当，单增区间为；
当，单增区间，；单减区间；
当，单增区间，；单减区间；
（2）由题，对任意的，都有恒成立，又.
当，在上递减，所以当，，不符合，舍去.
当，单减区间，单增区间.
所以当，，不符合，舍去.
当，单增区间为，所以在上递增，则恒成立；
当，单增区间，，所以在上递增，则恒成立；
综述：，所以的最小值为.
49．设函数.
（1）若是的极值点，求的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.
【分析】
（1）先求导，令，检验即得解；代入，分别令，得到单增区间和单减区间；
（2）转化为，分，两种情况讨论即可
【详解】
（1），
，经检验符合条件
，
令，有或，令，有，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由题意
当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即
当时，不成立.
综上，.
50．已知函数．
（1）当a＝3时，求f(x)的单调区间；
（2）当a＝1时，关于x的不等式在[0，+¥）上恒成立，求k的取值范围．
【答案】（1）减区间为（－1，2），増区间为（2，＋∞）；（2）．
【分析】
（1）利用导数求得的单调区间；
（2）化简为，构造函数，结合对进行分类讨论，利用求得的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为
当a＝3时，，
，
当时，是减函数，
是増函数，
所以，f(x)的减区间为（－1，2），増区间为（2，＋∞）．
（2）当a＝1时，，
，即，
设，则只需在恒成立即可．
易知，
，
①当时，，此时g(x)在上单调通减，
所以，与题设矛盾；
②当时，由得，
当时，，当时，，
此时在上单调递减，
所以，当时，，与题设矛盾；
③当时，，故在上单调递增，所以恒成立．
综上，．
51．已知函数.
（1）若函数在处取得极值，求实数的值；
（2）当时，不等式对于恒成立，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先根据求解出的值，然后再代回进行验证即可；
（2）采用换元法令，化简不等式将问题转化为“，恒成立”，构造函数，利用导数分析的单调性以及最小值，根据求解出的取值范围.
【详解】
解：（1）因为，所以，
因为在处取极值，所以，所以，
所以，
检验：当时，，













单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
所以在处取极值，符合题意.
（2）当时，，由题知时，，
所以时，，
令，因为为上的增函数，且的值域为，所以，
故问题转化为“，恒成立”，
不妨设，所以，
当时，，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，这与题意不符；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，所以，
记，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
又因为，即，所以.
（注：也可直接讨论函数的单调性）
52．已知函数，，.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求导函数，分和两种情况，分析导函数的符号，可得出原函数的单调区间；
（2）原不等式等价于对任意的恒成立，令，求导函数，分，，，三种情况讨论其导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，可求得实数的取值范围.
【详解】
解：（1），
①当时，恒成立，则在R上单调递增；
②当时，时，，的单调递增区为；
时，，的单调递减区间为.
（2）对任意的恒成立，，
即对任意的恒成立.
令，，
①当时，在恒成立，在上单调递减.只需，即，矛盾.
②当时，在上单调递增，在上单调递减.
所以只需，即，∴；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
；∴，
综上，实数的取值范围为.
53．已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】
（1）求出，再对分三种情况讨论；
（2）由题得，，证明，即得，故，再对分类讨论得解.
【详解】
（1），，．
①若，则恒成立，故在上单调递增．
②若，令，得．






