专题22 指数函数的概念-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

专题22 指数函数的概念

题组1 指数函数的概念

1.下列函数中，是指数函数的是(　　)

A．y＝2·3x

B．y＝3x＋1

C．y＝3x

D．y＝x3

【答案】C

【解析】形如y＝ax(a>0，a≠1)的函数为指数函数，y＝2·3x的3x系数不为1，y＝3x＋1的指数不是x，y＝x2是幂函数，只有y＝3x符合指数函数定义．故选C.

2.下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是(　　)

A．y＝(－5)x

B．y＝ex(e≈2.71828)

C．y＝－5x

D．y＝πx＋2

【答案】B

3.函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，则有(　　)

A．a＝1或a＝4

B．a＝1

C．a＝4

D．a>0，且a≠1

【答案】C

【解析】∵函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，

∴解得a＝4.

故选C.

4.若函数f(x)＝(a－3)·ax是指数函数，则f(2)的值为(　　)

A．4

B．8

C．2

D．16

【答案】D

【解析】∵函数f(x)是指数函数，∴a－3＝1，∴a＝4.

∴f(x)＝4x，f(2)＝42＝16.

5.函数y＝(m－2)x是指数函数，则m的取值范围是________．

【答案】m>2且m≠3

【解析】根据指数函数的定义，y＝ax中的底数a规定a>0且a≠1.

故此m－2>0且m－2≠1.所以m>2且m≠3.

题组2待定系数法求指数函数解析式

6.指数函数y＝ax的图象经过点(2，16)，则a的值是(　　)

A．

B．

C．2

D．4

【答案】D

【解析】指数函数y＝ax(a>0且a≠1)，将(2，16)代入，得16＝a2，解得a＝4，所以y＝4x，故选D.

7.已知指数函数的图象经过点(－1，2)，则指数函数的解析式为________．

【答案】y＝()x

【解析】设指数函数的解析为：y＝ax(a>0，且a≠1)，

∵函数的图象经过(－1，2)点，

∴2＝a－1，∴a＝，

∴指数函数的解析式为y＝()x，

故答案为y＝()x.

8.已知f(x)是指数函数，且f(1＋)·f(1－)＝9，则f(2＋)·f(2－)的值为________．

【答案】81

【解析】∵f(x)是指数函数，

∴设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，

∵f(1＋)·f(1－)＝9，

∴·＝a2＝9，即a＝3.

∴f(2＋)·f(2－)＝·＝34＝81，

故答案为81.

9.若指数函数f(x)的图象过点(1，)，则f(－2)＝________.

【答案】4

【解析】设指数函数为f(x)＝ax(a>0且a≠1)，

将(1，)代入得＝a1，

解得a＝，所以f(x)＝()x，

则f(－2)＝()－2＝4.

故答案为4.

题组3指数函数的求值

10.已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(3，8)，则a2.5与a2.3的大小为(　　)

A．a2.5＝a2.3

B．a2.5<a2.3

C．a2.5>a2.3

D．无法确定

【答案】C

【解析】∵指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(3，8)，∴a3＝8，解得a＝2.

∴f(x)＝2x，且在R上单调递增，∴22.3<22.5.

故选C.

11.已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于(　　)

A．5

B．7

C．9

D．11

【答案】B

【解析】由f(a)＝3，得2a＋2－a＝3，

两边平方得，22a＋2－2a＋2＝9，

即22a＋2－2a＝7，

∴f(2a)＝7.选B项．

12.已知函数f(x)＝则f[f(－4)]等于(　　)

A．－4

B．－

C．4

D．6

【答案】C

【解析】f[f(－4)]＝f[()－4]＝f(16)＝＝4.

13.给出函数f(x)＝，则f(－1)＝________.

【答案】9

【解析】f(－1)＝f(1)＝f(3)＝32＝9.

14.若f(2x－1)＝3x－2x，则f(4)＝________.

【答案】21

【解析】令2x－1＝4，得x＝3，将其代入f(2x－1)＝3x－2x，得f(4)＝33－2×3＝21.

题组4指数函数的实际应用

15.设f(x)＝则f(f(－2))等于(　　)

A．－1

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因为f(－2)＝2－2＝，所以f(f(－2))＝f()＝1－＝1－＝，故答案选C.

16.某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　)

A．640

B．1280

C．2560

D．5120

【答案】B

【解析】设原来的细菌数为a.

由题意可得，在函数y＝10ekt中，当t＝1时，y＝2a.

∴2a＝10ek即ek＝.

当a＝10时，ek＝2，y＝10ekt＝10·2t，

若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×27＝1280，

故选B.

17.某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为b，2009年该市生活垃圾量为a吨，由此可以预测2019年垃圾量为(　　)

A．a(1＋10b)吨

B．a(1＋9b)吨

C．a(1＋b)10吨

D．a(1＋b)9吨

【答案】C

【解析】2009年该市生活垃圾量为a吨，

所以2010年产生的垃圾量是a(1＋b)吨，

2011年产生的垃圾量是a(1＋b)(1＋b)＝a(1＋b)2吨，

…

由此可以预测2019年垃圾量为a(1＋b)10吨．

故选C.

18.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其它20台未感染病毒的计算机．现有一台计算机被第一轮病毒感染，问被第4轮病毒感染的计算机有(　　)台．

A．60

B．400

C．8000

D．160000

【答案】C

【解析】由题意可得，每一轮感染的计算机数量构成以1为首项，以20为公比的等比数列，故第4轮病毒感染的计算机数量为1×203＝8000台，故选C.

19.一种产品的成本是a元，在今后的n年内，计划成本每年比上一年降低p%，则成本随着年数变化的函数关系式是(　　)

A．a(1－p%)n(n∈N*)

B．a(p%)n(n∈N*)

C．a(1－p)n%(n∈N*)

D．a(1－np%)(n∈N*)

【答案】A

【解析】设成本经过x年降低到y元，

第一年为y＝a(1－p%)，

第二年为y＝a(1－p%)(1－p%)＝a(1－p%)2，

第三年为y＝a(1－p%)(1－p%)(1－p%)＝a(1－p%)3，

…

则随着年数n变化的函数关系式是y＝a(1－p%)n(n∈N*)．

故选A.

20.据报道，全球变暖，使北冰洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此规律，设2000年的冬季冰盖面积为m，从2000年起，经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系是(　　)

A．y＝·m

B．y＝(1－)·m

C．y＝0.9550·x·m

D．y＝(1－0.0550·x)·m

【答案】A

【解析】设北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率为p，则p50＝0.95，

∴p＝，

∴设2000年的冬季冰盖面积为m，从2000年起，经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系是：y＝·m.

故选A.

21.某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与服药后的时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k·at(t≥1，a>0，k，a是常数)的图象．

(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2(μg)时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？

(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？(精确到0.1μg)

【答案】(1)当0≤t<1时，y＝8t；

当t≥1时，把A(1，8)、B(7，1)代入y＝kat，

得解得

故y＝

(2)设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则解得t＝5，即第一次服药后5h服第二次药，也即上午11：00服药．

(3)第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：

y1＝8()8＝μg，

含第二次服药量为：y2＝8()3＝4μg，

所以此时两次服药剩余的量为＋4≈4.7μg，

故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg.