湘教版八下数学 解题技巧专题：勾股定理与面积问题

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1．(郴州桂阳县期末)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则C点到AB的距离为【方法1】( )
A.eq \f(5,36) B.eq \f(36,5) C.eq \f(3\r(3),4) D.eq \f(12,25)
2．如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A，B，C都在网格点上，则AB边上的高为( )
A.eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),5) C.eq \f(3\r(5),10) D.eq \f(3\r(2),2)

第2题图 第6题图
eq \a\vs4\al(◆)类型二 结合乘法公式巧求面积或周长
3．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为( )
A．96 B．49 C．24 D．48
4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( )
A．7cm B．10cm
C．(5＋eq \r(37))cm D．12cm
eq \a\vs4\al(◆)类型三 巧妙分割求面积
5．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
eq \a\vs4\al(◆)类型四 “勾股树”及其拓展类型中有关面积的计算
6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，B的边长为5cm，C的边长为5cm，则正方形D的边长为( )
A.eq \r(14)cm B．4cm C.eq \r(15)cm D．3cm
7．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )
A．4 B．36 C．16 D．55

第7题图 第8题图
8．(青海中考)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S9的值为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(6) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(7) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(6) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(7)
eq \a\vs4\al(◆)类型五 “赵爽弦图”中有关面积的计算
9．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是( )
A．9 B．36 C．27 D．34

第9题图 第10题图
10．(永州零陵区校级模拟)如图是4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.其中说法正确的是( )
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④
参考答案与解析
1．B
2．A 解析：过点C作CD⊥AB于点D.∵S△ABC＝22－eq \f(1,2)×1×2－eq \f(1,2)×1×1－eq \f(1,2)×1×2＝eq \f(3,2)，又∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CD，∴eq \f(1,2)AB·CD＝eq \f(3,2).∵AB＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，∴CD＝eq \f(3\r(5),5).故选A.
3．C 解析：设该直角三角形的两直角边长分别为a，b，则有a＋b＝14①，a2＋b2＝102②.①两边同时平方，得a2＋b2＋2ab＝142，所以2ab＝96，所以ab＝48，eq \f(1,2)ab＝24.故选C.
4．D
5．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(52＋122)＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD，即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝eq \r(AC2－AE2)＝eq \r(132－52)＝12.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝eq \f(1,2)AB·BC＋eq \f(1,2)AD·CE＝eq \f(1,2)(12×5＋10×12)＝90.
6．A 7.C
A 解析：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2＋CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2＋S2＝S1.观察，发现规律：S1＝22＝4，S2＝eq \f(1,2)S1＝2，S3＝eq \f(1,2)S2＝1，S4＝eq \f(1,2)S3＝eq \f(1,2)，…，∴Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n－3).当n＝9时，S9＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(9－3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(6).故选A.

9．B 解析：大正方形的面积为32＋62＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积差为45－9＝36.故选B.
10．B 解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝49①，,（x－y）2＝4②，))①－②得2xy＝45③，∴2xy＋4＝49，①＋③得x2＋2xy＋y2＝94，∴x＋y＝eq \r(94)，∴①②③正确，④错误．故选B.