0



极大值

③若，则恒成立，故在上单调递减．
综上所述，若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减；若，在上单调递减．
（2）令，故，
所以，令，
，
下面证明，其中．
令，，则．
所以在上单调递增，故，
所以当时，．
所以，
所以在上单调递增，故．
①若，即，则，所以在上单调递增，
所以对恒成立，所以符合题意．
②若，即，此时，
，
且据及可得，故，
所以．
又的图象在上不间断，所以存在，使得，
且当时，，在上单调递减，
所以，其中，与题意矛盾，
所以不符题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围是．
54．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，证明：时，当恒成立.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数研究的单调性即可.
（2）由分析法：只需证即可，构造，利用导数证明结论得证.
【详解】
（1）函数的定义域为，当时，，
∴，，
∴当或时，，在，单调递减，
当时，， 在单调递增.
故的单调递增区间为，单调递减区间为，.
（2）要证，只需证，
∵，，
∴，
设，则，
∴在单调递增，，
∴，得证.
55．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.
【分析】
（1）利用导数的几何意义可得出关于实数、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得的值；
（2）求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间；
（3）分析可知不等式在上有解，利用导数求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，.
由题意得，，
即，解得，因此，；
（2）.
当时，且不恒为，所以，在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
此时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或，由，得，
此时，在和上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
（3）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解.
当时，，即有解，
令，，则.
，
所以，在上单调递减，所以，，
所以，，即，因此，实数的取值范围是.
56．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）当x＞0时，f（x）＞0恒成立，求正整数k的最大值.
【答案】（1）答案见解析；（2）3.
【分析】
（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的极值.
（2）对进行分类讨论，结合的最小值为正数，利用导数求得正整数的最大值.
【详解】
（1）
①当时，，函数在上单调递增，无极值；
②当时，，得，由得
在上单调递减，在上单调递增，
，没有极大值.
（2）当x＞0时，f（x）＞0恒成立，即只要f（x）min＞0即可，
由（1）k＞0时，f（x）在（﹣1，k﹣1）上单调递减，在（k﹣1，+∞）上单调递增，
（a）若k﹣1≤0即k≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）min＞f（0）＝1满足题意；
（b）当k﹣1＞0即k＞1时，f（x）在（0，k﹣1）上单调递减，在（k﹣1，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（k﹣1）＝lnk﹣k+2＞0，
令g（x）＝lnx﹣x+2，则，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，且g（2）＝ln2＞0，g（3）＝ln3﹣1＞0，g（4）＝ln4﹣2＜0，
所以存在x0∈（3，4）使得g（x0）＝0，
则g（x）＝lnx﹣x+2＞0的解集为（1，x0），
综上k的取值范围（﹣∞，x0），其中x0∈（3，4），
所以正整数k的最大值3.
57．已知函数，.
（1）当时，求的极值；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）极小值=f(0)=1，无极大值；（2）
【分析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，根据f(x)min≥1，求出k的范围即可
【详解】
(1)k=0时， .所以.
令，解得:x>0；令，解得:x<0，
故在递减，在递增，
故极小值=f(0)=-1+2=1，无极大值.
（2）.
①时， ，在递增，成立；
②时，ln2k>0，
令，解得:；令，解得: ，
故f(x) 递减，在递增，
故，
故不合题意.
综上， .
即的取值范围为.
58．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】
（1）先求并将其因式分解，然后对进行分类讨论：、、、，分别确定出的单调区间，由此确定出的单调性；
（2）构造函数，将问题转化为“，恒成立求解的取值范围”，通过导数结合分类讨论的思想分析的单调性并确定最值，由此求解出的取值范围.
【详解】
解：（1）．
若，则当时，；
当时，．
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
若，则，
当时，；
当时，．
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
若，则，在区间上恒成立，
故的单调递增区间为．
若，则，
当时，；
当时，．
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
综上可知：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）令，
则等价于．
．
若，则，在区间上恒成立，
在区间上单调递增，
故，符合条件．
若，则当时，；
当时，．
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，不符合条件．
若，则在区间上恒成立，
在区间上单调递减，
故，不符合条件．
综上所述，的取值范围为．
59．已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）．
【分析】
（1）求导，，转化为分析，结合定义域即得解；
（2）令，转化为，求导分析单调性，分类讨论，即得解
【详解】
（1）因为，所以．
当时，；当时，．
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）令，
则等价于．
．
若，则在区间上恒成立，在区间上单调递增，故，符合条件．
若，则当时，；当时，．故在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，不符合条件．
若，则在区间上恒成立，在区间上单调递减，故，不符合条件．
综上所述，a的取值范围为．
60．已知函数（e是自然对数的底数，）．
（1）讨论函数单调性；
（2）若，，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】
（1）求导可得，分、、、讨论可得答案；
（2）原问题等价于对恒成立；设，则，讨论函数g(x)的最小值；设，结合h(x)的最值可得在上单调递减，在上单调递增，，的取值范围是．
【详解】
（1）的定义域为，，
当时，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，
当或时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，（不恒为零），故在上单调递增；
当时，
当或时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由，得，
当时，，即对恒成立，
设，则．
设，则．
∵，∴，∴在上单调递增，∴，
即，
所以时，，时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，∴，
∴，∴a的取值范围是．
61．设函数，，是自然对数的底数.
（1）若，求函数的极值；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导数，利用导数的正负判断函数的增减性即可求出函数的极值；
（2）令，利用导数结合分类讨论求函数的单调性，根据单调性判断满足的a的范围.
【详解】
（1），，
令，得或，令，得，
所以在，单增， 单减，
所以极大值，极小值，
（2），，
，，
，，
①当，即时，，所以单增，，
所以单增，，符合题意.
②当，即时，，使得当时，所以在单减，，矛盾，所以舍去.
综上.
62．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求α的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）求导函数，由的正负确定单调性；
（2）用分离参数法转化为求函数的最值，得参数范围．
【详解】
解：（1），定义域为，且，
当，则，单调递增
当，令，则；若，则，
综上，当时，函数增区间为，无减区间
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）若恒成立，则恒成立，
，所以分离变量得恒成立，
设，其中，则，
所以，
当时，；当时，.
即函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数取最大值，即，所以
因此，实数的取值范围是.
63．已知函数，，其中.
（1）当时，求证：；
（2）若任意，恒有，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）构造函数，利用导数得到在时取得最小值，且，可得.
（2）转化为在恒成立，令,，分
、、讨论，利用的单调性可得答案.
【详解】
（1）证明：当时，，构造函数，
所以，
所以时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴在时取得最小值，又，
所以当时，.
（2）因为任意，恒有，即，，
则令,，所以，
若，则在上恒成立，
所以在是单调递增，
所以，即，所以不可能；
若，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，而，所以不可能；
若，在上单调递减，在上单调递增，
要使成立，即，解之得.
综上可得.
64．已知函数，，.
（1）求的单调区间；
（2）若对于任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
(1)求出函数的导函数，按a分类解不等式、即得；
(2)根据给定条件构造函数，求出，再按a的取
值分类讨论使恒成立及在某区间上可使即可推理计算作答.
【详解】
(1)对函数求导得，，
当时，，在上为增函数，
当时，由，解得：，而在上单调递增，
于是得当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
所以，当时，的单调递增区间为，
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；
(2)对任意的，恒成立，即恒成立，
将，代入，并整理得：，
设，则原不等式等价于对任意的，恒成立，
则，
令，则，令，解得：，
则当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，
于是得，即，
从而有，
①当时，在上恒成立，在上单调递增，恒成立，
即，对恒成立，
②当时，因，即有，则有时，恒成立，
当时，，
而，当时，，于是得在上为减函数，，
即时，当时不等式不成立，
综上得，
所以实数的取值范围是.
65．已知函数（为常数）
1）讨论函数的单调性；
2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）时，递增，时，在递减，递增；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；
（2）分离参数法变形不等式，转化为求新函数的最值，得出结论．
【详解】
（1）函数定义域是，
，
时，恒成立，在上是增函数；
时，时，，递减，时，，递增．
（2）即在上恒成立，则，
设，则，时，，递增，时，，递减，，所以．
66．若函数，．
（1）讨论的极值点的个数；
（2）若时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）时无极值；时，两个极值点；时，一个极值点；（2）．
【分析】
（1）求出导函数，令，利用导数作出的大致图象，进而讨论符号，结合函数的单调性即可得出函数的极值个数.
（2）根据由，求出，讨论、、或，分别判断函数的单调性，由单调性判断即可求解.
【详解】
（1），令，
，
时，在单调递增；
时，，在单调递减．
如图所示，，

时，，
，在上单调递增，无极值；
时，有两个根，，
时，，；
时，；
时，，
有两个极值点，
当时，有一个根，
时，；
时，，
有一个极值点．
综上：时无极值；时，两个极值点；时，一个极值点．
（2）由，
当时，由（1）知在上单调递增，成立；
当时，由（1）知有两个根，，
当时在上单调递增，在上单调递减，成立；
当时在，上单调递增，在上单调递减，
，
，
成立．综上，．
67．已知函数，．
（1）当时，恒成立，求的取值范围；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）构造，求导分，和三种情况讨论单调性分析最值即可；
（2）化简，构造出，再根据三角函数的范围，求导讨论单调性与极值点分析即可
【详解】
解：（1）令，则，
因为，所以，
当时，，所以在单调递减，
故，符合题意；
当时，因为在单调递减，存在使，当，，单调递增，
故，不符合题意；
当时，，所以在单调递增，
故，不符合题意；
综上所述，.
（2）不等式对恒成立，即，因为，当时成立，故要当时，证明恒成立
设（），，
设，则，，
，
∴在上递增，∴的值域为，
①当时，，为上的增函数，
∴，适合条件；
②当时，∵，∴不适合条件；
③当时，对于，，
令，，存，
使得时，．
∴在上单调递减，∴，
即在时，，∴不适合条件
综上，的取值范围为．
68．已知函数.
（1）设，若，讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】
（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；
（2）在恒成立在恒成立，进而结合（1）讨论函数值求解即可.
【详解】
解：（1），
ⅰ)时，，在上单调递增，
ⅱ)时，恒成立，，故在上单调递减，
ⅲ)，两根为均为正数，
所以令得，令得
所以在单调递减，单调递增，单调递减
（2）在恒成立在恒成立，
由①知时，恒成立，故在上单调递增，所以，显然不合题意；
当，在上单调递减，故，显然符合；
当时，在单调递增，单调递减，由于，故存在，，故不满足.
综上，实数的取值范围为
69．设函数，其中．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数极值点的个数，并说明理由；
（3）若，成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）当时，有一个极值点，当时，函数无极值点，当时，函数有两个极值点；理由见解析；（3）．
【分析】
（1）时，，求导得，由导数的几何意义可得，又，进而可得切线的方程．
（2）函数，其中，，求导得，令，分三种情况：①当时，②当时，③当时，讨论的正负，的正负，的极值点，即可得出答案．
（3）结合（2），得，使得，即可得出答案．
【详解】
（1）时，，定义域为，
，所以，又，
所以函数在点处的切线方程为，即．
（2）函数，其中，，
，令，
①当时，，此时，
函数在上单调递增，无极值点，
②当时，，
若时，，，
，函数在上单调递增，无极值点，
若时，，设方程的两个实数根分别为，，，
因为，，由，可得，所以当时，，，函数单调递增，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
所以函数啊有两个极值点．
③当时，，由，可得，
所以当时，，，函数单调递增，
当时，，，单调递减，
所以函数有一个极值点，
综上所述，当时，有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点．
（3）由（2）可知：
①当时，函数在上单调递增，
因为，所以时，，符合题意，
②时，由，
可得，函数在上单调递增，又，
所以时，，符合题意，
③当时，由，可得，
所以时，单调递减，由，
所以时，，不符合题意，舍去
④当时，设，，，
所以在上单调递增，
所以时，，即，
可得，
当时，，此时，不符合题，舍去，
综上所述，a的取值范围．
70．已知函数，
（1）讨论函数的导数的单调性
（2）当时，不等式对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）．
【分析】
（1）求导可得，再求导分析单调性即可；
（2）化简构造可得对恒成立，再根据，再求导分析分析的正负，结合隐零电脑问题，分析函数的最值判断即可
【详解】
（1），，令，
由，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）当时，不等式对恒成立，等价于对恒成立，
令，，则，
，，令，
则对恒成立，
从而有在上单增，
①当时，，在上单增，
，即对恒成立，
②当时，，


，使得，当时，，在上递减，
当时，，故不成立，
综上，m的取值范围是．
71．已知函数
（1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），单调减区间为，单调增区间为；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，由求得，然后确定的正负得单调区间；
（2）按，和分类讨论，从而得出结论，在时应用两个典型的函数不等式，，对不等式放缩可得结论．
【详解】
（1）由得.

，令，

在上单调递增，
因为，所以当时，，
当时，，令解得，解得，
所以的减区间是，增区间是；
（2）当时，，不合题意，
当时，由（1）知，故，满足题意，
当时，设，，易知时，，递减，时，，递增，因此，所以，即，时，两边取对数得．
，满足题意．
综上，的取舍范围是．
72．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）对函数进行求导得到，再根据导数的几何意义，即可得到答案；
（2）先根据得到，缩小的取值范围，再利用放缩法证明在恒成立，即可得到答案；
【详解】
（1）当时，，，
，
切点为，斜率为，
曲线在点处的切线方程：.
（2）恒成立,,
,
令，，
在恒成立，
在单调递增，且，
，，
在单调递减，在单调递增，
，恒成立，
实数的取值范围.
73．已知函数为奇函数，且在处取得极大值2.
（1）求的解析式；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用，结合单调区间、奇偶性求得的解析式.
（2）利用分离常数法化简已知条件，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.
【详解】
（1）由于为奇函数，所以，，
，
所以，
所以，
所以在区间上递增，在区间上递减，在处取得极小值，符合题意.
（2）依题意对于任意的恒成立，
即①.
当时，①恒成立.
当时，①可化为，
构造函数，，
，
，
当时，，递增，
所以在区间上，，
所以在区间上，.
所以.
74．已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在处取得极值，且存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求导，代入，得到，再结合点斜式，即得解；
（2）求导，利用，求得，转化存在 ，使得为
，再列表分析得到，计算即得解
【详解】
（1）当时，，则，，，
此时，曲线在点处的切线方程为，即；
（2）因为，则，
由题意可得，解得，
故，，列表如下：













增
极大值
减
极小值
增
因为存在，使得，等价于，
∴在上的最大值为，
∴，解得，
所以的取值范围是；
故答案为：
75．已知函数，.
（1）令函数，
①若函数的图象与直线：相切，求实数的值；
②若不等式恒成立，求整数的最大值；
（2）若函数恰有两个极值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）①；②最大值为2；（2）.
【分析】
（1）①设出切点，建立方程组，从而得到实数的值；②经过参变分离转化为恒成立，构建函数求出最小值的取值范围，即可得到整数的最大值；
（2）由题意可知在内有两个变号零点，即有两个不等的正实根，数形结合即可得到结果.
【详解】
解：（1）.
①设切点，，
则，
解得；
②不等式即，，则.
设函数，∴，且均在上是增函数，
∴，且在上是增函数，
∴存在唯一实数，使得，即，
∴在内单调递减，在内单调递增，
，
∴整数的最大值为2；
（2），
则，
由题意可知在内有两个变号零点，
由得，∵，∴，
设（且）
∴，
∴在内递增，在内递增，在内递减.
∵，∴，得，
即实数的取值范围为.

76．已知函数（）.
（1）当时，试求函数图像在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点、（），且不等式恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）时，，再求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）由函数在 上有两个极值点，求导，根据判别式可得，不等式恒成立即为 ，求得，令求出导数，判断单调性，即可得到的范围，即可求得的范围．
【详解】
（1）时，，故.
故，又，故函数图像在点处的切线方程为，即
（2）函数在上有两个极值点，.
由得，
当时，因为，故此时，，，，则可得，，
，
令，则，
因为,，，又.
所以，即时，单调递减，所以，即，
故实数的取值范围是.
77．已知函数．
（1）若在点处的切线斜率为．
①求实数的值；
②求的单调区间和极值．
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）①；②减区间为，增区间为，极小值为，无极大值； （2）.
【分析】
（1）求得函数的导数，①根据题意得到，即可求得的值；
②由①知，结合导数的符号，以及极值的概念与计算，即可求解；
（2）设，根据存在，使得成立，得到成立，结合导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的定义域为，且，
①因为在点处的切线斜率为，可得，解得.
②由①得，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值，
综上可得，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
（2）因为，由，即，
即，设
根据题意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
所以，即实数的取值范围是.
78．已知函数.
（1）如果曲线在点处的切线的斜率是2，求此时的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）设，求证：当时，恒成立.
【答案】（1）；（2）当时，f（x）的单调递减区间为，无单调增区间；当时，f （x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）证明见解析.
【分析】
（1）求得，由点斜式可求得切线方程；
（2）求导得，分和两种情况讨论可得结果；
（3）构造函数，，通过导数求得，进而证得不等式成立.
【详解】
（1） ，由题意知， ，即 ，所以.
又，所以切线方程为，即.
（2）定义域为R，，
当时，恒成立，所以函数在R上单调递减；
当时，当时，，函数递增；
时，，函数递减.
综上：当时，函数的单调递减区间为，无单调增区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）设，则，
设，所以.
因为时，恒成立，单调递增，
又因为 ，，
所以存在唯一的，使得.
列表如下：

0



1



0



0

极小值


当时，.
所以当时，，从而，即恒成立.
79．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导函数，再分别求出，根据倒数的几何意义，即为曲线在点处的切线的斜率，从而可得答案；
（2）由对，恒成立，即恒成立，求出函数的单调区间，从而求得函数在上的最大值，即可得出答案.
【详解】
解：（1）因为，所以.
所以又
所以曲线在点处的切线方程为
即.
（2）由题意知：
，.由，解得，
故当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以.又

