2022届上海市高三数学二模模拟试卷

这是一份2022届上海市高三数学二模模拟试卷，共10页。
  2022 届上海市高三数学二模模拟试卷 2022.3.15满分：150 分   时间：120 分钟一．填空题：1 ．已知集合 A = {x|x Z, x 2  < 4} ， B = {-1, 2} ，则 A B = _________；2.  已知 ( , )，且 tan= ，那么 sin= _________；3.  若复数 z 满足 ，则 z 对应的点位于第_________象限；4.  已知对 ,不等式x > m - 恒成立，则实数 m 的最大值是_________；5. （x3  - )n  的展开式共有11项,则常数项为_________.6.  如图所示，在平面直角坐标系中，角和角 均以 Ox为始边，终边分别为射线 OA和 OB ，射线 OA ，OC 与单位圆的交点分别为 A（ , )| ，C(-1, 0) ．若角BOC = ，则 cos(- ) 的值是_________；7.如图 1，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1  的棱长为2, M , N, Q 分别是线段 AD1 , B1C, C1D1 上的动点，当三棱锥Q - BMN 的正视图如图 2 所示时，三棱锥俯视图的面积为            8.某大学计算机系 4 名学生和英语系的 4 名学生准备利用暑假到某偏远农村学校进行社会实 践活动，现将他们平均分配到四个班级，则每个班级既有计算机系学生又有英语系学生的概 率是       9 ．已知直线 y = kx (k 非0) 与双曲线 - = 1(a > 0, b > 0 ) 交于 A, B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若 三角形ABF 的面积为 4a2 ，则双曲线的渐近线方程为 
 10.  已知数列{an} 中， an  = ，则下列说法正确的序号是_________； ①此数列没有最大项；②此数列的最大项是 a3 ； ③此数列没有最小项；④此数列的最小项是 a4 ；11.  已知方程log2 x + log2 y = log2 (x + y) ，以下说法正确的是___________.(1) 此方程中x ， y 的取值范围都是(0, +)；(2) 此方程所对应图像关于y = x 对称；(3) 存在m > 1 ，对x =(m, +w) ，存在M R ，使 y < M .12. 已知平面向量 满足 = = _ = 1 ， 2 _ (2 + ) .  + = 0 ，则对任意的t R ，   的最小值记为M ，则M 的最大值为________. 二．选择题：13.  已知 f (x) 是定义在上[0, 1] 的函数，那么“函数 f (x) 在[0, 1] 上单调递增”是“函数 f (x) 在[0, 1] 上的最大值为 f(1) ”的 (    )A.  充分而不必要条件   B.  必要而不充分条件  C.  充要条件  D.  既不充分也不必要条件14.  在 ABC 中， = 3 ， = ，设 = + ( R) ，则=(    )A.  _                           B.                                         C.                                         D.  15.  已知等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn  ，若 a3  = 2 ，且 S4  = S7 ，则下列说法中正确的是(    )A.  {an } 为递增数列                              B.  当且仅当 n = 5时， Sn 有最大值C.  不等式Sn  > 0 的解集为{n = N* n 10}       D.  不等式 an  > 0 的解集为无限集16.  已知定义域为 R 的奇函数 f (x ) 的周期为 2 ，且 x =(0, 1] 时， f (x ) = 若函数   在区间[3, m] ( m Z 且 m > -3 ) 上至少有 5 个零点，则 m 的最
小值为 (    )A. 2                                        B. 3                                        C. 4                                        D. 6  三．解答题：17.  已知函数 f (x ) = cos （2x - ）- 2sin x cos x   .(1) 求f (x ) 的最小正周期；(2) 若f (x ) 在区间[m, 0]上的最小值为 - 1 ，求 m 的最大值．          18 、已知数列{an} 为等比数列,数列{bn }满足bn  = log2 an ,且 a4  = b5  = 1 .设 Sn 为数列{bn }的前 n 项和.(1) 求数列{an}、{bn }的通项公式及 Sn ;(2) 若数列{cn }满足 cn  = an ,求 {cn}  的前 n 项和Tn  .
 19.  如图，在四棱锥 P – ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD ⊥ CD，AD // BC，PA = AD = CD = 2 ，BC = 3 ．E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 = ．(1) 求证：CD⊥平面 PAD；(2) 求二面角 F – AE – P 的余弦值；(3) 设点 G 在 PB 上，且 = ．判断直线 AG 是否在 平面 AEF 内，说明理由．           20 、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C : + = 1 (a > b > 0 ) 过点（1, ） ，焦距 与长轴之比为   A B 分别是椭圆 C 的上、下顶点， M 是椭圆 C 上异于 A, B 的一点. (1) 求椭圆 C 的方程；(2)若点 P 在直线 x - y + 2 = 0 上，且 ，求 △PMA的面积；(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆 C 于另一点 N ，交y 轴于点D ，且点D在线段 OA上 (不包括端点O, A )，直线 NA与直线 BM交于点P ，求的值.
 21．(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分,  第 3 小 题满分 8 分．对于函数 f (x) ，若在定义域内存在实数 x0  ，满足 f(-x0 ) = -f(x0 ) ，则称 f (x) 为“ M类函数” .(1) 已知函数 f(x) = 2cos() ，试判断 f (x) 是否为“ M 类函数”？并说明理由；(2) 设 f(x) = 4x  - m . 2x +1 - 3 是定义域 R上的“ M 类函数” ，求实数 m 的取值范围；(3) 若f(x) ={log2 (x2  - 2mx)   x > 3 为其定义域上的“ M 类函数” ，求实数 m 取值范围.
