人教版2021-2022八年级（下）第一次月考试卷（有答案）

这是一份人教版2021-2022八年级（下）第一次月考试卷（有答案），共30页。

人教版2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷
一.选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）
1．一本笔记本5元，买x本共付y元，则常量和变量分别是（　　）
A．常量：5；变量：x B．常量：5；变量：y
C．常量：5；变量：x，y D．常量：x，y；变量：5
2．如图，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3cm，则BD等于（　　）cm．

A．1 B．2 C．3 D．4
3．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．邻角互补
C．对边相等 D．对角线相等
4．下列四点中，在函数y＝3x的图象上的是（　　）
A．（0，3） B．（1，3） C．（1，） D．（，﹣1）
5．正常人的体温一般在37℃左右，但一天中的不同时刻不尽相同图反映了一天24小时内小明体温的变化情况，下列说法错误的是（　　）

A．清晨5时体温最低
B．下午5时体温最高
C．从5时至24时，小明体温一直是升高的
D．从0时至5时，小明体温一直是下降的
6．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.4km，则M，C两点间的距离为（　　）

A．0.6km B．1.2km C．1.5km D．2.4km
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD＝BC B．AB＝AD，CD＝CB
C．AO＝BO，DO＝CO D．AO＝CO，BO＝DO
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断平行四边形ABCD是菱形的为（　　）

A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC
9．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（　　）

A．菱形 B．矩形 C．菱形或矩形 D．无法判断
10．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，则∠1＝（　　）

A．30° B．25° C．60° D．15°
11．如果y＝（a﹣1）x|a|是正比例函数，那么a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
12．下列式子中，y不是x的函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝|x| C．y＝2x+1 D．（x≥0）
二.填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．菱形ABCD中，若对角线BD＝8，AC＝6，则该菱形的面积为　 　．
14．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝3x上的两点，若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是y1　 　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
15．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
16．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别是AD、DC、BC的中点，AF与DG交于点O，连接OE、OB．下列结论：①AF⊥DG；②BC＝2OE；③AB＝BO；④∠AOB＝∠DGC；⑤∠OED＝∠ABO．其中正确的结论有　 　．（请填写序号）

三.解答题（本题共9小题，满分72分）
17．解方程：﹣＝1．
18计算：．
19在八下书本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．完成以下证明过程：
已知：如右图，D、E分别是△ABC的边AB，AC的中点；
求证：DE∥BC且DE＝　　．
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．
∵AE＝　　，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，CF平行且等于DA，
∴CF平行且等于　　．
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF平行且等于　　．
又∵DE＝　　，
∴　　，DE＝BC．

20已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；
（1）当x＝1，y＝2时，则函数解析式为　　；
（2）当函数图象过第一、三象限时，k　　；
（3）k　　，y随x的增大而减小；
（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求△OAB的面积．

21已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；
（1）当x＝1，y＝2时，则函数解析式为　　；
（2）当函数图象过第一、三象限时，k　　；
（3）k　　，y随x的增大而减小；
（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求△OAB的面积．

22如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°；
①求证：△OEC是等腰三角形；
②求∠DOE的度数．

23如图，BD为矩形ABCD的对角线，将边AB沿BE折叠，使点A落在BD上的点F处，作FG∥AE交BE于点G，连接AG，AB＝6，AD＝8；
（1）求证：四边形AGFE是菱形；
（2）求AE的长；
（3）求菱形AGFE的面积．

24我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”．
（1）在“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中一定是“十字形”的有 　　；一定是“对等四边形”的有 　　；（请填序号）
（2）如图1：若凸四边形ABCD是“十字形”也是“对等四边形”，F，H，G，M分别是AD，DC，AB，BC的中点，求证，四边形FGMH为正方形．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝20，点D从点C出发沿CA方向以2个单位每秒向A匀速运动；同时点E从A出发沿AB方向以1个单位每秒向B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，DF∥AB，连接EF，是否存在时间t（秒），使得四边形ADFE为“十字形”或“对等四边形”，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

25如图1，直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），过点A作x轴的垂线交x轴于点B．
（1）若AB＝OB，则直线OA的解析式为 　　；
（2）在（1）的条件下，若OA＝2，在平面直角坐标系中是否存在点C，使得以A，B，O，C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若∠AOB＝60°，以OA为边作菱形OADE，点E在x轴上，F为菱形OADE外一点，EF⊥OF，M为OF上一点，∠EMF＝∠EMD，求证：DM＝OM+kME．



参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．一本笔记本5元，买x本共付y元，则常量和变量分别是（　　）
A．常量：5；变量：x B．常量：5；变量：y
C．常量：5；变量：x，y D．常量：x，y；变量：5
【分析】在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，所以5是常量，x、y是变量，据此判断即可．
【解答】解：一本笔记本5元，买x本共付y元，则5是常量，x、y是变量．
故选：C．
2．如图，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3cm，则BD等于（　　）cm．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意判断四边形ABDC是矩形，则BD＝AC．
【解答】解：如图，CA⊥l1，BD⊥l2，
∴AC∥BD．
又∵l1∥l2，
∴四边形ABDC是矩形．
∴BD＝AC．
又∵AC＝3cm，
∴BD＝3cm．
故选：C．

3．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．邻角互补
C．对边相等 D．对角线相等
【分析】根据矩形和平行四边形的性质判断即可．
【解答】解：A、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故A不符合题意；
B、平行四边形与矩形都不具有邻角互补的性质，故B不符合题意；
C、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故C不符合题意；
D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．
故选：D．
4．下列四点中，在函数y＝3x的图象上的是（　　）
A．（0，3） B．（1，3） C．（1，） D．（，﹣1）
【分析】将各选项的点的坐标分别代入函数解析式计算可求解．
【解答】解：将x＝0代入y＝3x可得y＝0≠3，所以（0，3）不在函数y＝3x的图象上，故A选项不符合题意；
将x＝1代入y＝3x可得y＝3，所以（1，3）在函数y＝3x的图象上，故B选项符合题意；
将x＝1代入y＝3x可得y＝3≠，所以（1，）不在函数y＝3x的图象上，故C选项不符合题意；
将x＝代入y＝3x可得y＝1≠﹣1，所以（，﹣1）不在函数y＝3x的图象上，故D选项不符合题意．
故选：B．
5．正常人的体温一般在37℃左右，但一天中的不同时刻不尽相同图反映了一天24小时内小明体温的变化情况，下列说法错误的是（　　）

A．清晨5时体温最低
B．下午5时体温最高
C．从5时至24时，小明体温一直是升高的
D．从0时至5时，小明体温一直是下降的
【分析】分析折线统计图，即可求出答案．
【解答】解：由折线统计图可知：折线统计图中最底部的数据，则是温度最低的时刻，最高位置的数据则是温度最高的时刻；则清晨5时体温最低，下午5时体温最高；最高温度为37.5℃，最低温度为36.5℃，则小明这一天的体温范围是36.5≤T≤37.5；从5时到17时，小明的体温一直是升高的趋势，而17﹣24时的体温是下降的趋势．所以错误的是从5时到24时，小明的体温一直是升高的，故选C．
6．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.4km，则M，C两点间的距离为（　　）

A．0.6km B．1.2km C．1.5km D．2.4km
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB，代入求出即可．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴CM＝AB，
∵AB＝2.4km，
∴CM＝1.2km，
故选：B．
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（　　）

A．AB∥DC，AD＝BC B．AB＝AD，CD＝CB
C．AO＝BO，DO＝CO D．AO＝CO，BO＝DO
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、由AB∥DC，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝AD，CD＝CB，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AO＝BO，DO＝CO，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由AO＝CO，BO＝DO，能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断平行四边形ABCD是菱形的为（　　）

A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝90° D．∠BAD＝∠ABC
【分析】由菱形的判定、平行四边形的性质和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
9．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，若∠ABC＝90°，则四边形ABCD为（　　）

A．菱形 B．矩形 C．菱形或矩形 D．无法判断
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由∠ABC＝90°，即可得出平行四边形ABCD是矩形．
【解答】解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：B．
10．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，则∠1＝（　　）

A．30° B．25° C．60° D．15°
【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，∠B＝∠D＝120°，由菱形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠B＝∠D＝120°，
∴∠1＝30°，
故选：A．
11．如果y＝（a﹣1）x|a|是正比例函数，那么a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【分析】一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
【解答】解：∵y＝（a﹣1）x|a|是正比例函数，
∴a﹣1≠0，|a|＝1，
解得a＝﹣1，
故选：B．
12．下列式子中，y不是x的函数的是（　　）
A．y＝x2 B．y＝|x| C．y＝2x+1 D．（x≥0）
【分析】利用函数的定义：给定一个自变量的值，都有唯一确定的函数值与其对应可得答案．
【解答】解：A、y＝x2，y是x的函数，故此选项不合题意；
B、y＝|x|，y是x的函数，故此选项不合题意；
C、y＝2x+1，y是x的函数，故此选项不合题意；
D、y＝±，y不是x的函数，故此选项符合题意；
故选：D．
二．填空题（共4小题）
13．菱形ABCD中，若对角线BD＝8，AC＝6，则该菱形的面积为　24　．
【分析】由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形的面积＝＝＝24，
故答案为24．
14．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝3x上的两点，若x1＞x2，则y1与y2的大小关系是y1　＞　y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】由k＝3＞0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝3x上的两点且x1＞x2，即可得出y1＞y2．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大．
又∵（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝3x上的两点，且x1＞x2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
15．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥1　．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
16．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别是AD、DC、BC的中点，AF与DG交于点O，连接OE、OB．下列结论：①AF⊥DG；②BC＝2OE；③AB＝BO；④∠AOB＝∠DGC；⑤∠OED＝∠ABO．其中正确的结论有　①②③④⑤　．（请填写序号）

【分析】通过“SAS”可证明△ADF≌△DCG，得到∠FAD＝∠CDG，由∠ADC＝90°得∠CDG+∠ADO＝90°，运用等量代换得∠FAD+∠ADO＝90°，从而证明结论①；由直角三角形斜边中线的性质可得AD＝2OE，由于AD＝BC，可证结论②；连接BE交AF于点M，由GD∥BE，得到BE是AO的垂直平分线，从而证得结论③；通过AB＝OB得∠AOB＝∠OAB，由△ADF≌△DCG得∠∠AFD＝∠DGC，根据两直线平行、内错角相等可得∠OAB＝∠AFD，运用等量代换可证结论④；由于△AOB和△EOD都是等腰三角形，且底角相等，可得顶角相等，可证结论⑤．
【解答】解：连接BE交AF于点M，如图所示，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB，∠ADC＝∠C＝90°，
∵点F、点G分别是CD、BC的中点，
∴DF＝CG，
在△ADF和△DCG中，
，
∴△ADF≌△DCG（SAS），
∴∠FAD＝∠CDG，
∵∠CDG+∠ADO＝90°，
∴∠FAD+∠AOD＝90°，
∴∠AOD＝90°，
即AF⊥DG，
∴结论①正确；
∵∠AOD＝90°，
∴△AOD为直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴OE＝AD，
∵AD＝BC，
∴BC＝2OE，
∴结论②正确；
∵AD＝BC，点E、G分别是AD、BC中点，
∴DE＝BG，
∵AD∥BC，
∴四边形BGDE是平行四边形，
∴DG∥BE，
∵DG⊥AF，
∴BE⊥AF，
∵AE＝EO，
∴BE垂直平分AO，
∴AB＝BO，
∴结论③正确；
∵△ADF≌△DCG，
∴∠AFD＝∠DGC，
∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠AFD，
∵AB＝BO，
∴∠AOB＝∠BAO，
∴∠BAO＝∠DGC，
∴结论④正确；
∵∠ADO＝∠AFD，∠AFD＝∠BAO，
∴∠ADO＝∠BAO，
∵EO＝ED，
∴∠EDO＝∠EOD，
∵∠BAO＝∠AOB，
∴∠ABO+∠AOB＝∠EOD+∠EDO，
∴180°﹣（∠ABO+∠AOB）＝180°﹣（∠EOD+∠EDO），
即∠OED＝∠ABO，
∴结论⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
三．解答题
17．解方程：﹣＝1．
【分析】观察可得方程最简公分母为：（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得
（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），
整理得2x﹣2＝0，
解得x＝1．
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，应舍去．
∴原方程无解．
18计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+1﹣4﹣1+
＝．
19在八下书本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．完成以下证明过程：
已知：如右图，D、E分别是△ABC的边AB，AC的中点；
求证：DE∥BC且DE＝　　．
证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．
∵AE＝　　，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，CF平行且等于DA，
∴CF平行且等于　　．
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF平行且等于　　．
又∵DE＝　　，
∴　　，DE＝BC．

【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】BC，CE，BD，BC，DF，DE∥BC．
【分析】先证四边形ADCF是平行四边形，则CF平行且等于DA，得CF平行且等于BD．再证四边形DBCF是平行四边形，得DF平行且等于BC，即可得出结论．
【解答】解：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．
∵AE＝CE，DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，CF平行且等于DA，
∴CF平行且等于BD．
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF平行且等于BC．
又∵DE＝DF，
∴DE∥BC，DE＝BC．
故答案为：BC，CE，BD，BC，DF，DE∥BC．
20已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；
（1）当x＝1，y＝2时，则函数解析式为　　；
（2）当函数图象过第一、三象限时，k　　；
（3）k　　，y随x的增大而减小；
（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求△OAB的面积．

【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y＝2x；（2）＞0；（3）＜0；（4）2．
【分析】（1）将x＝1，y＝2代入y＝kx即可求k的值，进而确定函数解析式；
（2）根据正比例函数的图象特点与k的关系，可得k＞0；
（3）根据正比例函数的图象特点可确定，y随x的增大而减小时k＜0；
（4）求出A（1，2），OB＝2，则△OAB的面积＝×2×2＝2．
【解答】解：（1）当x＝1，y＝2时，2＝k，
∴y＝2x，
故答案为y＝2x；
（2）∵函数图象过第一、三象限，
∴k＞0，
故答案为＞0；
（3）∵y随x的增大而减小，
∴函数图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
故答案为＜0；
（4）∵y＝2x，点A的横坐标为1，
∴A（1，2），
∵B（2，0），
∴OB＝2，
∴△OAB的面积＝×2×2＝2．
21已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；
（1）当x＝1，y＝2时，则函数解析式为　　；
（2）当函数图象过第一、三象限时，k　　；
（3）k　　，y随x的增大而减小；
（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求△OAB的面积．

【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；推理能力；应用意识．
【答案】（1）y＝2x；（2）＞0；（3）＜0；（4）2．
【分析】（1）将x＝1，y＝2代入y＝kx即可求k的值，进而确定函数解析式；
（2）根据正比例函数的图象特点与k的关系，可得k＞0；
（3）根据正比例函数的图象特点可确定，y随x的增大而减小时k＜0；
（4）求出A（1，2），OB＝2，则△OAB的面积＝×2×2＝2．
【解答】解：（1）当x＝1，y＝2时，2＝k，
∴y＝2x，
故答案为y＝2x；
（2）∵函数图象过第一、三象限，
∴k＞0，
故答案为＞0；
（3）∵y随x的增大而减小，
∴函数图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
故答案为＜0；
（4）∵y＝2x，点A的横坐标为1，
∴A（1，2），
∵B（2，0），
∴OB＝2，
∴△OAB的面积＝×2×2＝2．
22如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°；
①求证：△OEC是等腰三角形；
②求∠DOE的度数．

【考点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角梯形．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程请看解答；
（2）①证明过程请看解答；
②135°．
【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（2）①由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，推出CO＝CE，即可得出结论；
②求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
∴CO＝CE，
∴△OEC是等腰三角形；
②解：∵△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°．
23如图，BD为矩形ABCD的对角线，将边AB沿BE折叠，使点A落在BD上的点F处，作FG∥AE交BE于点G，连接AG，AB＝6，AD＝8；
（1）求证：四边形AGFE是菱形；
（2）求AE的长；
（3）求菱形AGFE的面积．

【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）详见解答；
（2）3；
（3）．
【分析】（1）根据折叠和平行线的性质，可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，进而得出四边形的四条边相等，得出结论；
（2）由勾股定理求出BD，利用折叠和直角三角形的勾股定理可求出AE；
（3）在直角三角形DEF中，由三角形的面积公式求出DE边上的高FH，利用菱形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）由折叠得，∠＝∠2，，3＝∠4，AE＝EF，AG＝FG，
∵FG∥AE，
∴∠1＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴AE＝EF＝FG＝AG，
∴四边形AGFE是菱形；
（2）在Rt△BCD中，BC＝8，CD＝6，
∴BD＝＝＝10，
由折叠可得BF＝BA＝6，AE＝EF，
∴DF＝BD﹣BF＝10﹣6＝4，
设AE＝x，则EF＝x，DE＝8﹣x，
在Rt△DEF中，EF2+DF2＝DE2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
即AE＝3；
（3）过点F作FH⊥AD，垂足为H，
在Rt△DEF中，EF＝3，DE＝8﹣3＝5，DF＝4，
由三角形的面积公式得，
EF•FD＝DE•FH，
即3×4＝5×FH，
∴FH＝，
∴菱形AGFE的面积为AE•FH＝3×＝．

24我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”．
（1）在“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中一定是“十字形”的有 　　；一定是“对等四边形”的有 　　；（请填序号）
（2）如图1：若凸四边形ABCD是“十字形”也是“对等四边形”，F，H，G，M分别是AD，DC，AB，BC的中点，求证，四边形FGMH为正方形．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝20，点D从点C出发沿CA方向以2个单位每秒向A匀速运动；同时点E从A出发沿AB方向以1个单位每秒向B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，DF∥AB，连接EF，是否存在时间t（秒），使得四边形ADFE为“十字形”或“对等四边形”，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）③④，②④；
（2）证明见解答；
（3）当t＝时，四边形ADFE为“十字形”．
【分析】（1）根据“十字形”和“对等四边形”的定义判断即可；
（2）先根据“十字形”和“对等四边形”的定义可知：AC＝BD，AC⊥BD，根据三角形的中位线的性质可证得四边形FGMH四边相等，且有一个角是直角，可得结论；
（3）先证明四边形ADFE是平行四边形，若四边形ADFE为“十字形”，则要满足对角线互相垂直，若四边形ADFE“对等四边形”，则要满足对角线相等，则要满足四边形ADFE是菱形或矩形，因为∠A＝60°，所以四边形ADFE不可能是矩形，根据菱形列方程可得t的值．
【解答】（1）解：∵正方形，菱形的对角线互相垂直，
∴正方形，菱形是“十字形”，
∵矩形，正方形的对角线相等，
∴矩形，正方形是“对等四边形”，
故答案为：③④，②④；
（2）证明：如图1，

∵凸四边形ABCD是“十字形”也是“对等四边形”，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∵F，H，G，M分别是AD，DC，AB，BC的中点，
∴FH＝AC，GM＝AC，FG＝BD，MH＝BD，GM∥AC，FG∥BD，
∴四边形NGPE是平行四边形，
∴∠AEB＝∠FGP＝90°，
∵AC＝BD，
∴FH＝FG＝GM＝MH，
∴四边形FGMH菱形，
∵∠FGP＝90°，
∴菱形FGMH是正方形；
（3）解：如图2，连接AF，DE，
由题意得：CD＝2t，AE＝t，则AD＝20﹣2t，

Rt△ABC中，∠C＝30°，∠B＝90°，AC＝20，
∴AB＝AC＝10，
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠B＝90°，
∴DF＝CD＝t，
∴DF＝AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵∠A＝60°，
∴▱ADFE不可能是矩形，
当AD＝DF时，▱ADFE是菱形，则AF⊥DE，此▱ADFE是“十字形”，
∴t＝20﹣2t，
∴t＝，
∴当t＝时，四边形ADFE为“十字形”．
25如图1，直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），过点A作x轴的垂线交x轴于点B．
（1）若AB＝OB，则直线OA的解析式为 　　；
（2）在（1）的条件下，若OA＝2，在平面直角坐标系中是否存在点C，使得以A，B，O，C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若∠AOB＝60°，以OA为边作菱形OADE，点E在x轴上，F为菱形OADE外一点，EF⊥OF，M为OF上一点，∠EMF＝∠EMD，求证：DM＝OM+kME．

【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题；存在型；一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；应用意识．
【答案】（1）y＝x；
（2）（4，2）或（0，﹣2）或（0，2）；
（3）见解答．
【分析】（1）由AB＝OB，设A的坐标为（a，a），代入直线求出k＝1，写出直线y＝x即可；
（2）由OA＝2、AB＝OB求出A的坐标为（2，2），再分四边形为平行四边形AOBC或平行四边形AOCB或平行四边形ABOC讨论，根据平行四边形性质两组对边分别平行且相等求出C的坐标即可；
（3）由∠EMF＝∠EMD，得EF＝EG，由四边形OADE是菱形，得OE＝DE，证出Rt△DGE≌Rt△OFE，得DG＝OF，再△MEG≌Rt△MEF，得MG＝MF，再设∠EOF＝α，得∠AOM＝60°+α，∠ADM＝60°﹣α，即∠AOM+∠ADM＝120°，结合四边形内角和为360°得∠OAD+∠OMD＝240°，得∠GMF＝60°，再用勾股定理得MF²+EF²＝ME²，得，再由AOB＝60°，得k＝，故DM＝DG+MG＝OF+MF＝OM+2MF＝OM+ME＝OM+kME．
【解答】解：（1）∵AB＝OB，
∴设A的坐标为（a，a）且a≠0，
将A代入直线y＝kx，
得：a＝ka，
∴k＝1，
故答案为：y＝x；
（2）∵∠AOB＝90°
∴OB²+AB²＝OA²，
∵OA＝2，AB＝OB
∴OB＝AB＝2，
∴A的坐标为（2，2），
①若四边形为平行四边形AOBC，
∵AC∥OB，AC＝OB＝2，
∴C的坐标为（4，2），
②若四边形为平行四边形AOCB，
∵AB∥OC，AB＝OC＝2，
∴C的坐标为（0，﹣2），
③若四边形为平行四边形ABOC，
∵AC∥OB，AC＝OB＝2，
∴C的坐标为（0，2），
综上，C的坐标为（4，2）或（0，﹣2）或（0，2）；
（3）证明：如图，过点E作EG⊥DM，

∵EF⊥OF，∠EMF＝∠EMD，
∴EF＝EG，
∵四边形OADE是菱形，
∴OE＝DE，∠AOB＝∠ADE，
在Rt△DGE与Rt△OFE中，
，
∴Rt△DGE≌Rt△OFE（HL），
∴DG＝OF，∠EDG＝∠EOF，
在Rt△MEG与Rt△MEF中，
，
∴Rt△MEG≌Rt△MEF（HL），
∴MG＝MF，
设∠EOF＝α，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOM＝60°+α，∠ADM＝60°﹣α，
∴∠AOM+∠ADM＝120°，
∵四边形ADMO的内角和为（4﹣2）×180°＝360°，
∴∠OAD+∠OMD＝240°，
∵∠OAD＝180°﹣∠AOB＝120°，
∴∠OMD＝120°，
∴∠GMF＝60°，
∴∠GME＝∠FME＝30°，
∴EF＝ME，
∵MF²+EF²＝ME²，
∴MF²+ME²＝ME²，
解得：，
∵∠AOB＝60°，
∴OB＝OA，
∵OB²+AB²＝OA²，
∴AB＝OB，
设A的坐标为（m，），m≠0，
将A代入直线y＝kx，
得：＝km，
∴k＝，
∵DM＝DG+MG＝OF+MF＝OM+2MF＝OM+ME，
∴DM＝OM+kME．