所以实数的取值范围为.
80．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】
（1），进而分，，三种情况讨论求解；
（2）结合（1）得，进而，再令，根据和得，进而令，，求函数最小值即可得答案.
【详解】
解：（1）函数的定义域为，，
所以当，即，成立，故函数在上单调递增；
当，即或时，
当时，在上恒成立，故函数在上单调递增；
当时，由得且，
所以的解集为，的解集为，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）得是方程的两个实数根，
所以
所以
，
令，由于，所以，
又因为，
所以，即，解得或，
所以，
令，，
所以，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以的最小值为，
所以实数的取值范围为，即的最大值为
81．已知函数.
（1）函数，求的单调区间和极值.
（2）求证：对于，总有.
【答案】（1）在上单调递减，在和上单调递增；极小值，无极大值；（2）证明见解析.
【分析】
（1）写出的函数表达式，通过求导写出单调区间和极值即可
（2）证明恒成立，结合（1）得，等价于恒成立，且已知左式的最小值，只要大于右式的最大值，则不等式恒成立
【详解】
（1）解：，
当时，；
当或时，，
在上单调递减，在和上单调递增；
故有一个极小值，无极大值．
（2）证明：要证成立，只需证成立，
即证成立，
令，则，
当时，；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
由（1）可知，
，
，
．
82．已知，，对一切，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】
先把已知等式转化为，设，对函数求导，利用导函数的单调性求解即可
【详解】
即，
整理可得：
令
则
当时，单调递减
当时，单调递增
所以
故，实数的取值范围是
83．设函数，．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）已知当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）的单调递增区间为和，单调减区间为，极大值，极小值；（2）.
【分析】
（1）利用导数可求得函数单调单调区间和极值；
（2）将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解．
【详解】
（1）因为，则，令，解得，．
当或时，；当时，．
所以的单调递增区间为和；单调减区间为．
有极大值为，极小值为；
（2），即．
因为，所以在上恒成立．
令，在上是增函数，所以．
所以的取值范围是．
84．已知，.
（1）对一切实数，，求实数的取值范围；
（2）求证：任意，.
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【分析】
（1）把与的解析式代入已知不等式，整理后设，，求出的导函数，根据导函数的正负判断增减性，进而求出的最小值，即可确定的取值范围.
（2）所证不等式两边同时乘以，左边为，右边设为，求出左边的最小值以及右边的最大值，比较即可证明.
【详解】
（1）若，
则，
即，
令，
则，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
，故，
即实数的取值范围为.
（2）若，
等价于证明，
又，，
令，解得，
当时， ，单调递减；
当时，，单调递增；
，
所以的最小值为.
设，
则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
，
又的最小值为，且与不同时取到同一个的值，
从而对一切，恒成立，
即任意，恒成立.
85．已知函数，.
（1）求函数的单调区间.
（2）若对任意成立，求正实数的取值范围.
（3）证明：.
【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）；（3）证明见解析.
【分析】
（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；
（2）对一切，恒成立等价于对一切恒成立，利用导数可得的最小值为，从而可得结果；
（3）原不等式等价于即，由（1）可得的最大值为，利用导数可证明的最小值为，从而可得结论.
【详解】
解析：（1），.
令，解得；，解得，
的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）“对任意成立”等价于“对任意恒成立”.
令，则.
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.

又，.
即所求实数的取值范围是.
（3）证明：“”等价于“”.
据（1）求解知，
令，则.
分析知，在上单调递减，在上单调递增，
.对恒成立
即.
86．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若时有恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．
【分析】
（1）首先求出函数的定义域与导函数，在对参数分与两种情况讨论，即可求出函数的单调区间；
（2）依题意恒成立，参变分离得，构造函数，求出函数的导函数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围；
【详解】
解：（1）的定义域为，所以．
当时，，函数在上单调递增；
当时，由得；得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上可得，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，恒成立，即恒成立．
因为，所以．
令，．
令，所以，故在上单调递减，且，，故存在使得，
故，即．
当时，，；当时，，；
∴在单调递增，在单调递减，
∴，
故．
87．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值．
【答案】（1）答案见解析；（2）2.
【分析】
（1）给出函数定义域，对函数求导通分，得到时，对m进行讨论，进而得到单调区间；
（2）将不等式移项，转化为函数最值问题，即的最大值，进而利用导数方法求解即可.
【详解】
（1），，，
①时，，函数在上单调递增．
②时，令，
若，解得，．
∴，∴数在上单调递增．
，解得，．
由，解得：，．
时，，函数在上单调递增，在上单调递减．
时，，函数在上单调递增，在上单调递减．
综上：①时，函数在上单调递增；
②且时，数在上单调递增；
时，函数在上单调递增，在上单调递减；
时，函数在上单调递增，在上单调递减．
（2）不等式，化为：．
令，．
，
时，，可得函数在上单调递增，，不满足题意，舍去．
时，，可得函数在上单调递增，在上单调递减，
∴时，函数取得极大值即最大值，
则，
令，函数在上单调递减，又．
因此存在唯一，使得，
∴，∴整数m的最小值为2．
88．已知函数的图像在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）当时，证明：对恒成立.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数的几何意义，先由求出的值，再由求出的值，
（2）要证对恒成立，只需证对恒成立，所以构造函数（），然后利用导数求出其最大值小于零即可
【详解】
（1）解：因为，
所以，
解得，
则，解得.
（2）证明：因为，所以要证对恒成立，
只需证对恒成立.
设函数（），
则.
因为，所以，
所以在上单调递减，
从而，
则对恒成立，
故当时，对恒成立.
89．已知函数，
（1）先证明单调性，再求函数在上的最小值；
（2）若对，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（导数或定义），1；（2）.
【分析】
（1）求出的定义域和，由可得的单调性及在上的最小值；
（2）转化为，由（1）知，利用单调性可得在上单调性求得最值，解不等式可得答案.
【详解】
（1）函数的定义域为，所以，
所以在上单调递增，
所以在上的最小值为.
（2）若对，使得，
则，
由（1）知，因为是减函数，
所以在上单调递减，所以，
所以，即.
所以实数的取值范围为.
90．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值6，极小值；（2）．
【分析】
（1）求函数的极值，先求出导数的零点，判断是否为极值点，将极值点代入原函数即可求出极值
（2）恒成立问题通过分参，可以转化为求函数的最值问题，恒成立，等价于，即，求出在区间上的最小值，即可求出实数的取值范围
【详解】
（1） 由解得：或
列表如下：