参考答案：一．填空题：1 、 {-1, 0, 1, 2}.2 、 ．3 、解： z = i(1+ i) = 一1+ i ，其对应复平面的点为(一 1, 1) ，在第二象限.4 、解：   利用基本不等式知 x + > 2 x . = 2 ，当且仅当 x = ，即 x = 1时等号成立 ：x + min  = 2 ，即实数 m 的最大值不存在.5 、  .6 、 4 一 7 、
8 、解：8 人平均分到 4 个班级共有CCCC种选法,每个班级既有计算机系学生又有英语系学生共有P44 P44 种分法,故概率为 = ;9 、双曲线的渐近线方程为 y = 土2x10 、 ②正确．11、解：(1) 由题意，根据对数的定义 x > 0, y > 0, x + y > 0 且log2 x + log2 y = log2 (x + y) 一 log2 xy = log2 (x + y)：xy = x + y ，即 y = 由于 x > 0, y > 0 ，：x > 1 同理 x = ，由于 x > 0, y > 0 ，：y > 1故此方程中x ， y 的取值范围都是(1, +) ，即说法错误；(2) 若(x0 , y0 ) 满足方程，即log2 x0  + log2 y0  = log2 (x0  + y0 )则(y0 , x0 ) 代入为log2 y0  + log2 x0  = log2 ( y0  + x0 ) ，也满足方程故方程所对应图像关于y = x 对称，说法正确；(3) 由 (1) 可得方程可转化为 y = (x > 1)又 y = = = 1 + ，由反比例函数的性质可知在(1, +) 单调递减 若 m > 1 ，当 x = (m, +) ，有 y = (1, ) m   故取M =         即满足条件m - 1即 存在m > 1 ，对x =(m, +) ，存在M R ，使 y < M ，说法正确故答案为：(2) ，(3)          故答案为： ．  二．选择题：13、解：若函数 f (x ) 在 [0, 1]上单调递增，则 f (x ) 在 [0, 1]上的最大值为 f (1) ， 若 f (x ) 在 [0, 1]上的最大值为 f (1) ，比如 f (x) = （x - )2  ， 但 f (x) = （x - )2 在 0, 为减函数，在 , 1 为增函数，故 f (x ) 在 [0, 1]上的最大值为 f (1) 推不出 f (x ) 在 [0, 1]上单调递增，故“函数 f (x ) 在 [0, 1]上单调递增”是“f (x ) 在 [0, 1]上的最大值为 f (1) ”的充分不必要条件，故选：A14 、故选：C.15、 C 正确；故选：C；16 、故选：A.三．解答题：17、解：      19 、解：【小问 1】 因为 PA⊥平面 ABCD ， CD 垂直 平面 ABCD ，所以PA⊥CD，又因为 AD⊥CD ， PA AD = A ，所以 CD⊥平面 PAD.【小问2 】二面角 F - AE - P 平面角余弦值为 20、【解析】(1) + y2  = 1 即为所求椭圆的方程；   21 、【解析】(1) 由题意，函数 f (x) 在定义域内存在实数 x0  ，满足 f(-x0 ) = -f(x0 ) ，可得 2cos(-x0 - ) = -2cos(x0 - ) ，即 cos(-x0  - ) = - cos(x0  - ) ，整理得 cos x0  = 0 ，所以存在 x0  = 满足 f(-x0 ) = -f(x0 ) 所以函数f(x) = 2cos(x - ) 是“ M 类函数” .(2) 当 f(x) = 4x  - m . 2x +1 - 3 时，f(-x) = -f(x) 可化为 4x  + 4-x  - 2m(2x  + 2-x ) - 6 = 0 ，令 t = 2x  + 2-x  > 2 ，则 4x  + 4-x  = t2 - 2 ，从而 t2  - 2mt - 8 = 0在[2, +) 有解可保证 f (x) 是“ M 类函数”，即 2m = = t - 在[2, +) 有解可保证 f (x) 是“ M 类函数”，设F(t ) = t - 在[2, +) 为单调递增函数，可得函数 F(t ) 的最小值为 F(2) = 2 - = -2 ，所以2m > -2 ，即 m > -1 .(3) 由 x2  - 2mx > 0在 x > 3 上恒成立，可得 m < ，因为 f(x) ={(log2 (x2  - 2mx)    x > 3 为其定义域上的“ M 类函数”， 所以存在实数 x0 使得 f(-x0 ) = -f(x0 ) ，①当 x0  > 3 时，则 -x0  <-3 ，所以-2 = - log2 (x  - 2mx0 ) ，所以 x  - 2mx0  = 4 ，即m =  1  x  -  2 2        x 0因为函数 y = x - , x > 3 为单调增函数，所以 m > ；②当 -3 < x0  < 3 时， -3 < -x0  < 3 ，此时 -2 = 2 ，不成立；③当 x0  -3 ，则 -x0  > 3 ，所以 log2 (x  + 2mx0 ) = 2 ，所以 m = - x0  + 因为函数 y = - x + (x  -3) 为单调减函数，所以 m > ；综上所述，实数 m 取值范围[5 ,  3  )