0

0


单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

由表格可得：时，函数取得极大值，；时，函数取得极小值，
（2）若对恒成立，则，
由表格可得：最小值只能是中的最小值，
，
所以，
所以，
所以，实数的取值范围是
91．已知函数，
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为，极小值为，极大值为；（2）.
【分析】
（1）求，解不等式和可得单调递增和单调递减区间，由单调性即可得极值；
（2）由题意可得：不等式对于任意恒成立，令，只需，利用导数判断单调性求最值，即可求解.
【详解】
（1）定义域为，，
令，可得，，
由，得；由，得或，
所以函数的单调增区间为单调减区间为，
所以当时，函数极小值为，
当时，函数的极大值为，
（2）若，不等式恒成立，
即对于任意，不等式恒成立，
设，，则，
因为，恒成立，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以，
所以实数的取值范围是.
92．已知函数，（，为自然对数的底数）.
（1）若函数在上有零点，求的取值范围；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）对函数进行求导，根据导函数的正负性判断函数的单调性，结合零点存在定理进行求解即可；
（2）化简不等式，构造新函数，运用分类讨论思想，利用导数判断该函数的单调性，结合单调性进行求解即可.
【详解】
（1），设，.
当时，，递增；
当时，，递减.
所以的最大值即的极大值为，
所以在上递减，即在上递减，
若函数在上有零点，则，则.
（2），即，
化简，设，
，，，
（ⅰ），即时，令，，
所以在区间上单调递增，所以，
所以在区间上单调递增，恒成立，
即恒成立；
（ⅱ），即时，当时，恒成立，
所以在区间上单调递减，
所以恒成立，即不成立；
当时，，，
，所以，又，
所以在区间上单调递增，
所以在区间上存在唯一的零点，设为，
当时，所以在区间上单调递减，
所以，即在区间上不成立.
综上所述，实数的取值范围为.
93．已知函数，．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）的极小值，无极大值；（2）.
【分析】
（1）对函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；
（2）对进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可.
【详解】
（1）函数的定义域为，
当时，.由，得.
当变化时，，的变化情况如下表





-
0
+

单调递减
极小值
单调递增
所以在上单调递减，上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）对，恒成立，即对，恒成立.
令，则.由得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，因此.
所以的取值范围是.
94．已知函数.（）
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，证明：当时，恒成立.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导可得解析式，令，解得，分别讨论和时，的正负，可得的单调区间.
（2）令，可得，再令，利用导数求得的单调区间和最值，即可得恒成立，可得的单调性和最值，即可得证.
【详解】
解：（1），
当时，令，解得.
当变化时，，的变化情况如下表：









减
极小值
增
所以时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：令
则.
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
所以，即恒成立.
所以在上单调递增，所以，
所以，即当时，恒成立.
95．已知
（1）当时，求的极值.
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）极小值；（2）.
【分析】
（1）当时，，求导，求得单调性，判断函数的极值情况.
（2）条件等价于恒成立，分离参数得到，令，转化为，令，，，，对参数a分类讨论，分别求得单调性，判断最小值是否满足题意即可.
【详解】
解：（1）当时，，
所以，
令，解得，
令，得；令，得；
所以在上单调递减；在上单调递增；
所以在处取得的极小值；
（2）当时，恒成立，即恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
即恒成立，令，则
所以有，令，，，即恒成立，
①当，即时，恒成立，
所以单调递增
又因为，
所以恒成立，
所以函数，单调递增
因为，
所以0恒成立，即满足要求
②当时，，
因为，
所以时
单调递减，
因为，
所以，使得时，，此时函数单调递减，
因为，
所以不成立，故不满足要求
综上可知的取值范围为.
96．已知函数，在处的切线方程为.
（1）求函数的解析式；
（2）若对定义域内恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用切点和斜率求得的值，从而求得的解析式.
（2）将转化为对任意恒成立，利用导数求得的最大值，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）由题可知，，
，
解得，，
∴.
（2）对定义域内恒成立对任意恒成立，
即求的最大值不大于，
∵且，
又，，在单调递减，，
∴在上单调递增，上单调递减，
∴，
当时，对定义域内的恒成立.
97．已知函数．
（1）若轴是曲线的一条切线，求的值；
（2）若当时，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题意，设切点为，由导数的几何意义可得，结合切点在曲线上即可求解；
（2）由题意知对于恒成立，构造函数
，则，，通过三次求导，讨论的单调性，即可得最值，进而可得的取值范围．
【详解】
（1）根据题意，设切点为，
由可得，
切线的斜率，
又因为切点在曲线上，所以，
由可得：，解得或（舍），
当时，
所以的值为.
（2）若当时，，
则对于恒成立，
令，只需，，
，则，
，，
，所以在单调递增，
当即时，，此时，
所以在单调递增，
所以，
可得在单调递增，
所以符合题意，
当即时，，
因为在单调递增，
所以存在使得，
此时当时，；当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，
所以当时，；
此时在单调递减，
所以当时，，
不满足恒成立，
综上所述：的取值范围为.
98．已知函数，
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，且当时，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）减区间，增区间；（2）.
【分析】
（1）当时，求导可得，进而可得，结合，即可判断的正负，即可得的单调区间.
（2）原式等价于当时，，令，求导可得解析式，令，可得解析式，分别讨论和时，的正负，可得的单调性，结合特殊值，分析讨论，可得的单调性，综合分析，即可得答案.
【详解】
（1）当时，
所以，，
又，
所以当时，，为单调递减函数，
当时，，为单调递增函数，
所以的单调减区间，单调增区间.
（2）由题意得：当时，，
令，，
则，，
令，则，
当时，恒成立，可得在上为增函数，
又，所以恒成立，所以在上为增函数，
又，所以恒成立，即恒成立，满足题意；
当时，令，解得，
当时，，则在为减函数，
当时，，则在为增函数，
所以当时，，则在为减函数，
所以存在，当时，，
所以不恒成立，不满足题意，
综上，的取值范围为
99．已知，.
（1）当直线与函数的图象相切时，求实数关于的关系式；
（2）若不等式恒成立，求的最大值；
（3）当，时，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）先设出切点坐标，对原函数求导，得出切线方程，用过与已知条件对比列出方程组即可；（2）通过（1）得出，构造函数然后求导求出此函数最大值即可；（3）由题意写出此时，将所求不等式进行等价转换，构造函数，利用端点效应求出范围再验证其充分性即可.
【详解】
（1）设切点，则由
得切线方程为，即，
所以，，
所以，即.
（2）由（1）知.
令，则，
故得在上递增，在上递减，
所以，即的最大值为；
（3）当，时，，而等价于
，等价于
，等价于.
令，
则首先应有，
此时由及易证得可知，
又易得，，所以成立，
所以的取值范围是.
100．设函数，已知是函数的极值点
（1）求；
（2）当时，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）由题设可得，且求参数，并验证极值点.
（2）由（1）可知：在是增函数且，再讨论、时，构造中间函数并应用导数研究函数的单调性，进而判断题设函数不等式是否在恒成立，即可求 的取值范围.
【详解】
（1）∵，
∴，，则，
由是的极值点，则，即.
当时，，若，得，


0


-
0
+

递减
极小值
递增
∴是的极值点.
综上，.
（2）由（1）知，，可得.
∴，故在是增函数，
∴时，，
①当时，，故恒成立.
②当时，令，，则.
若，，则，
∴在在上是增函数，，即时，恒成立.
若，则，故在上，
∴在上是增函数，又，，且在上图象不间断，
∴在内存在唯一零点，
∴时，，是减函数，故，此时有，与题设矛盾.
综上，的范围为.